Linguagem matem\u00e1tica <\/p>\n
Implica\u00e7\u00f5es e equival\u00eancias<\/p>\n
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<\/span>Nas salas anteriores, vimos que equival\u00eancias s\u00e3o necess\u00e1rias na substitui\u00e7\u00e3o de uma frase por outra, sem que se perca o sentido l\u00f3gico do discurso, e que implica\u00e7\u00f5es s\u00e3o extremamente \u00fateis em processos dedutivos. Como senten\u00e7as abertas s\u00e3o utilizadas nos processos de generaliza\u00e7\u00e3o da Matem\u00e1tica e a Matem\u00e1tica \u00e9 repleta de propriedades cujas validades s\u00e3o garantidas por demonstra\u00e7\u00f5es – os teoremas – \u00e9 de se esperar que equival\u00eancias e implica\u00e7\u00f5es existam, tamb\u00e9m, entre senten\u00e7as abertas. \u00c9 exatamente sobre isso que trataremos a partir de agora. Vamos l\u00e1?<\/p>\n \n <\/span>Para efeito de nota\u00e7\u00e3o, letras latinas mai\u00fasculas, [tex]P[\/tex], [tex]Q[\/tex], [tex]R[\/tex], [tex]\\cdots[\/tex], representar\u00e3o propriedades que se referem a elementos gen\u00e9ricos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex] (o conjunto universo do nosso discurso). Assim, por exemplo, podemos ter: <\/span><\/p>\n \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos tri\u00e2ngulos de um plano; \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos n\u00fameros naturais; \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto das retas de um plano; \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos n\u00fameros racionais; \n Implica\u00e7\u00f5es<\/em><\/p>\n \n <\/span>Se [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], ent\u00e3o as cinco express\u00f5es:<\/p>\n t\u00eam todas o mesmo significado. Elas querem dizer, simplesmente, que:<\/p>\n \n <\/span>Para expressar esse fato, \u00e9 comum utilizarmos a nota\u00e7\u00e3o[tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q[\/tex]; dessa forma, se considerarmos os conjuntos:<\/p>\n \n [tex] \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, V_P=\\{ \\, p \\in U[\/tex], tal que [tex]p[\/tex] tem a propriedade [tex]P \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n [tex] \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, V_Q=\\{ \\, q \\in U[\/tex], tal que [tex]q[\/tex] tem a propriedade [tex]Q \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n ent\u00e3o escrevemos [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q \\, \\, [\/tex] para significar que [tex] \\, \\, V_P \\subset V_Q[\/tex].<\/p>\n \n Nessas condi\u00e7\u00f5es, \u00e9 comum tamb\u00e9m utilizarmos a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex] para indicar a nega\u00e7\u00e3o de [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q[\/tex]; logo, a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex] indica que<\/span><\/p>\n ou, de outra forma, indica que <\/p>\n \n Resumindo:<\/span><\/p>\n \n \n Generalizando:<\/span><\/p>\n \n \n \n Equival\u00eancias<\/em><\/p>\n \n Se, novamente, [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] forem propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], tamb\u00e9m as express\u00f5es:<\/span><\/p>\n t\u00eam todas o mesmo significado. Elas querem dizer que "[tex]P \\Rightarrow Q[\/tex]" e "[tex]Q \\Rightarrow P[\/tex]", ou seja, que, simultaneamente,<\/p>\n fato que denotamos como:[tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q[\/tex]. Portanto, se considerarmos uma vez mais os conjuntos <\/p>\n \n [tex] \\qquad V_P=\\{ \\, p \\in U[\/tex], tal que [tex]p[\/tex] tenha a propriedade [tex]P \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n [tex] \\qquad V_Q=\\{ \\, q \\in U[\/tex], tal que [tex]q[\/tex] tenha a propriedade [tex]Q \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n ent\u00e3o escrever [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q \\, \\, [\/tex] significa que [tex] \\, \\, V_P = V_Q \\, \\, [\/tex].<\/p>\n \n Tamb\u00e9m \u00e9 comum utilizarmos uma nota\u00e7\u00e3o para indicar a nega\u00e7\u00e3o de [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q[\/tex]. Assim, a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nLeftrightarrow Q[\/tex] indica que [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o equivalentes, ou seja, que, pelo menos, uma das seguintes situa\u00e7\u00f5es ocorre: [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex]; [tex] \\, \\, Q \\nRightarrow P[\/tex].<\/span><\/p>\n \n Resumindo:<\/span><\/p>\n \n \n Generalizando:<\/span><\/p>\n \n \nAs express\u00f5es “se, ent\u00e3o<\/strong>” e “se, e somente se<\/strong>” utilizadas relacionando propriedades gen\u00e9ricas s\u00e3o de extrema import\u00e2ncia para a leitura e compreens\u00e3o de textos de Matem\u00e1tica; portanto, vamos resumir e registrar suas caracter\u00edsticas.<\/p>\n \n Resultados importantes<\/em><\/p>\n \n Sejam [tex]U[\/tex] um conjunto n\u00e3o vazio, [tex]P, \\, Q, \\, S[\/tex] propriedades relativas a elementos de [tex]U[\/tex] e os seguintes subconjuntos de [tex]U[\/tex]:<\/p>\n \n [tex] \\qquad V_P=\\{ \\, p \\in U[\/tex], tal que [tex]p[\/tex] tenha a propriedade [tex]P \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n [tex] \\qquad V_Q=\\{ \\, q \\in U[\/tex], tal que [tex]q[\/tex] tenha a propriedade [tex]Q \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n [tex] \\qquad V_S=\\{ \\, s \\in U[\/tex], tal que [tex]s[\/tex] tenha a propriedade [tex]R \\, \\}[\/tex]<\/p>\n \n ✐ <\/span>Uma das propriedades sobre conjuntos nos garante que se [tex]A, \\, B, \\, D[\/tex] s\u00e3o conjuntos tais que [tex]\\boxed{A \\subset B}[\/tex] e [tex]\\boxed{B \\subset D}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{A \\subset D}[\/tex].<\/p>\n \n Considerando as propriedades [tex]P, \\, Q, \\, S[\/tex], se os conjuntos [tex]V_P[\/tex], [tex]V_Q[\/tex] e [tex]V_S[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]V_P \\subset V_Q[\/tex] e [tex]V_Q \\subset V_S[\/tex], ent\u00e3o [tex]V_P \\subset V_S[\/tex]. \n \nSe [tex]P \\Rightarrow Q \\, [\/tex] e [tex] \\, Q \\Rightarrow S[\/tex], ent\u00e3o [tex]P \\Rightarrow S[\/tex].<\/p>\n Essa propriedade \u00e9 conhecida como transitividade da implica\u00e7\u00e3o<\/strong>.\n<\/div>\n \n ✐ <\/span>A transitividade da igualdade entre conjuntos nos garante que se [tex]A, \\, B, \\, D[\/tex] s\u00e3o conjuntos tais que [tex]\\boxed{A = B}[\/tex] e [tex]\\boxed{B = D}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{A = D}[\/tex].<\/p>\n \n Considerando mais uma vez as propriedades [tex]P, \\, Q, \\, S[\/tex], se os conjuntos [tex]V_P[\/tex], [tex]V_Q[\/tex] e [tex]V_S[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]V_P = V_Q[\/tex] e [tex]V_Q = V_S[\/tex], ent\u00e3o [tex]V_P = V_S[\/tex].<\/p>\n \n Dessa forma, temos a seguinte propriedade sobre equival\u00eancia:<\/p>\n \n \nSe [tex]P \\Leftrightarrow Q \\, [\/tex] e [tex] \\, Q \\Leftrightarrow S[\/tex], ent\u00e3o [tex]P \\Leftrightarrow S[\/tex].<\/p>\n Essa propriedade \u00e9 conhecida como transitividade da equival\u00eancia<\/strong>.\n<\/div>\n \n \n ✐ <\/span>Seja [tex]A[\/tex] um subconjunto n\u00e3o vazio de [tex]U[\/tex]. \n<\/div>\n \n Olhando, ent\u00e3o, a propriedade [tex]P[\/tex], observamos que [tex]\\left(V_P\\right)^C[\/tex] \u00e9 o conjunto dos elementos de [tex]U[\/tex] que n\u00e3o pertencem a [tex]V_P[\/tex], ou seja, o conjunto dos elementos de [tex]U[\/tex] que n\u00e3o t\u00eam a propriedade [tex]P[\/tex]. \nA propriedade que caracteriza os elementos do conjunto [tex]\\left(V_P\\right)^C \\, [\/tex] \u00e9 a nega\u00e7\u00e3o de [tex]P[\/tex], isto \u00e9, "n\u00e3o <\/strong>[tex]P[\/tex]". Em analogia \u00e0s senten\u00e7as abertas, denotaremos a propriedade "n\u00e3o <\/strong>[tex]P[\/tex]" por "[tex]\\sim P[\/tex]".\n<\/div>\n \n \n ✐ <\/span>Uma propriedade n\u00e3o trivial de conjuntos garante que se [tex]A, \\, B[\/tex] s\u00e3o subconjuntos de [tex]U[\/tex] tais [tex]\\boxed{A \\subset B}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{B^C \\subset A^C}[\/tex], onde [tex]A^C[\/tex] e [tex]B^C[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, os complementares de [tex]A[\/tex] e de [tex]B[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o a [tex]U[\/tex]. \n<\/div>\n \n Assim, se os conjuntos [tex]V_P[\/tex] e [tex]V_Q[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]V_P \\subset V_Q[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\left(V_Q\\right)^C \\subset \\left(V_P\\right)^C[\/tex] e com isso garantimos que <\/p>\n \n Mas podemos ir al\u00e9m se utilizarmos mais uma propriedade envolvendo complementares; observe.<\/p>\n ✐ <\/span>Se [tex]A[\/tex] \u00e9 um subconjunto de [tex]U[\/tex], ent\u00e3o o complementar do complementar de [tex]A[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio [tex]A[\/tex]<\/strong>: [tex]\\boxed{\\left(A^C\\right)^C=A}[\/tex].<\/p>\n \n A partir dessa \u00faltima propriedade, podemos afirmar que "se [tex]\\left(V_Q\\right)^C \\subset \\left(V_P\\right)^C[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\left(\\left(V_P\\right)^C\\right)^C \\subset \\left(\\left(V_Q\\right)^C\\right)^C[\/tex]", isto \u00e9, "se [tex]\\left(V_Q\\right)^C \\subset \\left(V_P\\right)^C[\/tex], ent\u00e3o [tex]V_P \\subset V_Q[\/tex]". Com isso garantimos, agora, que <\/p>\n \n \n Por [tex](i)[\/tex]<\/span> e [tex](ii)[\/tex]<\/span>, segue que <\/p>\n \n"[tex]P \\Rightarrow Q \\, [\/tex]" se, e somente se, "[tex]\\sim Q \\Rightarrow \\sim P[\/tex] ".<\/p>\n \n Reconheceu a propriedade? \u00c9 isso mesmo, tamb\u00e9m para as propriedades (e, em geral, para as senten\u00e7as abertas), temos a propriedade que garante que uma implica\u00e7\u00e3o e sua contrapositiva<\/span> s\u00e3o equivalentes<\/strong>.\n<\/div>\n<\/div>\n L\u00e1 na Sala 1, observamos que o “se \u2026, ent\u00e3o \u2026” e o "se, e somente se " que alguns estavam esperando n\u00e3o eram os l\u00e1 definidos. Pois bem, o "se, ent\u00e3o" e o "se, e somente se" que utilizamos nos enunciados da Matem\u00e1tica s\u00e3o os aqui apresentados.<\/p>\n \n
\n<\/span>Para isso, utilizaremos uma linguagem menos l\u00f3gica e mais matem\u00e1tica para ficarmos mais pr\u00f3ximos do discurso que utilizamos no nosso contato di\u00e1rio com a Matem\u00e1tica. Assim, nesta sala falaremos de propriedades e n\u00e3o de senten\u00e7as abertas, embora propriedades matem\u00e1ticas sejam senten\u00e7as abertas, quantificadas ou n\u00e3o, e utilizaremos a linguagem de conjuntos para sintetizar e organizar o nosso racioc\u00ednio, pr\u00e1tica iniciada na Sala de enigmas 2<\/strong>. Toda a discuss\u00e3o sobre l\u00f3gica elementar feita nas salas 1, 2 e 3 ajudar\u00e1, e muito, no entendimento do que est\u00e1 por vir, j\u00e1 que nessas salas uma linguagem cotidiana logicamente correta nos foi apresentada. <\/p>\n
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\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 par;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex].<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o paralelas;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares.<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]x^2 \\in \\mathbb{R}[\/tex];
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]\\sqrt{x} \\in \\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n
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\nCom efeito, sejam [tex]p(x)[\/tex] e [tex]q(x)[\/tex] senten\u00e7as abertas em um conjunto [tex]U[\/tex] cujos conjuntos-verdade s\u00e3o [tex]V_p[\/tex] e [tex]V_q[\/tex], respectivamente.
\nDizemos que [tex]p(x)[\/tex] implica [tex]q(x)[\/tex] se [tex]V_p \\subset V_q[\/tex]. Neste caso, podemos utilizar a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, p(x) \\Rightarrow q(x) \\, [\/tex].<\/div>\n<\/div>\n
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\nAssim, se [tex]p(x)[\/tex] e [tex]q(x)[\/tex] s\u00e3o senten\u00e7as abertas em um conjunto [tex]U[\/tex] cujos conjuntos-verdade s\u00e3o [tex]V_p[\/tex] e [tex]V_q[\/tex], respectivamente, dizemos que [tex]p(x)[\/tex] e [tex]q(x)[\/tex] s\u00e3o equivalentes se [tex]V_p = V_q[\/tex]. Neste caso, podemos utilizar a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, p(x) \\Leftrightarrow q(x) \\, [\/tex].<\/div>\n<\/div>\n
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\n![\"lousa02\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/lousa02.png\")
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\n<\/span>J\u00e1 que uma equival\u00eancia nada mais \u00e9 do que uma dupla implica\u00e7\u00e3o, vamos centrar nossas discuss\u00f5es nas implica\u00e7\u00f5es.
\n<\/span> Observamos, inicialmente, que quando afirmamos que "[tex] \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex] significa que [tex] \\, V_P \\subset V_Q[\/tex]", n\u00e3o estamos afirmando que, para mostrar que uma propriedade [tex]P[\/tex] implica uma propriedade [tex]Q[\/tex], vamos necessariamente construir os conjuntos [tex]V_P[\/tex] e [tex]V_Q[\/tex] e verificar que [tex]V_P \\subset V_Q[\/tex]. Embora isso seja poss\u00edvel em algumas situa\u00e7\u00f5es muito particulares, as senten\u00e7as abertas da Matem\u00e1tica e, portanto, as propriedades matem\u00e1ticas, s\u00e3o definidas frequentemente em conjuntos que n\u00e3o permitem esse tipo de constru\u00e7\u00e3o pr\u00e1tica. (Como construir\u00edamos, na pr\u00e1tica, o conjunto de todos os tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles de um plano, ou o conjunto de todas as retas [tex]a, \\, b, \\, c[\/tex] de um plano tais que [tex]a \\parallel b[\/tex] e [tex]b\\parallel c[\/tex]?)<\/span>
\n<\/span> A maneira matem\u00e1tica de se verificar que [tex] \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex] \u00e9 quase sempre por meio de uma demonstra\u00e7\u00e3o na qual, a partir da ocorr\u00eancia da propriedade [tex]P[\/tex], \u00e9 poss\u00edvel deduzir a ocorr\u00eancia de [tex]Q[\/tex] por meio de uma sequ\u00eancia de argumenta\u00e7\u00f5es v\u00e1lidas dentro da teoria onde a implica\u00e7\u00e3o foi enunciada. Assim, as demonstra\u00e7\u00f5es s\u00e3o o "como garantir, sustentar, validar uma implica\u00e7\u00e3o" e claramente dependem da teoria do Universo no qual as propriedades envolvidas est\u00e3o definidas; mas o entendimento e a manipula\u00e7\u00e3o l\u00f3gica das implica\u00e7\u00f5es (e das equival\u00eancias) entre propriedades matem\u00e1ticas podem ser traduzidos em termos de no\u00e7\u00f5es e propriedades sobre conjuntos, desde que sustentadas por uma linguagem cotidiana logicamente correta. E \u00e9 isso que passaremos a fazer a seguir.<\/p>\n
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\nDessa forma, temos a seguinte propriedade sobre implica\u00e7\u00e3o:<\/p>\n![\"fig014\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/05\/fig014.png\")
<\/p>\n
\nAssim, dado um elemento [tex]u[\/tex] de [tex]U[\/tex] temos duas alternativas mutuamente excludentes: ou [tex]u \\in A[\/tex] ou [tex]u \\not \\in A[\/tex].
\nOs elementos de [tex]U[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o elementos de [tex]A[\/tex] definem o conjunto denotado por [tex]A^C[\/tex] e denominado o complementar de [tex]A[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o a [tex]U[\/tex]<\/strong>:
\n [tex]\\qquad A^C=\\{u \\in U \\, | \\, u \\not \\in A\\}[\/tex]. <\/p>\n
\nDessa forma, podemos afirmar que:<\/p>\n
\nA figura abaixo ilustra essa propriedade.<\/p>\n![\"fig015\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/05\/fig015.png\")
<\/p>\n\n
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\nNestes casos, utilizamos a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex] e a frase "Se [tex]P[\/tex], ent\u00e3o [tex]Q[\/tex]" \u00e9 dita uma implica\u00e7\u00e3o l\u00f3gica ou, simplesmente, uma implica\u00e7\u00e3o. A lousinha <\/em>l\u00e1 em cima mostra outras formas de leitura da nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex].
\n\u00c9 comum tamb\u00e9m se afirmar que a implica\u00e7\u00e3o [tex] \\, Q \\Rightarrow P \\, [\/tex] \u00e9 a rec\u00edproca da implica\u00e7\u00e3o [tex] \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex].
\nObservamos que o s\u00edmbolo [tex] \\, \\Rightarrow \\, [\/tex] n\u00e3o denota a palavra portanto<\/em>, nem a palavra ent\u00e3o<\/em>. Ele deve ser utilizado com o significado de implica, quando aparece ligando duas senten\u00e7as abertas (em particular, ligando duas propriedades matem\u00e1ticas). Assim, n\u00e3o escreva frases do tipo
\n<\/span> "Todo m\u00faltiplo de quatro \u00e9 m\u00faltiplo de dois. [tex]16[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]4 \\Rightarrow 16[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]."
\nou
\n<\/span>" Se [tex]x \\in \\{2, \\, 5\\} \\Rightarrow x^2-7x+10=0[\/tex]. "!\n<\/div>\n
\nNestes casos, utilizamos a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, P \\Leftrightarrow Q \\, [\/tex] e a frase "[tex]P[\/tex] se, e somente se, [tex]Q[\/tex]" \u00e9 dita uma equival\u00eancia l\u00f3gica ou, simplesmente, uma equival\u00eancia. A lousinha l\u00e1 em cima tamb\u00e9m mostra outras formas de leitura da nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, P \\Leftrightarrow Q \\, [\/tex].
\nPodemos ter uma sequ\u00eancia de propriedades (senten\u00e7as abertas), uma equivalente \u00e0 outra:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, P_1 \\Leftrightarrow P_2 \\Leftrightarrow P_3 \\Leftrightarrow \\dots \\Leftrightarrow P_n[\/tex]
\ne, neste caso, diremos apenas que as propriedades (senten\u00e7as) [tex] \\, P_1, \\, P_2, \\dots, \\, P_n \\, [\/tex] s\u00e3o equivalentes<\/strong>.
\nObservamos que o s\u00edmbolo [tex] \\, \\Leftrightarrow \\, [\/tex] n\u00e3o deve ser utilizado em substitui\u00e7\u00e3o ao s\u00edmbolo [tex] \\, = \\, [\/tex], pois ele n\u00e3o denota igualdade. Percebam que uma caracter\u00edstica da igualdade \u00e9 que todo objeto \u00e9 igual a si pr\u00f3prio, e somente a si pr\u00f3prio<\/strong> e esta n\u00e3o \u00e9 uma caracter\u00edstica da equival\u00eancia!\n<\/div>\n![\"carinha1\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha1.jpg\")
<\/p>\n
\n
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