Senten\u00e7as abertas e quantificadores<\/em><\/p>\n <\/span>J\u00e1 vimos como substituir algumas proposi\u00e7\u00f5es por outras, sem preju\u00edzo do ponto de vista da L\u00f3gica. Mas ainda temos uma pend\u00eancia… <\/p>\n O que fazer com as frases gen\u00e9ricas da Matem\u00e1tica? <\/p>\n <\/span>Por enquanto, nem mesmo a simples frase matem\u00e1tica [tex]\\boxed{x-5=0}[\/tex] se enquadra nas nossas discuss\u00f5es, j\u00e1 que ela n\u00e3o \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, por n\u00e3o ter um valor l\u00f3gico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de \u00fatil e imprescind\u00edvel, a l\u00f3gica proposicional n\u00e3o \u00e9 suficiente para se estudar Matem\u00e1tica: temos que, de alguma forma, generalizar a l\u00f3gica proposicional… Senten\u00e7as abertas e vari\u00e1veis<\/em><\/p>\n \n <\/span>Voltemos \u00e0 frase [tex]\\boxed{x-5=0}[\/tex]; n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel atribuirmos a ela um valor l\u00f3gico, j\u00e1 que nela aparece um s\u00edmbolo, a letra [tex]x[\/tex], que representa um objeto n\u00e3o identificado explicitamente. A frase "[tex]x-5=0[\/tex]" \u00e9 um exemplo do que a L\u00f3gica denomina "senten\u00e7a aberta<\/em><\/strong>" e a letra [tex]x[\/tex] \u00e9 a "vari\u00e1vel<\/em><\/strong>" dessa senten\u00e7a aberta. Embora n\u00e3o seja poss\u00edvel classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribu\u00eddo um valor a [tex]x[\/tex], por exemplo, [tex]5[\/tex] ou [tex]10[\/tex], a frase resultante ("[tex]5-5=0[\/tex]" ou "[tex]10-5=0[\/tex]") \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo). \nSeja [tex]U[\/tex] um conjunto n\u00e3o vazio. Uma senten\u00e7a aberta em [tex]U[\/tex]<\/strong><\/span> \u00e9 uma regra [tex]p(x)[\/tex] que associa a cada elemento [tex]u[\/tex] de [tex]U[\/tex] uma \u00fanica proposi\u00e7\u00e3o [tex]p(u)[\/tex]. \n <\/span> Pelo exposto, uma senten\u00e7a aberta com vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] em um conjunto [tex]U[\/tex] \u00e9 uma express\u00e3o [tex]p(x)[\/tex] tal que, para cada objeto [tex]u[\/tex] do conjunto [tex]U[\/tex], a substitui\u00e7\u00e3o de [tex]x[\/tex] por [tex]u[\/tex] na express\u00e3o [tex]p(x)[\/tex] resulta em uma express\u00e3o [tex]p(u)[\/tex] verdadeira ou falsa. Tamb\u00e9m \u00e9 importante observar que, se [tex]U[\/tex] \u00e9 o produto cartesiano dos conjuntos [tex]U_1, \\, U_2, \\, U_3, \\, \\cdots, \\, U_n[\/tex], isto \u00e9, [tex]U=U_1\\times U_2 \\times U_3 \\times \\cdots \\times U_n[\/tex], ent\u00e3o [tex]x = (x_1, x_2, x_3, \\, \\cdots, \\, x_n)[\/tex] e, neste caso, temos uma senten\u00e7a aberta de [tex]n[\/tex] vari\u00e1veis [tex]x_1, x_2, x_3, \\, \\cdots, \\, x_n[\/tex]. Dessa forma, senten\u00e7as abertas podem ter uma quantidade qualquer de vari\u00e1veis.<\/p>\n \n (1)<\/strong> [tex]p(x): x^2+5=9[\/tex], com [tex] U= \\mathbb{N}[\/tex].<\/p>\n Fazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex]x=2[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira (2)<\/strong> [tex]q(x_1, \\, x_2): x_1+x_2 \\gt 0[\/tex], com [tex] U= \\mathbb{Z}\\times\\mathbb{Z}[\/tex].<\/p>\n Fazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex](x_1, \\, x_2)=(10, \\, -3)[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira (3)<\/strong> [tex]r(x, \\, y, \\, z): x+y=z[\/tex], com [tex] U= \\mathbb{R}\\times\\mathbb{R}\\times \\mathbb{R}=\\mathbb{R^3}[\/tex].<\/p>\n Fazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex](x, \\, y, \\, z)=(2, \\, 4, \\, 6)[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira \n <\/span>Fixada uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em um conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], chamamos conjunto-verdade de [tex]p(x)[\/tex]<\/strong> <\/span> o conjunto de todos os elementos de [tex]U[\/tex] que ao substitu\u00edrem [tex]x[\/tex] transformam [tex]p(x)[\/tex] em uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira. Esse conjunto \u00e9 denotado por [tex]V_p[\/tex] e, informalmente, \u00e9 formado pelos elementos [tex]u \\in U[\/tex] tais que [tex]p(u)[\/tex] \u00e9 verdadeira. [tex] V_p=\\{x\\in U[\/tex], tal que [tex]p(x)\\}[\/tex].<\/p>\n \n (1)<\/strong> O conjunto-verdade de "[tex]p(x): x[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]15[\/tex]" em [tex]\\mathbb{N}[\/tex] \u00e9 dado por:<\/p>\n [tex]V_p=\\{x \\in \\mathbb{N} \\, | \\, x[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]15\\}=\\{1, \\, 3, \\, 5, \\, 15\\}[\/tex]<\/p>\n (2)<\/strong> O conjunto-verdade de "[tex]q(x): x-5 \\gt 10[\/tex]" em [tex]\\mathbb{N}[\/tex] \u00e9 dado por:<\/p>\n [tex]V_q=\\{x \\in \\mathbb{N} \\, \\, | \\, \\, x-5 \\gt 10\\}=\\{16, \\, 17, \\, 18, \\, \\cdots\\}[\/tex]<\/p>\n (3)<\/strong> O conjunto-verdade de "[tex]r(x): x+3 \\ge 2[\/tex]" em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 dado por:<\/p>\n [tex]V_r=\\{x \\in \\mathbb{R} \\, | \\, \\, x+3 \\ge 2\\}=[-1, \\, \\infty[[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n \n <\/span> Senten\u00e7as abertas generalizam, de certa forma, as proposi\u00e7\u00f5es; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposi\u00e7\u00f5es para obter novas senten\u00e7as abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as senten\u00e7as abertas [tex]p(x)[\/tex] e [tex]q(x)[\/tex] no conjunto [tex]U[\/tex] podemos obter novas senten\u00e7as abertas como: Quantificadores<\/em><\/p>\n \n <\/span>A partir da discuss\u00e3o acima, podemos observar que, de modo geral, frases gen\u00e9ricas se enquadram no que definimos como senten\u00e7a aberta<\/strong>. Portanto, uma maneira de transformar frases gen\u00e9ricas da Matem\u00e1tica em proposi\u00e7\u00f5es consiste em fixar suas vari\u00e1veis<\/strong>. \n (1)<\/strong> A partir da senten\u00e7a aberta "[tex]p(x): x^2-1=0[\/tex]" em [tex]\\mathbb{Z}[\/tex], podemos obter as proposi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n ➤<\/span> Existe [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{Z}[\/tex] tal que [tex]x^2-1=0[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o verdadeira; tome, por exemplo, [tex]x=1[\/tex].) (2)<\/strong> A partir da senten\u00e7a aberta "[tex]q(x): \\sqrt{x^2}=x[\/tex]" em [tex]\\mathbb{R}[\/tex], podemos obter as proposi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n ➤<\/span> Existe [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{R}[\/tex] tal que [tex]\\sqrt{x^2}=x[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o verdadeira; tome, por exemplo, [tex]x=0[\/tex] e observe que [tex]\\sqrt{0^2}=0[\/tex].) (3)<\/strong> A partir da senten\u00e7a aberta "[tex]r(n, \\, m): n+m=29[\/tex]" em [tex]\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}[\/tex], podemos obter as proposi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n ➤<\/span> Existe [tex](n, \\, m)[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}[\/tex] tal que [tex]n+m=29[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o verdadeira; tome, por exemplo, [tex](n, \\, m)=(20, \\, 9)[\/tex] e observe que [tex]20+9=29[\/tex].) \n <\/span> Para as nossas finalidades, quantificar vari\u00e1veis de uma senten\u00e7a aberta significa determinar a "quantidade" de elementos do dom\u00ednio da senten\u00e7a que definem proposi\u00e7\u00f5es verdadeiras. Na Matem\u00e1tica h\u00e1 tr\u00eas maneiras formais de quantificarmos vari\u00e1veis de senten\u00e7as abertas:<\/p>\n ➤<\/span> afirmando que todos <\/strong>os elementos do dom\u00ednio transformam a senten\u00e7a aberta em proposi\u00e7\u00f5es verdadeiras; <\/span>Express\u00f5es como "existe", "existe um \u00fanico" e "para todo” s\u00e3o denominadas quantificadores<\/strong><\/span> e ser\u00e3o apresentadas mais formalmente a seguir.<\/p>\n \n Quantificador Universal<\/p>\n O quantificador universal \u00e9 usado para representar afirma\u00e7\u00f5es universais que no Portugu\u00eas s\u00e3o expressas por ora\u00e7\u00f5es como: Se [tex]p(x)[\/tex] for uma senten\u00e7a aberta em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade \u00e9 [tex]V_p[\/tex], ent\u00e3o: \n Deste modo, dada uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em [tex]U[\/tex], o s\u00edmbolo [tex]\\forall[\/tex] referindo-se \u00e0 vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] representa uma opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica que transforma a senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em uma proposi\u00e7\u00e3o. A esta opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica d\u00e1-se o nome de quantifica\u00e7\u00e3o universal<\/strong> e o s\u00edmbolo ∀<\/span> \u00e9 chamado quantificador universal<\/strong><\/span>. (1)<\/strong> " [tex]\\forall x \\in \\mathbb{N},\\,x \\ge 0[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n (2)<\/strong> " Em qualquer tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], a soma das medidas dos seus \u00e2ngulos internos \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n (3)<\/strong> " [tex]\\forall n \\in \\mathbb{Z},\\,\\sqrt{n} \\in \\mathbb{R}[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa.<\/p>\n \n Em textos de Matem\u00e1tica elementar, a quantifica\u00e7\u00e3o universal \u00e9 frequentemente omitida pelo bem da simplicidade. Por exemplo, a frase (*) O s\u00edmbolo " [tex]\\forall[\/tex]" \u00e9 a letra A<\/strong> invertida e tem sua origem na palavra alem\u00e3 para universalidade que \u00e9 Allgemeinheit <\/em> e na inglesa All <\/em>que significa todo. <\/p>\n<\/div>\n \n Quantificador Existencial<\/p>\n O quantificador existencial \u00e9 usado para representar afirma\u00e7\u00f5es existenciais que no Portugu\u00eas s\u00e3o expressas por ora\u00e7\u00f5es como: Se [tex]p(x)[\/tex] for uma senten\u00e7a aberta em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade \u00e9 [tex]V_p[\/tex], ent\u00e3o: \n Deste modo, dada uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em [tex]U[\/tex], o s\u00edmbolo [tex]\\exists \\, [\/tex] referindo-se \u00e0 vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] representa uma opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica que transforma a senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em uma proposi\u00e7\u00e3o. A esta opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica d\u00e1-se o nome de quantifica\u00e7\u00e3o existencial<\/strong> e o s\u00edmbolo ∃<\/span> \u00e9 chamado quantificador existencial<\/strong><\/span>. (1)<\/strong> " [tex]\\exists \\, x \\in \\mathbb{N} \\, \\, | \\, \\, x -6= 0[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n (2)<\/strong> " Existe um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] cujos lados medem [tex]1 \\, [\/tex]cm, [tex]2 \\, [\/tex]cm e [tex]4 \\, [\/tex]cm" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa.<\/p>\n (3)<\/strong> " [tex]\\exists \\, x \\in \\mathbb{R} \\, \\, | \\, \\, x^2 \\lt 0 [\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa.<\/p>\n (*) O s\u00edmbolo " [tex]\\exists \\, [\/tex]" \u00e9 a letra E<\/strong> invertida e tem sua origem na palavra existe<\/em> em v\u00e1rios idiomas. \n Quantificador Existencial de Unicidade<\/p>\n O quantificador existencial de unicidade \u00e9 usado para representar afirma\u00e7\u00f5es de exist\u00eancia \u00fanica que no Portugu\u00eas s\u00e3o expressas por ora\u00e7\u00f5es como: Se [tex]p(x)[\/tex] for uma senten\u00e7a aberta em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade \u00e9 [tex]V_p[\/tex], ent\u00e3o: \n Deste modo, dada uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em [tex]U[\/tex], o s\u00edmbolo [tex]\\exists ! [\/tex] referindo-se \u00e0 vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] representa uma opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica que transforma a senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em uma proposi\u00e7\u00e3o. A esta opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica d\u00e1-se o nome de quantifica\u00e7\u00e3o existencial de unicidade<\/strong> e o s\u00edmbolo ∃!<\/span> \u00e9 chamado quantificador existencial de unicidade<\/strong><\/span>. (1)<\/strong> " [tex]\\exists ! \\, x \\in \\mathbb{Z} \\, \\, | \\, \\, x^2-4= 0[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa.<\/p>\n (2)<\/strong> " [tex]\\exists ! \\, n \\in \\mathbb{N} \\, \\, | \\, \\, n \\lt 1[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n (3)<\/strong> " [tex]\\exists ! \\, x \\in \\mathbb{R} \\, \\, | \\, \\, x^2 = 0 [\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n<\/div>\n \n N\u00e3o \u00e9 nossa inten\u00e7\u00e3o fazer um estudo rigoroso da L\u00f3gica, mas algumas considera\u00e7\u00f5es sobre quantificadores se fazem necess\u00e1rias. Vamos list\u00e1-las a seguir e apresentar um r\u00e1pido coment\u00e1rio sobre cada uma delas.<\/p>\n \n Proposi\u00e7\u00f5es podem ser negadas e senten\u00e7as abertas quantificadas s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es; portanto, uma pergunta natural \u00e9: como negar proposi\u00e7\u00f5es quantificadas? (i)<\/strong> A nega\u00e7\u00e3o da afirma\u00e7\u00e3o [tex](\\forall x \\in U)(p(x))[\/tex] \u00e9 equivalente \u00e0 afirma\u00e7\u00e3o de que existe, pelo menos, um [tex]x \\in U[\/tex] para o qual [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 falsa, ou ent\u00e3o que [tex]\\sim p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira. \n[tex]\\sim \\left(\\forall \\, x \\in U, \\, p(x)\\right) \\Longleftrightarrow \\exists \\, x \\in U \\, | \\sim p(x) [\/tex]<\/p>\n Desta maneira, mostrar que uma proposi\u00e7\u00e3o do tipo "[tex] \\forall \\, x \\in U, \\, p(x)[\/tex]" \u00e9 falsa significa mostrar que a proposi\u00e7\u00e3o "[tex] \\exists \\, u \\in U \\, \\, | \\, \\sim p(u)[\/tex]" \u00e9 verdadeira. Um elemento [tex]u \\in U [\/tex] que satisfa\u00e7a essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 dito um contraexemplo<\/strong>.<\/p>\n (ii)<\/strong> Da mesma forma, negar a f\u00f3rmula [tex]\\left(\\exists \\, x \\in U \\right) \\, (p(x))[\/tex] equivale a afirmar que, para todos os elementos [tex]x \\in U[\/tex], a senten\u00e7a [tex]p(x)[\/tex] deve ser falsa, ou ent\u00e3o que a senten\u00e7a [tex]\\sim p(x)[\/tex] deve ser verdadeira. \n[tex]\\sim \\left(\\exists \\, x \\in U \\, | \\, p(x) \\right)\\Longleftrightarrow \\forall \\, x \\in U, \\sim p(x) [\/tex]<\/p>\n<\/div>\n \n At\u00e9 agora tratamos explicitamente da quantifica\u00e7\u00e3o de senten\u00e7as abertas com uma vari\u00e1vel. Mas, senten\u00e7as abertas podem ter mais de uma vari\u00e1vel; assim mais uma pergunta l\u00f3gica seria: como fica a quantifica\u00e7\u00e3o de senten\u00e7as abertas com mais de uma vari\u00e1vel? Por exemplo, a frase "[tex]\\exists x \\in \\mathbb{N} \\, | \\, x + y =5[\/tex]" n\u00e3o \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o; pois a vari\u00e1vel [tex]y[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 quantificada. A frase \u00e9 uma senten\u00e7a aberta na vari\u00e1vel [tex]y[\/tex]. No entanto, a frase "[tex]\\exists \\, x \\in \\mathbb{N}, \\exists \\, y \\in \\mathbb{N} \\, | \\, x + y =5[\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, e verdadeira. \n ✐ <\/span> \u00c9 importante observar que a nega\u00e7\u00e3o de uma proposi\u00e7\u00e3o com mais de um quantificador \u00e9 feita mediante a aplica\u00e7\u00e3o sucessiva das regras para a nega\u00e7\u00e3o de proposi\u00e7\u00f5es com um quantificador. Por exemplo, dada uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x,y)[\/tex] em [tex]U = X \\times Y[\/tex], temos que: \n Os quantificadores de uma dada f\u00f3rmula somente podem ser comutados de acordo com as seguintes regras:<\/p>\n \n(i)<\/strong> Quantificadores de mesmo tipo podem ser comutados. Portanto, temos, em particular, que s\u00e3o v\u00e1lidas as seguintes equival\u00eancias: \n [tex]\\qquad \\qquad \\forall \\, x \\in A, \\forall \\, y\\in B, \\, p(x,y) \u21d4 \\forall \\, y \\in B, \\forall \\, x\\in A, \\, p(x,y)[\/tex]<\/p>\n \n mas, as proposi\u00e7\u00f5es "[tex]\\forall \\, x\\in A, \\exists \\, y\\in B \\, | \\, \\, p(x,y)[\/tex]" e "[tex]\\exists \\, y \\in B \\, | \\, \\forall \\, x\\in A, \\, p(x,y)[\/tex]" n\u00e3o s\u00e3o equivalentes. \n Acho que voc\u00eas v\u00e3o precisar de alguns exerc\u00edcios…
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\n<\/span>Essa generaliza\u00e7\u00e3o da l\u00f3gica proposicional \u00e9 denominada L\u00f3gica de Predicados<\/strong>, ou L\u00f3gica de primeira ordem<\/strong>.<\/p>\n
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\n<\/span> Senten\u00e7as abertas n\u00e3o s\u00e3o apenas aquelas que envolvem vari\u00e1veis num\u00e9ricas; vari\u00e1veis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "[tex]z[\/tex] \u00e9 a capital do Jap\u00e3o."; "Ela \u00e9 minha prima.". Se a [tex]z[\/tex] atribuir-se o conte\u00fado T\u00f3quio, a primeira senten\u00e7a ser\u00e1 verdadeira; caso contr\u00e1rio, ser\u00e1 falsa. Se a palavra "Ela" for substitu\u00edda pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda senten\u00e7a ser\u00e1 verdadeira.
\n<\/span>Assim, de maneira informal, as senten\u00e7as abertas s\u00e3o ora\u00e7\u00f5es declarativas que, a princ\u00edpio, n\u00e3o podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem refer\u00eancias a objetos n\u00e3o nomeados explicitamente. Fixada uma senten\u00e7a aberta, os s\u00edmbolos (geralmente letras min\u00fasculas) que representam os objetos n\u00e3o expl\u00edcitos (sujeitos l\u00f3gicos) s\u00e3o as vari\u00e1veis da senten\u00e7a aberta. As vari\u00e1veis, ao serem substitu\u00eddas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da vari\u00e1vel ou o universo do discurso), definem proposi\u00e7\u00f5es propriamente ditas. <\/p>\n
\nO conjunto [tex]U[\/tex] \u00e9 chamado de dom\u00ednio da vari\u00e1vel [tex]x[\/tex]<\/strong><\/span>, ou conjunto universo, e cada elemento [tex]u\\in U[\/tex] \u00e9 dito um valor da vari\u00e1vel [tex]x[\/tex]<\/strong><\/span>. <\/p>\n
\n[tex]\\quad p(2): 2^2+5=9[\/tex].
\nFazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex]x=1[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa
\n[tex]\\quad p(1): 1^2+5=9[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\quad q(10, \\, -3): 10-3 \\gt 0[\/tex].
\nFazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex](x_1, \\, x_2)=(-3, \\, -2)[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa
\n[tex]\\quad q(-3, \\, -2): -3-2 \\gt 0[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\quad r(2, \\, 4, \\, 6): 2+4=6[\/tex].
\nFazendo a substitui\u00e7\u00e3o [tex](x, \\, y, \\, z)=(6, \\, 4, \\, 2)[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa
\n[tex]\\quad r(6, \\, 4, \\, 2): 6+4=2[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n
\n<\/span>Formalmente, [tex]V_p[\/tex] \u00e9 o conjunto dos elementos de [tex]U[\/tex] que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es definidas pela senten\u00e7a [tex]p(x)[\/tex], ou seja:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\sim p(x)\\; , \\; p(x) \\land q(x)\\; , \\; p(x) \\lor q(x)\\; , \\; p(x) \\rightarrow q(x)\\; , \\; p(x) \\longleftrightarrow q(x)[\/tex].\n<\/div>\n
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\n
\n
\n<\/span>Considerando a senten\u00e7a aberta "[tex]p(x): x-5=0[\/tex]" no conjunto dos n\u00fameros naturais, note que, se fixarmos [tex]x=5[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira [tex]x-5=0[\/tex], que \u00e9 uma maneira diferente de escrever [tex]5-5=0[\/tex]; ao passo que se fixarmos [tex]x=10[\/tex], obtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa [tex]x-5=0[\/tex] ([tex]10-5=0[\/tex]).
\n<\/span>Mas essa n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica maneira de "transformar senten\u00e7as abertas em proposi\u00e7\u00f5es". Particularmente, as frases
\n<\/span>"[tex]x-5=0[\/tex] para um n\u00famero natural [tex]x[\/tex]."
\n<\/span>"[tex]x-5=0[\/tex] para dois n\u00fameros naturais [tex]x[\/tex]."
\n<\/span>"[tex]x-5=0[\/tex] para nenhum n\u00famero natural [tex]x[\/tex]."
\ns\u00e3o tamb\u00e9m proposi\u00e7\u00f5es: a primeira verdadeira e as duas outras falsas. Perceba que, ao inv\u00e9s de fixar, quantificamos a vari\u00e1vel [tex]x[\/tex]<\/strong>.
\n<\/span>Pois bem, de modo geral, temos ent\u00e3o duas maneiras de obter proposi\u00e7\u00f5es a partir de uma senten\u00e7a aberta: fixando as vari\u00e1veis da senten\u00e7a ou quantificando-as. Vamos, agora, fixar a nossa aten\u00e7\u00e3o no processo de "quantificar" vari\u00e1veis.
\n<\/span>Vejamos outros exemplos.<\/p>\n
\n➤<\/span> Existe um \u00fanico [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{Z}[\/tex] tal que [tex]x^2-1=0[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; fa\u00e7a [tex]x=1[\/tex] ou [tex]x=-1[\/tex].)
\n➤<\/span> Para todo [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{Z}[\/tex], [tex]x^2-1=0[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; [tex]x=5[\/tex] n\u00e3o satisfaz a senten\u00e7a [tex]x^2-1=0[\/tex], pois [tex]5^2-1=24 \\ne 0[\/tex].)<\/p>\n
\n➤<\/span> Existe um \u00fanico [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{R}[\/tex] tal que [tex]\\sqrt{x^2}=x[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; fa\u00e7a [tex]x=1[\/tex] ou [tex]x=0[\/tex].)
\n➤<\/span> Para todo [tex]x[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{R}[\/tex], [tex]\\sqrt{x^2}=x[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; fa\u00e7a [tex]x=-2[\/tex] e observe que [tex]\\sqrt{(-2)^2}=\\sqrt{4}=2\\ne -2[\/tex].)<\/p>\n
\n➤<\/span> Existe um \u00fanico par ordenado [tex](n, \\, m)[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}[\/tex] tal que [tex]n+m=29[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; observe que os pares [tex](20, \\, 9)[\/tex] e [tex](27, \\, 2)[\/tex] satisfazem a condi\u00e7\u00e3o definida pela senten\u00e7a aberta [tex]r(n, \\, m)[\/tex].)
\n➤<\/span> Para todo par ordenado [tex](n, \\, m)[\/tex] pertencente a [tex]\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}[\/tex], [tex]n+m=29[\/tex]. (Proposi\u00e7\u00e3o falsa; o par ordenado [tex](1, \\, 2)[\/tex] n\u00e3o satisfaz a condi\u00e7\u00e3o definida pela senten\u00e7a aberta [tex]r(n, \\, m)[\/tex].)<\/p>\n<\/div>\n
\n➤<\/span> afirmando que pelo menos um<\/strong> dos elementos do dom\u00ednio transforma a senten\u00e7a aberta em uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira;
\n➤<\/span> afirmando que exatamente um<\/strong> dos elementos do dom\u00ednio transforma a senten\u00e7a aberta em uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.<\/p>\n
\n\u2022 Para todo mundo …
\n\u2022 Todos aqui …
\n\u2022 Qualquer um que …
\nNa Matem\u00e1tica esse tipo de frase aparece quando temos uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[\/tex] \u00e9 tal que [tex]V_p=U[\/tex]. Neste caso, todos os elementos de [tex]U[\/tex] ir\u00e3o satisfazer [tex]p(x)[\/tex], ou seja, "para todos os elementos [tex]u[\/tex] de [tex]U[\/tex], [tex]p(u)[\/tex] deve ser verdadeira".
\nPodemos expressar essa situa\u00e7\u00e3o como:
\n<\/span> para todo<\/strong> [tex]x \\in U, \\, p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira;
\nou ainda,
\n<\/span> qualquer que seja<\/strong> o [tex]x \\in U[\/tex], tem-se que [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira.
\ne, formalmente, por:
\n[tex]\\qquad (\\forall x \\in U) \\, (p(x))[\/tex]
\nou
\n[tex]\\qquad \\forall x \\in U, \\, p(x)[\/tex].
\nPortanto, <\/p>\n
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\forall x \\in U, \\, p(x)[\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira, se [tex]V_p=U[\/tex];
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\forall x \\in U, \\, p(x)[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa, se [tex]V_p\\ne U[\/tex].<\/p>\n
\n ✐ <\/span>Exemplos:<\/strong><\/span><\/p>\n
\n➤<\/span> "[tex](x+1)\\cdot (x-1) = x^2-1[\/tex]",
\nem livros do ensino b\u00e1sico, deve ser entendida como "para todo n\u00famero real [tex]x, \\, (x+1)\\cdot (x-1) = x^2-1[\/tex]".<\/p>\n
\n\u2022 Existe algu\u00e9m que …
\n\u2022 Para algum destes …
\n\u2022 Existe pelo menos um de n\u00f3s …
\nNa Matem\u00e1tica esse tipo de frase aparece quando temos uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[\/tex] \u00e9 n\u00e3o vazio. Neste caso, existe algum elemento de [tex]U[\/tex] que ir\u00e1 satisfazer [tex]p(x)[\/tex], ou seja, "para algum elemento [tex]u[\/tex] de [tex]U[\/tex], [tex]p(u)[\/tex] deve ser verdadeira".
\nEssa situa\u00e7\u00e3o pode ser expressa como:
\n<\/span> para algum<\/strong> [tex]x \\in U, \\, p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira;
\nou ainda,
\n<\/span> existe pelo menos um<\/strong> [tex]x \\in U[\/tex] para o qual [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira.
\ne, formalmente, por:
\n[tex]\\qquad (\\exists \\, x \\in U) \\, (p(x))[\/tex]
\nou simplesmente
\n[tex]\\qquad \\exists \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex].
\nPortanto, <\/p>\n
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\exists \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira se [tex]V_p\\ne \\emptyset[\/tex];
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\exists \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa se [tex]V_p= \\emptyset[\/tex].<\/p>\n
\n ✐ <\/span>Exemplos:<\/strong><\/span><\/p>\n
\n(**) A barra vertical |<\/strong> pode ser lida como tal que.<\/p>\n<\/div>\n
\n\u2022 Existe um \u00fanico …
\n\u2022 Existe exatamente um …
\n\u2022 Existe apenas uma pessoa …
\nNa Matem\u00e1tica esse tipo de frase aparece quando temos uma senten\u00e7a aberta [tex]p(x)[\/tex] em um conjunto [tex]U[\/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[\/tex] \u00e9 unit\u00e1rio. Neste caso, existe somente um elemento de [tex]U[\/tex] que ir\u00e1 satisfazer [tex]p(x)[\/tex], ou seja, "para apenas um elemento [tex]u[\/tex] de [tex]U[\/tex], [tex]p(u)[\/tex] ser\u00e1 verdadeira".
\nEssa situa\u00e7\u00e3o pode ser expressa como:
\n<\/span> para somente um<\/strong> [tex]x \\in U, \\, p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira;
\nou ainda,
\n<\/span> existe um \u00fanico <\/strong> [tex]x \\in U[\/tex] para o qual [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 verdadeira.
\ne, formalmente, por:
\n[tex]\\qquad (\\exists ! \\, x \\in U) \\, (p(x))[\/tex]
\nou simplesmente
\n[tex]\\qquad \\exists ! \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex].
\nPortanto, <\/p>\n
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\exists ! \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex]" \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira se o n\u00famero de elementos de [tex]V_p[\/tex] for [tex]1[\/tex];
\n➤<\/span> a frase " [tex]\\exists ! \\, x \\in U \\, \\, | \\, \\, p(x)[\/tex] " \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa se o n\u00famero de elementos de [tex]V_p[\/tex] for diferente de [tex]1[\/tex].<\/p>\n
\n ✐ <\/span>Exemplos:<\/strong><\/span><\/p>\n
\nNo que se refere \u00e0 nega\u00e7\u00e3o desse tipo de proposi\u00e7\u00e3o, temos duas regras fundamentais, para as quais consideraremos que [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 uma senten\u00e7a aberta em [tex]U[\/tex].<\/p>\n
\nA pr\u00f3xima equival\u00eancia de f\u00f3rmulas nos d\u00e1 a primeira regra de nega\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
\nAssim, a pr\u00f3xima equival\u00eancia de f\u00f3rmulas nos d\u00e1 a segunda regra de nega\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
\nDe modo geral, as senten\u00e7as abertas podem admitir tantos quantificadores quanto o n\u00famero de suas vari\u00e1veis distintas e as vari\u00e1veis de uma senten\u00e7a se classificam em quantificadas ou livres:
\n➤<\/span> vari\u00e1vel quantificada<\/strong> \u00e9 aquela que se apresenta na senten\u00e7a acompanhada de quantificador;
\n➤<\/span> vari\u00e1vel livre<\/strong> \u00e9 aquela que se apresenta na senten\u00e7a sem quantificador.
\nDada uma senten\u00e7a aberta com mais de uma vari\u00e1vel, a aplica\u00e7\u00e3o de apenas um quantificador a uma de suas vari\u00e1veis transforma a senten\u00e7a aberta em outra aberta com menos uma vari\u00e1vel livre. Desse modo, para transformarmos uma senten\u00e7a aberta com mais de uma vari\u00e1vel em uma proposi\u00e7\u00e3o, \u00e9 necess\u00e1rio quantificar TODAS as vari\u00e1veis desta senten\u00e7a.<\/p>\n
\nObserve que a segunda frase poderia ser reescrita como "[tex]\\exists (x, \\, y) \\in \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N} \\, | \\, x + y =5[\/tex]".<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\sim \\left(\\forall \\, x \\in X, \\exists \\, y \\in Y \\, | \\, p(x,y) \\right)\\Longleftrightarrow \\exists \\, x \\in X \\, | \\, \\forall \\, y \\in Y, \\sim p(x,y) \\\\
\n\\qquad \\qquad \\sim \\left(\\forall \\, x \\in X, \\forall \\, y \\in Y \\, | \\, p(x,y) \\right)\\Longleftrightarrow \\exists \\, x \\in X, \\, \\exists \\, y \\in Y \\, | \\sim p(x,y) \\\\
\n\\qquad \\qquad \\sim \\left(\\exists \\, x \\in X \\, | \\, \\forall \\, y \\in Y \\, , p(x,y) \\right)\\Longleftrightarrow \\forall \\, x \\in X, \\exists \\, y \\in Y \\, | \\sim p(x,y) \\\\
\n [\/tex]
\nAssim, a nega\u00e7\u00e3o da proposi\u00e7\u00e3o " [tex]\\forall \\, x \\in \\mathbb{R}, \\exists \\, y \\in \\mathbb{R} \\, | \\, x+y \\lt 50 [\/tex]" \u00e9 "[tex]\\exists \\, x \\in \\mathbb{R} \\, | \\, \\forall \\, y \\in \\mathbb{R}, \\, x+y \\ge 50 [\/tex]".\n<\/p>\n<\/div>\n
\n(ii)<\/strong> Quantificadores de tipos distintos n\u00e3o podem ser comutados. <\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad (\\exists \\, x) (\\exists \\, y) (p(x,y)) \u21d4 (\\exists \\, y) (\\exists \\, x) (p(x,y))[\/tex]<\/p>\n
\nPerceba, por exemplo, que a frase
\n<\/span>"para todo ser humano [tex]x[\/tex], existe um ser humano [tex]y[\/tex] tal que [tex]y[\/tex] \u00e9 pai de [tex]x[\/tex]"
\nclaramente n\u00e3o \u00e9 equivalente \u00e0 frase
\n<\/span>"existe um ser humano [tex]y[\/tex] tal que, para todo ser humano [tex]x[\/tex], [tex]y[\/tex] \u00e9 pai de [tex]x[\/tex]".\n<\/div>\n![\"Probleminha2\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/Probleminha2.png\")
![\"Problema2\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/Problema2.png\")
![\"Desafio2\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/Desafio2.png\")
<\/p>\n<\/div>\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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\n
\n