{"id":153691,"date":"2020-05-09T17:41:06","date_gmt":"2020-05-09T20:41:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153691"},"modified":"2020-11-07T03:39:49","modified_gmt":"2020-11-07T05:39:49","slug":"5-um-pouco-sobre-a-linguagem-matematica-sala-de-enigmas-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/5-um-pouco-sobre-a-linguagem-matematica-sala-de-enigmas-1\/","title":{"rendered":"5.Um pouco sobre a linguagem matem\u00e1tica – Sala de enigmas 1"},"content":{"rendered":"
\n
\n
Equival\u00eancia l\u00f3gica e implica\u00e7\u00e3o l\u00f3gica<\/em><\/p>\n\n
\n
<\/span>Nos nossos estudos, lemos e escrevemos muitas frases matem\u00e1ticas e, algumas vezes, precisamos substituir uma determinada frase por outra, quem sabe mais simples, mas sem preju\u00edzos do ponto de vista da L\u00f3gica, j\u00e1 que a Matem\u00e1tica lida com frases que s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas. \n<\/span> Assim, o que vamos discutir inicialmente aqui \u00e9 <\/p>\n
Quando duas proposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o consideradas como \n“a mesma”, do ponto de vista da L\u00f3gica?<\/p>\n
<\/span>Duas proposi\u00e7\u00f5es tais que "qualquer uma delas pode ser substitu\u00edda pela outra" s\u00e3o denominadas proposi\u00e7\u00f5es equivalentes. E duas proposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes se as suas respectivas f\u00f3rmulas proposicionais forem equivalentes. \n<\/span>\u00d3timo, j\u00e1 temos uma resposta para a primeira quest\u00e3o levantada na Sala 3<\/strong>: Quando uma proposi\u00e7\u00e3o poder\u00e1 ser substitu\u00edda por outra? \n<\/span> N\u00e3o respondemos? Claro que respondemos: logicamente falando, uma proposi\u00e7\u00e3o pode ser substitu\u00edda por outra se ambas forem equivalentes, ou seja, se as respectivas "f\u00f3rmulas proposicionais das duas proposi\u00e7\u00f5es forem equivalentes"<\/strong>… \n<\/span>\u00c9 certo que falta um "pequeno detalhe<\/em>": o que s\u00e3o f\u00f3rmulas proposicionais equivalentes?<\/strong> Ent\u00e3o, nada mais natural (e l\u00f3gico) do que anunciar a nossa pr\u00f3xima defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\nSejam [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] f\u00f3rmulas proposicionais definidas a partir das mesmas letras proposicionais. \nDizemos que [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o equivalentes<\/strong><\/span>, e escrevemos [tex]P \\Longleftrightarrow Q[\/tex], se a f\u00f3rmula proposicional [tex]P \\longleftrightarrow Q[\/tex] for uma tautologia. \nA uma bicondicional [tex]P \\longleftrightarrow Q[\/tex] tautol\u00f3gica, chamamos de equival\u00eancia l\u00f3gica ou, simplesmente, equival\u00eancia.<\/p>\n
<\/span>Desse modo, duas f\u00f3rmulas proposicionais equivalentes t\u00eam os mesmos valores l\u00f3gicos em cada uma de todas as possibilidades l\u00f3gicas de suas letras proposicionais.<\/p>\n
\n
\n ✐ <\/span>Exemplo:<\/strong><\/span> O nosso primeiro exemplo n\u00e3o poderia ser outro: observe as tabelas abaixo.<\/p>\n
\n[tex]\\begin{array}{cc|ccc|c|c} \np & q &\\sim p &\\sim q & p \\land q & \\sim(p \\land q) & \\sim p \\, \\land \\sim q &\\sim(p \\land q) \\longleftrightarrow (\\sim p \\, \\land \\sim q)\\\\ \n\\hline \nV&V&F&F&V&F&F&V\\\\ \nV&F&F&V&F&V&F&F\\\\ \nF&V&V&F&F&V&F&F\\\\ \nF&F&V&V&F&V&V&V \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\begin{array}{cc|ccc|c|c} \np & q &\\sim p &\\sim q & p \\land q & \\sim(p \\land q) & \\sim p \\, \\lor \\sim q &\\sim(p \\land q) \\longleftrightarrow (\\sim p \\, \\lor\\sim q)\\\\ \n\\hline \nV&V&F&F&V&F&F&V\\\\ \nV&F&F&V&F&V&V&V\\\\ \nF&V&V&F&F&V&V&V\\\\ \nF&F&V&V&F&V&V&V \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
Podemos perceber que : \n➤<\/span> a f\u00f3rmula [tex]\\boxed{\\sim(p \\, \\land q) \\longleftrightarrow (\\sim p \\, \\land \\sim q)}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 tautol\u00f3gica, logo [tex]\\boxed{\\sim(p \\land q)}[\/tex] e [tex]\\boxed{\\sim p \\, \\land \\sim q}[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o f\u00f3rmulas equivalentes. \n➤<\/span> a f\u00f3rmula [tex]\\boxed{\\sim(p \\land q) \\longleftrightarrow (\\sim p \\, \\lor \\sim q)}[\/tex] \u00e9 uma tautologia, logo [tex]\\boxed{\\sim(p \\land q)}[\/tex] e [tex]\\boxed{\\sim p \\, \\lor \\sim q}[\/tex] s\u00e3o f\u00f3rmulas equivalentes.<\/p>\n
\n
Dessa forma, a nega\u00e7\u00e3o de uma conjun\u00e7\u00e3o \u00e9 uma disjun\u00e7\u00e3o de nega\u00e7\u00f5es e n\u00e3o uma conjun\u00e7\u00e3o de nega\u00e7\u00f5es. \nAssim, a nega\u00e7\u00e3o da frase "as margaridas s\u00e3o roxas e<\/strong> os girass\u00f3is s\u00e3o amarelos" \u00e9 "as margaridas n\u00e3o s\u00e3o roxas ou<\/strong> os girass\u00f3is n\u00e3o s\u00e3o amarelos". \nObserve que, na pr\u00e1tica, nem seria necess\u00e1ria a constru\u00e7\u00e3o da \u00faltima coluna em cada uma das duas tabelas acima; bastaria observar que as distribui\u00e7\u00f5es dos valores l\u00f3gicos nas respectivas pen\u00faltima e antepen\u00faltima colunas s\u00e3o diferentes na primeira tabela e, iguais, na segunda.<\/div>\n
✐ <\/span>Exerc\u00edcio:<\/strong><\/span> Aproveitando a deixa, verifiquem que a nega\u00e7\u00e3o de uma disjun\u00e7\u00e3o \u00e9 uma conjun\u00e7\u00e3o de nega\u00e7\u00f5es.<\/p>\n
\nObserva\u00e7\u00e3o importante:<\/strong><\/span> Os s\u00edmbolos [tex]{\\color{#996b0e}\\longleftrightarrow} \\, [\/tex] e [tex] \\, {\\color{#996b0e}\\Longleftrightarrow}[\/tex] indicam objetos matem\u00e1ticos distintos!<\/p>\n
[tex]{\\color{#996b0e}\\longleftrightarrow \\, }[\/tex] indica uma opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica (a partir de duas f\u00f3rmulas, digamos [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex], obtemos uma terceira f\u00f3rmula: a bicondicional [tex]{\\color{#996b0e}P\\longleftrightarrow Q}[\/tex]). \n[tex]{\\color{#996b0e} \\, \\Longleftrightarrow}[\/tex] indica uma rela\u00e7\u00e3o entre f\u00f3rmulas (dadas duas f\u00f3rmulas, digamos [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex], [tex]{\\color{#996b0e}P\\Longleftrightarrow Q}[\/tex] estabelece que essas f\u00f3rmulas s\u00e3o equivalentes).<\/p>\n
No conjunto dos n\u00fameros naturais, essa diferen\u00e7a corresponderia \u00e0 diferen\u00e7a, por exemplo, entre os s\u00edmbolos [tex]{\\color{#996b0e}+} \\, [\/tex] e [tex] \\, {\\color{#996b0e}\\lt} \\, [\/tex]: <\/p>\n
o s\u00edmbolo [tex]{\\color{#996b0e}+}[\/tex] indica a opera\u00e7\u00e3o adi\u00e7\u00e3o que, a cada dois n\u00fameros naturais [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], associa um terceiro n\u00famero natural: a soma [tex]{\\color{#996b0e}m+n}[\/tex]; \no s\u00edmbolo [tex]{\\color{#996b0e}\\lt}[\/tex] indica uma rela\u00e7\u00e3o: se [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, [tex]{\\color{#996b0e} m\\lt n}[\/tex] estabelece que o n\u00famero [tex]m[\/tex] \u00e9 menor do que [tex]n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/span> Dentre os v\u00e1rios importantes exemplos de f\u00f3rmulas equivalentes est\u00e1 aquele que d\u00e1 o nome de "bicondicional das proposi\u00e7\u00f5es [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex]" \u00e0 proposi\u00e7\u00e3o representada por [tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex]: [tex]\\fcolorbox{black}{#fdf8ec}{$ p \\longleftrightarrow q \\Longleftrightarrow (p \\rightarrow q) \\land (q \\rightarrow p)$}[\/tex]. \nA simples observa\u00e7\u00e3o da tabela-verdade abaixo justifica a equival\u00eancia.<\/p>\n
<\/span>Embora tenhamos apresentado praticamente apenas a defini\u00e7\u00e3o formal de f\u00f3rmulas proposicionais equivalentes, j\u00e1 conseguimos justificar algumas informa\u00e7\u00f5es envolvendo condicionais que voc\u00ea, provavelmente, j\u00e1 utilizou em seus estudos (e pode ter se perguntado "– Mas, por que \u00e9 assim?<\/em>"). Ent\u00e3o, acompanhe com aten\u00e7\u00e3o os pr\u00f3ximos exemplos<\/strong><\/span>.<\/p>\n
\n
\n ✐ <\/span>Importante!<\/strong><\/span> \nDadas duas proposi\u00e7\u00f5es [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex], podemos definir a proposi\u00e7\u00e3o condicional [tex]p \\rightarrow q[\/tex] e a esta associamos duas outras condicionais: \n➤<\/span> a condicional [tex]q \\rightarrow p[\/tex], denominada a rec\u00edproca de [tex]p \\rightarrow q[\/tex]<\/strong><\/span>; \n➤<\/span> a condicional [tex]\\sim q \\rightarrow \\sim p[\/tex], denominada a contrapositiva de [tex]p \\rightarrow q[\/tex]<\/strong><\/span>.<\/p>\n
\n
Agora, observe a tabela abaixo e perceba que:<\/p>\n
\n
➤<\/span> Uma condicional e sua contrapositiva s\u00e3o equivalentes: [tex]\\fcolorbox{black}{#fdf8ec}{$ p \\rightarrow q \\Longleftrightarrow \\, \\sim q \\rightarrow \\sim p$}[\/tex]. \n➤<\/span> A nega\u00e7\u00e3o de uma condicional n\u00e3o \u00e9 a sua rec\u00edproca; o que temos \u00e9: [tex]\\fcolorbox{black}{#fdf8ec}{$ \\sim (p \\rightarrow q) \\Longleftrightarrow p \\, \\land \\sim q $}[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\begin{array}{cccc|cc|cccC} \np & q &\\sim p &\\sim q & p \\rightarrow q & \\sim q \\rightarrow \\sim p & \\sim (p \\rightarrow q) \\; &\\;p \\land \\sim q \\;&\\;q \\rightarrow p \\\\ \n\\hline \nV&V&F&F&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{blue}F}&{\\color{blue}F}&V\\\\ \nV&F&F&V&{\\color{#996b0e}F}&{\\color{#996b0e}F}&{\\color{blue}V}&{\\color{blue}V}&V\\\\ \nF&V&V&F&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{blue}F}&{\\color{blue}F}&F\\\\ \nF&F&V&V&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{blue}F}&{\\color{blue}F}&V \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
Para alguns exemplos imediatos, clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o.<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n(1)<\/strong> Dada a condicional "Se [tex]\\sqrt{2} \\lt 1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sqrt{2} \\lt 4[\/tex]." temos: \n(a) a sua rec\u00edproca: "Se [tex]\\sqrt{2} \\lt 4[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sqrt{2} \\lt 1[\/tex]." \n(b) a sua contrapositiva: "Se [tex]\\sqrt{2}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 menor do que [tex]4[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sqrt{2}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 menor do que [tex]1[\/tex]." (ou "Se [tex]\\sqrt{2} \\ge 4[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sqrt{2} \\ge 1[\/tex]."). <\/p>\n
\n
(2)<\/strong> Dada a condicional: "Se [tex]\\sqrt{7}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero irracional, ent\u00e3o [tex]6\\sqrt{7}[\/tex] \u00e9 irracional.", temos: \n(c) a sua rec\u00edproca: "Se [tex]6\\sqrt{7}[\/tex] \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]\\sqrt{7}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero irracional." \n(d) a sua contrapositiva: "Se [tex]6\\sqrt{7}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]\\sqrt{7}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero irracional."<\/p>\n
\n
Observe que as duas condicionais dadas s\u00e3o verdadeiras e, consequentemente as respectivas contrapositivas tamb\u00e9m o s\u00e3o. Por outro lado, enquanto a rec\u00edproca da primeira \u00e9 falsa, a da segunda, \u00e9 verdadeira. \n➤<\/span>Assim, mais do que n\u00e3o serem equivalentes, uma condicional e sua rec\u00edproca n\u00e3o t\u00eam rela\u00e7\u00e3o.<\/strong>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n
Observe, agora, a pr\u00f3xima tabela-verdade, na qual [tex]f[\/tex] \u00e9 uma f\u00f3rmula contradit\u00f3ria (sempre falsa). <\/p>\n
\n[tex]\\begin{array}{ccccc|c c} \np & q & f &\\sim q & p \\, \\land \\sim q & p \\rightarrow q &\\quad p \\, \\land \\sim q \\rightarrow f \\\\ \n\\hline \nV&V&F&F&F&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V}\\\\ \nV&F&F&V&V&{\\color{#996b0e}F}&{\\color{#996b0e}F}\\\\ \nF&V&F&F&F&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V}\\\\ \nF&F&F&V&F&{\\color{#996b0e}V}&{\\color{#996b0e}V} \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n
Observando as duas \u00faltimas colunas, podemos concluir que [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#fdf8ec}{$ p \\rightarrow q \\Longleftrightarrow p \\, \\land \\sim q \\rightarrow f$} \\, [\/tex]. \nEssa \u00e9 uma equival\u00eancia essencial no estudo da Matem\u00e1tica; ela garante o chamado "Princ\u00edpio da demonstra\u00e7\u00e3o por absurdo<\/em><\/strong>" ou, simplesmente, "demonstra\u00e7\u00e3o por absurdo<\/em><\/strong>". Esse princ\u00edpio \u00e9 uma t\u00e9cnica de demonstra\u00e7\u00e3o bastante utilizada na teoria matem\u00e1tica.<\/p>\n
\n
\n\n
\n
Assim, temos tr\u00eas equival\u00eancias importantes envolvendo condicionais:<\/p>\n
\n[tex] p \\rightarrow q \\Longleftrightarrow \\, \\sim q \\rightarrow \\sim p [\/tex] \n[tex]\\sim (p \\rightarrow q) \\Longleftrightarrow p \\, \\land \\sim q[\/tex] \n[tex]p \\rightarrow q \\Longleftrightarrow p \\, \\land \\sim q \\rightarrow f[\/tex]<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
<\/span>Vale a pena relacionar as nega\u00e7\u00f5es das f\u00f3rmulas proposicionais definidas pelos cinco conectivos l\u00f3gicos. J\u00e1 mostramos a maioria dessas equival\u00eancias, as demais ficam como tarefa para voc\u00ea.<\/p>\n
\n
\n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da nega\u00e7\u00e3o: [tex] \\sim (\\sim p) \\Longleftrightarrow \\, p[\/tex] \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da conjun\u00e7\u00e3o: [tex] \\sim (p \\land q) \\, \\Longleftrightarrow \\, \\sim p \\, \\lor \\sim q[\/tex] \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da disjun\u00e7\u00e3o: [tex] \\sim (p \\lor q) \\, \\Longleftrightarrow \\, \\sim p \\, \\land\\sim q[\/tex] \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da condicional: [tex] \\sim (p \\rightarrow q) \\, \\Longleftrightarrow \\, p \\, \\land \\sim q[\/tex] \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da bicondicional: [tex] \\sim (p \\longleftrightarrow q) \\, \\Longleftrightarrow \\, (p \\, \\land \\sim q) \\lor (\\sim p \\, \\land q)[\/tex]<\/p>\n
<\/span> Se precisar de exemplos envolvendo essas nega\u00e7\u00f5es, clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o.<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\n ✐ <\/span>Considere as proposi\u00e7\u00f5es [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex] definidas por: \n[tex]\\qquad \\qquad p:\\,2+5=9\\qquad \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad q:\\, 4 \\times 3\\ne 10[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o de [tex]p[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5\\ne 9[\/tex]; \n➤<\/span> Conjun\u00e7\u00e3o de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5=9\\,[\/tex] e<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3\\ne 10[\/tex]; \n➤<\/span> Disjun\u00e7\u00e3o de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5=9\\,[\/tex] ou<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3\\ne 10[\/tex]; \n➤<\/span> Condicional de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad [\/tex]Se [tex]\\, 2+5=9\\,[\/tex] ent\u00e3o<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3\\ne 10[\/tex]; \n➤<\/span> Bicondicional de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad [\/tex][tex]\\, 2+5=9\\,[\/tex] se, e somente se, <\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3\\ne 10[\/tex];\n<\/td>\n
\n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o de [tex]q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 4 \\times 3=10[\/tex]; \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da conjun\u00e7\u00e3o de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5\\ne9\\,[\/tex] ou<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3=10[\/tex]; \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da disjun\u00e7\u00e3o de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5\\ne9\\,[\/tex] e<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3=10[\/tex]; \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da condicional de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad 2+5=9\\,[\/tex] e<\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3= 10[\/tex]; \n➤<\/span> Nega\u00e7\u00e3o da bicondicional de [tex]p\\,[\/tex] e [tex]\\,q[\/tex]<\/strong>: \n[tex]\\qquad (2+5=9\\,[\/tex] e <\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3=10)[\/tex] ou <\/strong> [tex](2+5\\ne 9\\,[\/tex] e <\/strong> [tex]\\, 4 \\times 3\\ne 10)[\/tex];\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
<\/span> Discutimos at\u00e9 agora a situa\u00e7\u00e3o ideal, no que tange \u00e0 substitui\u00e7\u00e3o de proposi\u00e7\u00f5es: situa\u00e7\u00f5es nas quais temos duas proposi\u00e7\u00f5es tais que “qualquer uma delas pode ser substitu\u00edda pela outra”. O que faremos agora \u00e9 completar a discuss\u00e3o, apresentando pares de proposi\u00e7\u00f5es tais que podemos garantir que uma delas pode ser substitu\u00edda pela outra sem que, necessariamente, a outra possa ser substitu\u00edda pela primeira. Estabeleceremos, ent\u00e3o, que uma proposi\u00e7\u00e3o poder\u00e1 ser substitu\u00edda por uma segunda se a f\u00f3rmula proposicional que representa a primeira implicar logicamente a f\u00f3rmula da segunda e complementamos essa informa\u00e7\u00e3o com a seguinte defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
\nSejam [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] f\u00f3rmulas proposicionais definidas a partir das mesmas letras proposicionais. Dizemos que [tex]P[\/tex] implica logicamente <\/strong><\/span> [tex]Q[\/tex] (ou simplesmente, [tex]P[\/tex] implica <\/strong><\/span> [tex]Q[\/tex]) se a f\u00f3rmula proposicional [tex]P \\rightarrow Q[\/tex] for uma tautologia. Neste caso, usamos a nota\u00e7\u00e3o [tex]P \\Rightarrow Q[\/tex] e dizemos que a condicional tautol\u00f3gica [tex]P \\rightarrow Q[\/tex] \u00e9 uma implica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\n
<\/span> Perceba que se duas f\u00f3rmulas proposicionais [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]P \\Longleftrightarrow Q[\/tex], ent\u00e3o podemos garantir que [tex]P \\Rightarrow Q[\/tex] e [tex]Q \\Rightarrow P[\/tex]. Com isso j\u00e1 temos v\u00e1rios exemplos de implica\u00e7\u00f5es. \n<\/span> Um exemplo cl\u00e1ssico e intuitivo de implica\u00e7\u00e3o sem equival\u00eancia vem da f\u00f3rmula proposicional [tex] p \\land q[\/tex]. Conforme mostra a tabela abaixo, [tex] p \\land q \\Rightarrow p \\, [\/tex] e [tex] \\, p \\land q \\Rightarrow q[\/tex].<\/p>\n
\nCabe aqui observar tamb\u00e9m que os s\u00edmbolos [tex]{\\color{#996b0e}\\rightarrow} \\, [\/tex] e [tex] \\, {\\color{#996b0e}\\Rightarrow}[\/tex] s\u00e3o distintos:<\/p>\n
[tex]{\\color{#996b0e}\\rightarrow \\, }[\/tex] indica uma opera\u00e7\u00e3o l\u00f3gica (a partir de duas f\u00f3rmulas proposicionais [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex], obtemos uma terceira f\u00f3rmula: a condicional [tex]{\\color{#996b0e}P\\rightarrow Q}[\/tex]). \n[tex]{\\color{#996b0e} \\, \\Rightarrow}[\/tex] indica uma rela\u00e7\u00e3o entre f\u00f3rmulas proposicionais (dadas duas f\u00f3rmulas [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex], [tex]{\\color{#996b0e}P \\Rightarrow Q}[\/tex] estabelece que a f\u00f3rmula [tex]P[\/tex] implica a f\u00f3rmula [tex]Q[\/tex]).<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/span> Mesmo sendo logicamente "mais fracas" do que as equival\u00eancias, as implica\u00e7\u00f5es desempenham um papel importante na Matem\u00e1tica. Apresentamos abaixo algumas implica\u00e7\u00f5es bastante utilizadas em demonstra\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas.<\/p>\n
\n
\n➤<\/span> Regras de Simplifica\u00e7\u00e3o: [tex]p \\land q \\Rightarrow p \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, p \\land q \\Rightarrow q [\/tex] \n➤<\/span> Regras de Adi\u00e7\u00e3o : [tex]p \\Rightarrow p \\lor q \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, q \\Rightarrow p \\lor q[\/tex] \n➤<\/span> Regra do Modus Ponens<\/em>: [tex](p \\rightarrow q) \\land p \\Rightarrow q[\/tex] \n➤<\/span> Regra do Modus Tollens<\/em>: [tex](p \\rightarrow q) \\, \\land \\sim q \\Rightarrow \\sim p[\/tex]\n<\/p>\n
\n
<\/span> Essas implica\u00e7\u00f5es s\u00e3o exemplos do que a L\u00f3gica denomina Regras de Infer\u00eancia<\/em> e a leitura delas pode assim ser feita: \n➤<\/span> "de [tex]p \\land q[\/tex], podemos inferir [tex]p[\/tex]" ou "de [tex]p \\land q[\/tex], podemos concluir [tex]p[\/tex]"; \n➤<\/span> "de [tex]p \\land q[\/tex], podemos inferir [tex]q[\/tex]" ou "de [tex]p \\land q[\/tex], podemos concluir [tex]q[\/tex]"; \n➤<\/span> "de [tex]p[\/tex], podemos inferir [tex]p \\lor q[\/tex]" ou "de [tex]p[\/tex], podemos concluir [tex]p \\lor q[\/tex]"; \n➤<\/span> "de [tex]q [\/tex], podemos inferir [tex] p \\lor q[\/tex]" ou "de [tex]q [\/tex], podemos concluir [tex] p \\lor q[\/tex]"; e assim por diante…<\/p>\n
Para ilustrar um pouco do que aqui foi apresentado, clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o.<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\n
Equival\u00eancias l\u00f3gicas<\/p>\n
\nObserve que: \n ✐ <\/span>A nega\u00e7\u00e3o da afirma\u00e7\u00e3o "[tex]2[\/tex] \u00e9 par ou<\/strong> [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional" \u00e9 "[tex]2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 par e<\/strong> [tex]\\pi[\/tex] n\u00e3o \u00e9 irracional", isto \u00e9, "[tex]2[\/tex] \u00e9 \u00edmpar e<\/strong> [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 racional".<\/p>\n
\n
✐ <\/span> A nega\u00e7\u00e3o da afirma\u00e7\u00e3o "se [tex]5+1=9[\/tex] , ent\u00e3o [tex]5^2=15[\/tex] " \u00e9 a afirma\u00e7\u00e3o " [tex]5+1 = 9 \\, [\/tex] e [tex] \\, 5^2 \\ne 15[\/tex] ". <\/p>\n
\n
✐ <\/span> A afirma\u00e7\u00e3o "se [tex]5+1=9[\/tex] , ent\u00e3o [tex]5^2=15[\/tex]" pode ser substitu\u00edda pela afirma\u00e7\u00e3o " [tex]5+1 \\ne 9 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 5^2=15[\/tex]". <\/p>\n
\n
✐ <\/span> A afirma\u00e7\u00e3o "se hoje \u00e9 domingo, ent\u00e3o amanh\u00e3 n\u00e3o ser\u00e1 sexta-feira" pode ser substitu\u00edda pela afirma\u00e7\u00e3o "se amanh\u00e3 for sexta-feira, ent\u00e3o hoje n\u00e3o \u00e9 domingo". <\/p>\n
\n
✐ <\/span> A nega\u00e7\u00e3o da frase "[tex]2 \\lt 6 \\lt 8[\/tex] " \u00e9 "[tex]2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 menor do [tex]6 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 6[\/tex] n\u00e3o \u00e9 menor do que [tex]8[\/tex]" ou ainda, "[tex]2 \\ge 6 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 6 \\ge 8[\/tex]".<\/p>\n
\n
✐ <\/span> A nega\u00e7\u00e3o da frase "[tex]3 \\times 2=6 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 2^0=1 \\, [\/tex] e [tex] \\, 1+5\\ne 9[\/tex] " \u00e9 "[tex]3 \\times 2 \\ne 6 \\, [\/tex] e [tex] \\, 2^0\\ne 1 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 1+5=9[\/tex] ".<\/p>\n
A afirma\u00e7\u00e3o do quarto exemplo \u00e9, de fato, uma proposi\u00e7\u00e3o?<\/p>\n<\/div>\n
\n\n\n\n\n
\n
Uma aplica\u00e7\u00e3o importante das equival\u00eancias e implica\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas<\/p>\n
\nUma tarefa importante para quem estuda L\u00f3gica \u00e9 testar argumentos<\/strong>. \nInformalmente, um argumento \u00e9 qualquer afirma\u00e7\u00e3o de que "uma determinada proposi\u00e7\u00e3o, chamada a conclus\u00e3o, \u00e9 consequ\u00eancia de outras proposi\u00e7\u00f5es, chamadas premissas ou hip\u00f3teses". E um argumento \u00e9 dito v\u00e1lido se a conjun\u00e7\u00e3o das premissas\/hip\u00f3teses implica a conclus\u00e3o. Formalizando um pouco, para manter as nossas nota\u00e7\u00f5es, vamos apresentar mais uma defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\nSuponha que [tex]p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots \\, p_n, \\, q \\, [\/tex] representem proposi\u00e7\u00f5es quaisquer. Chamamos de argumento<\/strong><\/span> toda afirma\u00e7\u00e3o de que [tex]p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots \\, p_n \\, [\/tex] t\u00eam como consequ\u00eancia [tex] \\, q[\/tex]. Neste caso: \n➤<\/span> as proposi\u00e7\u00f5es representadas por [tex]p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots \\, p_n \\, [\/tex] s\u00e3o as premissas<\/strong> do argumento<\/span>; \n➤<\/span> a proposi\u00e7\u00e3o representada por [tex] \\, q[\/tex] \u00e9 a conclus\u00e3o <\/strong> do argumento<\/span>; \n➤<\/span> dizemos que o argumento \u00e9 v\u00e1lido se \n[tex]\\qquad p_1 \\land p_2 \\land p_3 \\land \\, \\cdots \\, p_n \\Rightarrow q \\, [\/tex], \nou seja, se a f\u00f3rmula proposicional da condicional \n[tex]\\qquad p_1 \\land p_2 \\land p_3 \\land \\, \\cdots \\, p_n \\rightarrow q \\, [\/tex] \nfor tautol\u00f3gica. <\/p>\n
\n
Tabelas-verdade podem ser utilizadas para testarmos a validade ou n\u00e3o<\/strong> de argumentos, mas sabemos que uma tabela-verdade pode ter muitas linhas e colunas. Nestes casos, o uso de regras de infer\u00eancia pode garantir a validade<\/strong> de um argumento; para isso fazemos um processo que denominaremos de "Deriva\u00e7\u00e3o formal por regras de infer\u00eancia". \nUma Deriva\u00e7\u00e3o formal por regras de infer\u00eancia \u00e9 um processo que se inicia com a listagem das premissas do argumento; em seguida, novas proposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o obtidas por meio da aplica\u00e7\u00e3o de regras de infer\u00eancia adequadas, at\u00e9 que a conclus\u00e3o seja obtida:<\/p>\n
(1)<\/strong> [tex] p_1 \\qquad \\quad[\/tex] premissa \n(2)<\/strong> [tex] p_2 \\qquad \\quad[\/tex] premissa \n. . . \n(n)<\/strong> [tex] p_n \\qquad \\quad[\/tex] premissa \n(n+1)<\/strong> [tex] q_1 \\qquad [\/tex] justificativa da nova proposi\u00e7\u00e3o \n(n+2)<\/strong> [tex] q_2 \\qquad [\/tex] justificativa da nova proposi\u00e7\u00e3o \n. . . \n(n+m)<\/strong> [tex] q_m \\qquad [\/tex] justificativa da nova proposi\u00e7\u00e3o \n______________________________________________________________ \n[tex]\\qquad \\qquad q\\qquad [\/tex] conclus\u00e3o<\/p>\n
A princ\u00edpio o processo parece aterrorizador, mas n\u00e3o \u00e9… \u00c9 somente l\u00f3gico! \nVejam alguns exemplos.<\/p>\n
\n ✐ <\/span>Argumento: "Se faz calor, ent\u00e3o Maria vai \u00e0 piscina. Fez calor; logo Maria foi \u00e0 piscina.<\/strong>". \nVamos considerar as premissas: \n[tex]\\qquad p_1[\/tex]: Se faz calor, ent\u00e3o Maria vai \u00e0 piscina. \n[tex]\\qquad p_2[\/tex]: Fez calor. \ne a conclus\u00e3o: \n[tex]\\qquad q[\/tex]: Maria foi \u00e0 piscina.<\/span><\/p>\n
Observe que a f\u00f3rmula proposicional [tex](r \\rightarrow s) \\land r \\rightarrow s \\, [\/tex] generaliza a proposi\u00e7\u00e3o condicional [tex]p_1 \\land p_2\\rightarrow q [\/tex]; assim, para verificar a validade ou n\u00e3o do argumento, bastaria construir a tabela-verdade da f\u00f3rmula proposicional [tex](r \\rightarrow s) \\land r \\rightarrow s [\/tex]. \nMas isso n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio, j\u00e1 que a implica\u00e7\u00e3o [tex](r \\rightarrow s) \\land r \\rightarrow s [\/tex] corresponde \u00e0 regra de infer\u00eancia Modus Ponens<\/em>. \nPara facilitar a visualiza\u00e7\u00e3o da infer\u00eancia podemos esquematizar o racioc\u00ednio da seguinte forma:<\/p>\n
\n
\n
\n
(1)<\/td>\n
Se faz calor, ent\u00e3o Maria vai \u00e0 piscina.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(2)<\/td>\n
Fez calor.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(3)<\/td>\n
Maria foi \u00e0 piscina.<\/td>\n
(1), (2) e Modus Ponens<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n
\n ✐ <\/span>Argumento: "Se eu fosse ator, ent\u00e3o seria artista. N\u00e3o sou ator; logo n\u00e3o sou artista.<\/strong>". \nVamos considerar as premissas: \n[tex]\\qquad p_1[\/tex]: Se eu fosse ator, ent\u00e3o seria artista. \n[tex]\\qquad p_2[\/tex]: N\u00e3o sou ator. \ne a conclus\u00e3o: \n[tex]\\qquad q[\/tex]: N\u00e3o sou artista.<\/span><\/p>\n
Observe que a f\u00f3rmula proposicional [tex](r \\rightarrow s) \\land \\sim r \\rightarrow \\sim s \\, [\/tex] aplicada \u00e0s proposi\u00e7\u00f5es \n[tex]\\qquad r[\/tex]: ser ator; \n[tex]\\qquad s[\/tex]: ser artista. \ncorresponde \u00e0 proposi\u00e7\u00e3o condicional [tex]p_1 \\land p_2\\rightarrow q [\/tex]; assim, para verificar a validade ou n\u00e3o do argumento, vamos investigar a poss\u00edvel implica\u00e7\u00e3o [tex](r \\rightarrow s) \\land \\sim r \\Rightarrow \\sim s [\/tex]. \nA tabela abaixo mostra que a f\u00f3rmula [tex](r \\rightarrow s) \\land \\sim r \\rightarrow \\sim s [\/tex] n\u00e3o \u00e9 tautol\u00f3gica, logo n\u00e3o ocorre a implica\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o e o argumento n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lido.<\/p>\n
\n[tex]\\begin{array}{cccccc|c} \nr & s & \\sim r & \\sim s & r \\rightarrow s & (r \\rightarrow s) \\land \\sim r & ((r \\rightarrow s) \\land \\sim r) \\longrightarrow \\sim s\\\\ \n\\hline \nV&V&F&F&V&F&{\\color{blue}V} \\\\ \nV&F&F&V&F&F&{\\color{blue}V} \\\\ \nF&V&V&F&V&V&{\\color{#996b0e}F} \\\\ \nF&F&V&V&V&V&{\\color{blue}V} \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n
\n
\n ✐ <\/span>Argumento: "Se eu ganhar na loteria, ent\u00e3o eu fico rico. Se eu ficar rico, fico feliz. Ganhei na loteria; logo fiquei feliz.<\/strong>". \nVamos considerar as premissas: \n[tex]\\qquad p_1[\/tex]: Se eu ganhar na loteria, ent\u00e3o eu fico rico. \n[tex]\\qquad p_2[\/tex]: Se eu ficar rico, fico feliz. \n[tex]\\qquad p_3[\/tex]: Ganhei na loteria. \ne a conclus\u00e3o: \n[tex]\\qquad q[\/tex]: Fiquei feliz.<\/span><\/p>\n
Vamos aqui considerar a f\u00f3rmula proposicional [tex]\\left( (p \\rightarrow q) \\land (q \\rightarrow r) \\land p \\right) \\rightarrow r \\, [\/tex] e verificar se ela \u00e9 tautol\u00f3gica. Para tanto, constru\u00edmos a seguinte tabela-verdade:<\/p>\n
A \u00faltima coluna da tabela s\u00f3 cont\u00e9m V’s, logo a f\u00f3rmula condicional [tex]\\left( (p \\rightarrow q) \\land (q \\rightarrow r) \\land p \\right) \\rightarrow r [\/tex] \u00e9 tautol\u00f3gica, [tex]\\left( (p \\rightarrow q) \\land (q \\rightarrow r) \\land p \\right) \\Rightarrow r \\, [\/tex] e o argumento \u00e9 v\u00e1lido!<\/p>\n
\n
A validade desse argumento poderia ser verificada com o uso das regras de infer\u00eancia:<\/p>\n
\n
\n
\n
(1)<\/td>\n
Se eu ganhar na loteria, ent\u00e3o eu fico rico.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(2)<\/td>\n
Se eu ficar rico, fico feliz.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(3)<\/td>\n
Ganhei na loteria.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(4)<\/td>\n
Fiquei rico.<\/td>\n
(1), (3) e Modus Ponens<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(5)<\/td>\n
Fiquei feliz.<\/td>\n
(2), (4) e Modus Ponens<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n
\n ✐ <\/span>Argumento: "Se meu time ganhar a \u00faltima partida do campeonato, ent\u00e3o ele ser\u00e1 campe\u00e3o. Meu time ganhou as duas \u00faltimas partidas do campeonato; logo meu time foi campe\u00e3o.<\/strong>". \nVamos considerar as premissas: \n[tex]\\qquad p_1[\/tex]: Se meu time ganhar a \u00faltima partida do campeonato, ent\u00e3o ele ser\u00e1 campe\u00e3o. \n[tex]\\qquad p_2[\/tex]: Meu time ganhou as duas \u00faltimas partidas do campeonato. \ne a conclus\u00e3o: \n[tex]\\qquad q[\/tex]: Meu time foi campe\u00e3o.<\/span><\/p>\n
Antes de mais nada, observe que a segunda premissa corresponde a uma conjun\u00e7\u00e3o: Meu time ganhou a \u00faltima partida do campeonato e meu time ganhou a pen\u00faltima partida do campeonato, ent\u00e3o vamos considerar a f\u00f3rmula proposicional [tex]( (p \\rightarrow q) \\land (p \\land r) ) \\rightarrow q \\, [\/tex] e verificar se ela \u00e9 tautol\u00f3gica. \nTabela-verdade:<\/p>\n
A \u00faltima coluna da tabela s\u00f3 cont\u00e9m V’s, logo temos mais uma f\u00f3rmula condicional tautol\u00f3gica, assim [tex](p \\rightarrow q) \\land (p \\land r) \\Rightarrow q \\, [\/tex] e o argumento \u00e9 v\u00e1lido!<\/p>\n
\n
A validade desse argumento tamb\u00e9m pode ser verificada com o uso das regras de infer\u00eancia:<\/p>\n
\n
\n
\n
(1)<\/td>\n
Se meu time ganhar a \u00faltima partida do campeonato, ent\u00e3o ele ser\u00e1 campe\u00e3o.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(2)<\/td>\n
Meu time ganhou a \u00faltima partida do campeonato e meu time ganhou \na pen\u00faltima partida do campeonato.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(3)<\/td>\n
Meu time ganhou a \u00faltima partida do campeonato.<\/td>\n
(2) e Regra de Simplifica\u00e7\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(4)<\/td>\n
Meu time foi campe\u00e3o.<\/td>\n
(1), (3) e Modus Ponens<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n
\n ✐ <\/span>Argumento: "Se Edu estuda medicina, ent\u00e3o ele prepara-se para ganhar bem. Se Edu estuda artes, ent\u00e3o ele prepara-se para ser feliz. Se Edu prepara-se para ganhar bem ou ser feliz, ent\u00e3o suas despesas de estudos s\u00e3o valorizadas. Suas despesas de estudos n\u00e3o s\u00e3o valorizadas. Portanto, Edu n\u00e3o estuda medicina e nem artes<\/strong>".<\/p>\n
\n
A validade desse argumento tamb\u00e9m pode ser verificada com o uso das regras de infer\u00eancia:<\/p>\n
\n
\n
\n
(1)<\/td>\n
Se Edu estuda medicina, ent\u00e3o ele prepara-se para ganhar bem.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(2)<\/td>\n
Se Edu estuda artes, ent\u00e3o ele prepara-se para ser feliz.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(3)<\/td>\n
Se Edu prepara-se para ganhar bem ou para ser feliz, ent\u00e3o suas despesas \n de estudos s\u00e3o valorizadas.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(4)<\/td>\n
As despesas de estudos de Edu n\u00e3o s\u00e3o valorizadas.<\/td>\n
premissa<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(5)<\/td>\n
Edu n\u00e3o se prepara para “ganhar bem ou <\/strong>para ser feliz”.<\/td>\n
(3), (4) e Modus Tollens<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(6)<\/td>\n
Edu n\u00e3o se prepara para ganhar bem e<\/strong> Edu n\u00e3o se prepara para ser feliz.<\/td>\n
(5) e Nega\u00e7\u00e3o da disjun\u00e7\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(7)<\/td>\n
Edu n\u00e3o se prepara para ganhar bem.<\/td>\n
(6) e Regra de Simplifica\u00e7\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(8)<\/td>\n
Edu n\u00e3o se prepara para ser feliz.<\/td>\n
(6) e Regra de Simplifica\u00e7\u00e3o<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(9)<\/td>\n
Edu n\u00e3o estuda medicina.<\/td>\n
(1), (7) e Modus Tollens<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(10)<\/td>\n
Edu n\u00e3o estuda artes.<\/td>\n
(2), (8) e Modus Tollens<\/td>\n<\/tr>\n
\n
(11)<\/td>\n
Edu n\u00e3o estuda medicina e Edu n\u00e3o estuda artes.<\/td>\n
Conjun\u00e7\u00e3o de (9) e (10) <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n
\n
\n
<\/td>\n
\n
Verdade e falsidade s\u00e3o atributos de proposi\u00e7\u00f5es, n\u00e3o de argumentos: proposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras ou falsas, mas argumentos s\u00e3o v\u00e1lidos ou n\u00e3o<\/strong>. \nArgumentos podem ser v\u00e1lidos e terem conclus\u00f5es falsas. Tamb\u00e9m, argumentos que n\u00e3o sejam v\u00e1lidos podem ter conclus\u00f5es verdadeiras.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n
Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n