A linguagem matem\u00e1tica<\/p>\n
F\u00f3rmulas proposicionais<\/p>\n
\n
\n
<\/span> Na Sala 1<\/strong> vimos que, a partir de proposi\u00e7\u00f5es conhecidas, podemos escrever novas proposi\u00e7\u00f5es utilizando os conectivos [tex]\\sim[\/tex], [tex] \\land[\/tex], [tex]\\lor[\/tex], [tex]\\rightarrow[\/tex], [tex]\\longleftrightarrow[\/tex], e que a verdade ou a falsidade dessas novas proposi\u00e7\u00f5es ficam definidas, de acordo com a tabela abaixo.<\/p>\n \n[tex]\\begin{array}{cc|c|c|c|c|c} \n ➤<\/span> A express\u00e3o “valor l\u00f3gico”<\/strong><\/span> designa a verdade ou a falsidade de uma proposi\u00e7\u00e3o. Uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira tem valor l\u00f3gico verdadeiro (V) e uma proposi\u00e7\u00e3o falsa tem valor l\u00f3gico falso (F). O valor l\u00f3gico de uma proposi\u00e7\u00e3o [tex]p[\/tex] \u00e9 comumente indicado por [tex]V(p)[\/tex]. <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Particularmente, a proposi\u00e7\u00e3o <\/p>\n pode ser representada por [tex]p \\rightarrow q[\/tex], com <\/p>\n e \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira. \n Voc\u00ea notou a sutileza da observa\u00e7\u00e3o?<\/p>\n \n <\/span>Vamos tentar diferenciar mais formalmente essas duas situa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n Letras e f\u00f3rmulas proposicionais<\/em><\/p>\n \n <\/span>Conforme observamos na Sala 1, utilizamos letras latinas min\u00fasculas, indexadas ou n\u00e3o, para representar proposi\u00e7\u00f5es. Quando uma letra representa uma proposi\u00e7\u00e3o gen\u00e9rica ela \u00e9 denominada letra proposicional<\/strong><\/span>.<\/td>\n \n <\/span> Aplicando conectivos a letras proposicionais obtemos o que denominaremos de f\u00f3rmulas proposicionais. Sem muito formalismo:<\/p>\n Chamaremos de f\u00f3rmula proposicional<\/strong><\/span> a toda express\u00e3o constitu\u00edda de letras proposicionais e conectivos, de tal forma que, se as letras proposicionais representarem proposi\u00e7\u00f5es espec\u00edficas, ent\u00e3o obtemos uma \u00fanica proposi\u00e7\u00e3o. (Utilizaremos letras latinas mai\u00fasculas para nomear f\u00f3rmulas proposicionais.)<\/span>\n<\/p>\n <\/span> Assim, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] s\u00e3o letras proposicionais, ent\u00e3o as express\u00f5es [tex]\\sim p[\/tex] , [tex]\\sim q[\/tex] , [tex]p \\land q[\/tex] , [tex]p \\lor q[\/tex] , [tex]p \\rightarrow q[\/tex] e [tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex] s\u00e3o exemplos de f\u00f3rmulas proposicionais e podem ser assim nomeadas: \n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong> Considere a f\u00f3rmula proposicional [tex]p \\rightarrow q \\lor r[\/tex].<\/p>\n \n \n \n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong> Considere a f\u00f3rmula proposicional [tex]p_1 \\land p_2 \\longleftrightarrow p_3[\/tex].<\/p>\n [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 racional e [tex]2 \\lt 6[\/tex] se e somente se [tex]9[\/tex] \u00e9 primo<\/strong>.<\/p>\n N\u00e3o conseguiu ver a verdade da proposi\u00e7\u00e3o resultante?<\/p>\n \n [tex]2+6=8[\/tex] e [tex]5^0=0[\/tex] se e somente se [tex]\\sqrt{4}=2[\/tex]<\/strong>.<\/p>\n N\u00e3o conseguiu ver a falsidade da proposi\u00e7\u00e3o resultante?<\/p>\n \n Tabelas-verdade<\/em><\/p>\n \n <\/span> Uma f\u00f3rmula proposicional n\u00e3o tem um valor l\u00f3gico verdadeiro ou falso, j\u00e1 que uma f\u00f3rmula representa infinitas proposi\u00e7\u00f5es. Mas \u00e9 absolutamente previs\u00edvel quando essa f\u00f3rmula vai definir uma proposi\u00e7\u00e3o final verdadeira ou falsa. Para isso, basta listarmos todas as possibilidades de valores l\u00f3gicos para as letras proposicionais que comp\u00f5em a f\u00f3rmula em quest\u00e3o e, a partir das tabelinhas da Sala 1 que definem a verdade ou falsidade das proposi\u00e7\u00f5es definidas a partir dos conectivos [tex]\\sim[\/tex], [tex] \\land[\/tex], [tex]\\lor[\/tex], [tex]\\rightarrow[\/tex], [tex]\\longleftrightarrow[\/tex] e da ordem de preced\u00eancia desses conectivos, determinar as respectivas possibilidades de verdade ou falsidade das proposi\u00e7\u00f5es resultantes. <\/span>Observe que, de acordo com a ordem de preced\u00eancia definida para os conectivos l\u00f3gicos, a f\u00f3rmula [tex]p \\rightarrow q \\lor r[\/tex] deve ser interpretada como [tex]p \\rightarrow (q \\lor r)[\/tex] e, a f\u00f3rmula [tex]p_1 \\land p_2 \\longleftrightarrow p_3[\/tex], como [tex](p_1 \\land p_2) \\longleftrightarrow p_3[\/tex].<\/div>\n Tautologias e contradi\u00e7\u00f5es<\/em><\/p>\n \n <\/span> Considere as f\u00f3rmulas proposicionais [tex]\\,\\textcolor{red}{p \\lor (p \\land q) \\longleftrightarrow p} \\; [\/tex] e [tex] \\; \\textcolor{blue}{(\\sim p \\land q) \\land p}[\/tex], e observe suas respectivas tabelas-verdade.<\/p>\n <\/span> Essas duas f\u00f3rmulas s\u00e3o exemplos do que a L\u00f3gica chama, respectivamente, de tautologia<\/strong> e de contradi\u00e7\u00e3o<\/strong>, conforme as pr\u00f3ximas defini\u00e7\u00f5es.<\/p>\n \nUma tautologia<\/strong><\/span> \u00e9 uma f\u00f3rmula proposicional que, ao ser aplicada a quaisquer [tex]n[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es representadas pelas suas letras proposicionais, resulta em uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira<\/strong>. \n <\/span>Assim, a \u00faltima coluna da tabela verdade de uma tautologia (ou f\u00f3rmula tautol\u00f3gica) \u00e9 constitu\u00edda apenas por [tex]V[\/tex]’s e, a de uma contradi\u00e7\u00e3o (ou f\u00f3rmula contradit\u00f3ria), por [tex]F[\/tex]’s. \n N\u00e3o \u00e9 raro dizermos “considere a proposi\u00e7\u00e3o tal<\/em><\/strong>“, quando, na verdade, tal<\/em><\/strong> \u00e9 uma f\u00f3rmula proposicional e n\u00e3o uma proposi\u00e7\u00e3o de fato.\n
\n \n
\np & q &\\sim p&p \\land q & p \\lor q & p \\rightarrow q & p\\longleftrightarrow q\\\\
\n\\hline
\nV&V&F&V&V&V&V\\\\
\nV&F&F&F&V&F&F\\\\
\nF&V&V&F&V&V&F\\\\
\nF&F&V&F&F&V&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<\/td>\n\n \n
\n
\n
\n
\nNo entanto, “[tex]p \\rightarrow q[\/tex]” tamb\u00e9m representa as proposi\u00e7\u00f5es
\n– “se [tex]3^2=6[\/tex], ent\u00e3o [tex]5^0=1[\/tex]”,
\n– “se [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]5[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]28[\/tex]”,
\n– “se [tex]91-4=100[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sqrt{16}=2[\/tex]”
\ne uma infinidade de outras proposi\u00e7\u00f5es.
\n<\/span>Assim, se denotarmos duas proposi\u00e7\u00f5es, sejam elas simples ou compostas, por [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\sim p[\/tex], [tex]\\sim q[\/tex], [tex]p \\land q[\/tex], [tex]p \\lor q[\/tex], [tex]p \\rightarrow q[\/tex] e [tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex] tamb\u00e9m denotar\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es e poder\u00e3o ser classificadas como verdadeiras ou falsas, de acordo com a tabela acima.
\n<\/span>No entanto, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] representam proposi\u00e7\u00f5es gen\u00e9ricas, e portanto n\u00e3o sabemos se s\u00e3o verdadeiras ou falsas, ent\u00e3o os s\u00edmbolos
\n [tex]\\qquad\\qquad \\sim p\\quad [\/tex], [tex]\\quad \\sim q \\quad [\/tex], [tex]\\quad p \\land q\\quad [\/tex], [tex]\\quad p \\lor q\\quad [\/tex], [tex]\\quad p \\rightarrow q\\quad [\/tex] e [tex]\\quad p \\longleftrightarrow q[\/tex]
\ndenotar\u00e3o <\/strong> proposi\u00e7\u00f5es, mas n\u00e3o s\u00e3o <\/strong> proposi\u00e7\u00f5es propriamente ditas.<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
\n[tex]\\ \\qquad \\qquad A:\\sim p\\quad [\/tex] ; [tex]\\quad B:\\sim q\\quad [\/tex] ; [tex]\\quad C:p \\land q\\quad [\/tex] ; [tex]\\quad D:p \\lor q\\quad [\/tex] ; [tex]\\quad P:p \\rightarrow q\\quad [\/tex] e [tex]\\quad Q:p \\longleftrightarrow q[\/tex].<\/p>\n\n
\n \n(a)<\/strong> Se aplicarmos essa f\u00f3rmula \u00e0s proposi\u00e7\u00f5es
\n[tex]\\quad p: \\, 3[\/tex] \u00e9 par (F)
\n[tex]\\quad q: \\, 7[\/tex] \u00e9 primo (V)
\n[tex]\\quad r: \\, 4[\/tex] \u00e9 par (V)
\nobtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira
\n[tex]p \\rightarrow q \\lor r:[\/tex] Se [tex]3[\/tex] \u00e9 par, ent\u00e3o [tex]7[\/tex] \u00e9 primo ou [tex]4[\/tex] \u00e9 par.
\nN\u00e3o conseguiu ver a verdade da proposi\u00e7\u00e3o resultante?<\/p>\n
\n[tex]F \\rightarrow V \\lor V[\/tex]
\n[tex]F \\rightarrow (V \\lor V)[\/tex]
\n[tex]F \\rightarrow V[\/tex]
\n[tex]V[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n\n(b)<\/strong> Se aplicarmos essa f\u00f3rmula \u00e0s proposi\u00e7\u00f5es
\n[tex]\\quad p: \\, 2+6=8[\/tex] (V)
\n[tex]\\quad q: \\, 5^0=0[\/tex] (F)
\n[tex]\\quad r: \\, \\sqrt{4}=-2[\/tex] (F)
\nobtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa
\n[tex]p \\rightarrow q \\lor r:[\/tex] Se [tex]2+6=8[\/tex], ent\u00e3o [tex]5^0=0[\/tex] ou [tex]\\sqrt{4}=-2[\/tex].
\nN\u00e3o conseguiu ver a falsidade da proposi\u00e7\u00e3o resultante?<\/p>\n
\n[tex]V \\rightarrow F \\lor F[\/tex]
\n[tex]V \\rightarrow (F \\lor F)[\/tex]
\n[tex]V \\rightarrow F[\/tex]
\n[tex]F[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n \n(a)<\/strong> Se aplicarmos essa f\u00f3rmula \u00e0s proposi\u00e7\u00f5es
\n[tex]\\quad p_1: \\, \\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 racional (F)
\n[tex]\\quad p_2: \\, 2 \\lt 6[\/tex] (V)
\n[tex]\\quad p_3: \\, 9[\/tex] \u00e9 primo (F)
\nobtemos a proposi\u00e7\u00e3o verdadeira
\n
\n[tex]F \\land V \\longleftrightarrow F[\/tex]
\n[tex](F \\land V )\\longleftrightarrow F[\/tex]
\n[tex]F\\longleftrightarrow F[\/tex]
\n[tex]V[\/tex]<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n\n(b)<\/strong> Se aplicarmos essa f\u00f3rmula \u00e0s proposi\u00e7\u00f5es
\n[tex]\\quad p_1: \\, 2+6=8[\/tex] (V)
\n[tex]\\quad p_2: \\, 5^0=0[\/tex] (F)
\n[tex]\\quad p_3: \\, \\sqrt{4}=2[\/tex] (V)
\nobtemos a proposi\u00e7\u00e3o falsa<\/p>\n
\n[tex]V \\land F \\longleftrightarrow V[\/tex]
\n[tex](V \\land F )\\longleftrightarrow V[\/tex]
\n[tex]F\\longleftrightarrow V[\/tex]
\n[tex]F[\/tex]<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n<\/span> Isso pode ser feito em uma tabela, que usualmente \u00e9 denominada tabela-verdade<\/strong><\/span>. Particularmente, as tabelinhas da Sala 1 s\u00e3o as tabelas-verdade relativas \u00e0s f\u00f3rmulas proposicionais b\u00e1sicas [tex]\\sim p \\,[\/tex], [tex] \\,\\sim q \\,[\/tex], [tex] \\,p \\land q \\,[\/tex], [tex] \\,p \\lor q \\,[\/tex], [tex] \\,p \\rightarrow q \\,[\/tex] e [tex] \\,p \\longleftrightarrow q \\,[\/tex].
\n<\/span> A palavra "basta" utilizada acima (basta listarmos todas as possibilidades…) \u00e9 s\u00f3 uma for\u00e7a de express\u00e3o, pois uma tabela-verdade pode ser algo monstruoso de grande, j\u00e1 que o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/em><\/strong> nos mostra que uma f\u00f3rmula proposicional definida a partir de [tex]n[\/tex] letras proposicionais que representem proposi\u00e7\u00f5es simples ter\u00e1 uma tabela-verdade com [tex]2^n[\/tex] linhas e, dependendo da quantidade de conectivos utilizados, muitas colunas (uma coluna para cada conectivo mais uma coluna para cada letra proposicional).
\n<\/span> N\u00e3o \u00e9 nosso objetivo ficar construindo tabelas-verdade, precisaremos apenas que voc\u00eas saibam o que \u00e9 uma tabela-verdade para podermos tratar de alguns "enigmas" na pr\u00f3xima sala. Mas, para ningu\u00e9m ficar triste, faremos dois exemplos: as tabelas-verdade das f\u00f3rmulas proposicionais dos \u00faltimos exemplos.<\/p>\n\n
\n \n[tex]\\begin{array}{ccc|c|c}
\np & q & r & q\\lor r &\\boxed{p \\rightarrow q \\lor r}\\\\
\n\\hline
\nV&V&V&V&V\\\\
\nV&V&F&V&V\\\\
\nV&F&V&V&V\\\\
\nV&F&F&F&F\\\\
\nF&V&V&V&V\\\\
\nF&V&F&V&V\\\\
\nF&F&V&V&V\\\\
\nF&F&F&F&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n\n[tex]\\begin{array}{ccc|c|c}
\np_1 & p_2 & p_3 & p_1\\land q_2 & \\boxed{p_1 \\land p_2 \\longleftrightarrow p_3}\\\\
\n\\hline
\nV&V&V&V&V\\\\
\nV&V&F&V&F\\\\
\nV&F&V&F&F\\\\
\nV&F&F&F&V\\\\
\nF&V&V&F&F\\\\
\nF&V&F&F&V\\\\
\nF&F&V&F&F\\\\
\nF&F&F&F&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n \n[tex]\\begin{array}{cc|c|c}
\np & q & p\\land q & p \\lor (p \\land q) & \\textcolor{red}{p \\lor (p \\land q) \\longleftrightarrow p}\\\\
\n\\hline
\nV&V&V&V&\\textcolor{red}{V}\\\\
\nV&F&F&V&\\textcolor{red}{V}\\\\
\nF&V&F&F&\\textcolor{red}{V}\\\\
\nF&F&F&F&\\textcolor{red}{V}\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n\n[tex]\\begin{array}{cc|c|c|c}
\np & q & \\sim p & \\sim p\\land q & \\textcolor{blue}{(\\sim p \\land q) \\land p}\\\\
\n\\hline
\nV&V&F&F&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\nV&F&F&F&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\nF&V&V&V&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\nF&F&V&F&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nUma contradi\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span> \u00e9 uma f\u00f3rmula proposicional que, ao ser aplicada a quaisquer [tex]n[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es representadas pelas suas letras proposicionais, resulta em uma proposi\u00e7\u00e3o falsa<\/strong>. <\/p>\n
\n<\/span>Dois exemplos cl\u00e1ssicos – um de tautologia e outro de contradi\u00e7\u00e3o – s\u00e3o, respectivamente, as f\u00f3rmulas [tex]\\boxed{p \\, \\lor \\sim p}[\/tex] e [tex]\\boxed{p \\, \\land \\sim p}[\/tex].
\n<\/span> Observe:<\/p>\n\n
\n \n[tex]\\begin{array}{c|c}
\np & \\sim p & \\textcolor{red}{p \\, \\lor \\sim p }\\\\
\n\\hline
\nV&F&\\textcolor{red}{V}\\\\
\nF&V&\\textcolor{red}{V}\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n\n[tex]\\begin{array}{c|c}
\np & \\sim p & \\textcolor{blue}{p \\, \\land \\sim p} \\\\
\n\\hline
\nV&F&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\nF&V&\\textcolor{blue}{F}\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
\nIsso n\u00e3o \u00e9 relevante, se sabemos que estamos cometendo um abuso de linguagem<\/strong>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n