{"id":153681,"date":"2020-05-09T17:32:40","date_gmt":"2020-05-09T20:32:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153681"},"modified":"2020-11-07T03:09:08","modified_gmt":"2020-11-07T05:09:08","slug":"2-um-pouco-sobre-a-linguagem-matematica-sala-1-as-frases-matematicas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/2-um-pouco-sobre-a-linguagem-matematica-sala-1-as-frases-matematicas\/","title":{"rendered":"2.Um pouco sobre a linguagem matem\u00e1tica – Sala 1: As frases matem\u00e1ticas"},"content":{"rendered":"

\n

\n

A linguagem matem\u00e1tica<\/p>\n

As frases matem\u00e1ticas<\/p>\n

\n

\nNa linguagem cotidiana, chamamos de frase a todo enunciado de sentido completo; assim, uma frase pode ser formada por uma s\u00f3 palavra ou por v\u00e1rias. Elas podem, inclusive, n\u00e3o ter verbos, como esta: “Que dia lindo!”. De acordo com o sentido que transmitem, as frases podem ser classificadas como declarativas, interrogativas, exclamativas, imperativas, entre outras. Uma frase que tenha verbo (ou uma locu\u00e7\u00e3o verbal) \u00e9 chamada de ora\u00e7\u00e3o.
\nA Matem\u00e1tica tem particular interesse em um tipo de frase: as chamadas proposi\u00e7\u00f5es<\/strong><\/pan>.<\/p>\n

\n
\n
\n
\n

Proposi\u00e7\u00f5es e conectivos<\/em><\/p>\n

\n

\n

Uma proposi\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span> \u00e9 uma ora\u00e7\u00e3o declarativa (podendo ser formada apenas por s\u00edmbolos matem\u00e1ticos) que pode ser classificada como verdadeira <\/strong> (V<\/strong>) ou falsa<\/strong> (F<\/strong>), de acordo com os seguintes princ\u00edpios:
\n[tex]\\textcolor{#996b0e}{(i)}[\/tex] Princ\u00edpio do terceiro exclu\u00eddo:<\/strong><\/span> Uma proposi\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa ou verdadeira, excluindo-se uma terceira possibilidade.
\n[tex]\\textcolor{#996b0e}{(ii)}[\/tex] Princ\u00edpio da n\u00e3o contradi\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Uma proposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
\nProposi\u00e7\u00f5es podem ser indicadas por letras latinas min\u00fasculas, indexadas ou n\u00e3o, tais como [tex]p\\, ,\\, q\\,,\\, r\\,, \\, p_1\\,,\\,p_2\\,,\\,p_3\\,,\\, q_1\\,,\\,q_2\\,,\\,q_3[\/tex].\n<\/div>\n

\n

Observamos que dizer que uma proposi\u00e7\u00e3o "pode ser classificada como verdadeira ou falsa" n\u00e3o significa que "saibamos classific\u00e1-la como verdadeira ou falsa". Por exemplo, a ora\u00e7\u00e3o <\/span><\/p>\n

Pidhaitsi \u00e9 uma cidade da China.<\/p>\n

\u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, embora nenhum de n\u00f3s seja capaz de dizer, neste momento, se ela \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira ou falsa. Procurando em um site de busca, podemos verificar que a proposi\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa, pois Pidhaitsi \u00e9 uma cidade da Ucr\u00e2nia. A ora\u00e7\u00e3o<\/p>\n

O algarismo que aparece na posi\u00e7\u00e3o 1 345 678 274
\nda representa\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 o 3. <\/p>\n

tamb\u00e9m \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, embora nenhum de n\u00f3s seja capaz de dizer neste momento (e nem daqui a pouco) se ela \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira ou falsa.<\/p>\n

\n

\n

Exemplos e contraexemplos:<\/p>\n

\n

Observem as frases abaixo.<\/p>\n

\n(5)<\/strong><\/span> [tex]x+4=9[\/tex]
\n(6)<\/strong><\/span> [tex]5 \\times 3=15[\/tex]?
\n(7)<\/strong><\/span> Jo\u00e3o e Maria
\n(8)<\/strong><\/span> [tex]2+9[\/tex]\n<\/div>\n
\n(1)<\/strong><\/span> [tex]2 \\gt 1[\/tex]
\n(2)<\/strong><\/span> Nossa, que frio!
\n(3)<\/strong><\/span> [tex]2+3=7[\/tex]
\n(4)<\/strong><\/span> Bras\u00edlia \u00e9 a capital do Brasil.\n<\/div>\n

\n

A frase (1)<\/strong><\/span> \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.
\nA frase (2)<\/strong><\/span> n\u00e3o \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o \u00e9 uma ora\u00e7\u00e3o declarativa: ela \u00e9 exclamativa e nem mesmo \u00e9 uma ora\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o tem verbo.
\nA frase (3)<\/strong><\/span> \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o falsa.
\nA frase (4)<\/strong><\/span> \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o verdadeira.
\nA frase (5)<\/strong><\/span> n\u00e3o \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que n\u00e3o pode ser classificada como verdadeira ou falsa, pois n\u00e3o se sabe o valor de [tex]x[\/tex].
\nA frase (6)<\/strong><\/span> n\u00e3o \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o \u00e9 uma ora\u00e7\u00e3o declarativa. (Ela \u00e9 interrogativa)
\nOs exemplos (7)<\/strong><\/span> e (8)<\/strong><\/span> n\u00e3o s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, pois sequer s\u00e3o frases, j\u00e1 que nenhum tem sentido completo.
\nAs tr\u00eas proposi\u00e7\u00f5es poderiam ser indicadas por letras:
\n[tex]\\qquad p: 2 \\gt 1[\/tex],
\n[tex]\\qquad q: 2+3=7[\/tex],
\n[tex]\\qquad r:[\/tex] Bras\u00edlia \u00e9 a capital do Brasil.\n<\/div>\n

\n

Proposi\u00e7\u00f5es que n\u00e3o envolvam objetos ou s\u00edmbolos matem\u00e1ticos, como a do primeiro exemplo e a proposi\u00e7\u00e3o (4)<\/strong>, n\u00e3o v\u00e3o nos interessar (embora interessem \u00e0 L\u00f3gica); assim, daqui para frente, teremos a prefer\u00eancia de ilustrar nossas discuss\u00f5es sobre proposi\u00e7\u00f5es com exemplos, digamos, matem\u00e1ticos. <\/span><\/p>\n

\n

De modo geral, as proposi\u00e7\u00f5es podem ser de dois tipos:<\/span><\/p>\n

➤<\/span> proposi\u00e7\u00f5es simples:<\/strong> aquelas que n\u00e3o cont\u00eam outra proposi\u00e7\u00e3o como parte de si mesma. Assim, s\u00e3o caracterizadas por apresentarem apenas uma ideia;
\n ➤<\/span> proposi\u00e7\u00f5es compostas:<\/strong> aquelas que s\u00e3o formadas pela combina\u00e7\u00e3o de outras proposi\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

\n

Podemos construir novas proposi\u00e7\u00f5es, a partir de outras dadas, utilizando, basicamente, cinco express\u00f5es\/palavras especiais – os chamados conectivos<\/strong>. S\u00e3o eles:<\/p>\n

\n

➤<\/span> "n\u00e3o<\/strong>", simbolizado por [tex]\\sim[\/tex];
\n ➤<\/span> "e<\/strong>", simbolizado por [tex]\\land[\/tex];
\n ➤<\/span> "ou<\/strong>", simbolizado por [tex]\\lor[\/tex];
\n ➤<\/span> "se …, ent\u00e3o …<\/strong>", simbolizado por [tex]\\rightarrow[\/tex];
\n ➤<\/span> "… se e somente se …<\/strong>", simbolizado por [tex]\\longleftrightarrow[\/tex].<\/span><\/p>\n

\n

Vejamos o comportamento de cada conectivo e como classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) proposi\u00e7\u00f5es que s\u00e3o constru\u00eddas a partir deles. Essa nossa breve discuss\u00e3o sobre os conectivos faz parte de um importante t\u00f3pico da L\u00f3gica chamado C\u00e1lculo Proposicional<\/strong>.<\/span><\/p>\n

\n

(1)<\/strong> Seja [tex]p[\/tex] uma proposi\u00e7\u00e3o.
\nChamamos de nega\u00e7\u00e3o de [tex]p[\/tex]<\/strong><\/span> a proposi\u00e7\u00e3o "n\u00e3o <\/strong>[tex]p[\/tex]", que pode ser denotada por [tex]\\sim p[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n

[tex] \\, \\, \\, \\, r[\/tex]: [tex]2+2=9[\/tex] ([tex]2+2[\/tex] \u00e9 igual a [tex]9[\/tex]),
\n[tex]\\sim r[\/tex]: [tex]2+2\\ne 9[\/tex] ([tex]2+2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 igual [tex]9[\/tex] ou [tex]2+2[\/tex] \u00e9 diferente de [tex]9[\/tex]).<\/p>\n

[tex] \\, \\, \\, \\, s[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par,
\n[tex]\\sim s[\/tex]: [tex]2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero par.<\/p>\n

De forma geral, se [tex]p[\/tex] \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o, a rela\u00e7\u00e3o entre a verdade ou falsidade de [tex]p[\/tex] e [tex]\\sim p[\/tex] \u00e9 assim definida:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{c|c}
\np &\\sim p\\\\
\n\\hline
\nV&F\\\\
\nF&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n\n\n
\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad \\sim r: \\, 2+2\\ne 9[\/tex]
\n\u00e9 verdadeira<\/strong>, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad r: \\, 2+2=9[\/tex]
\n\u00e9 falsa.<\/td>\n		\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad \\sim s[\/tex]: [tex]2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero par
\n\u00e9 falsa<\/strong>, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad s[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par
\n\u00e9 verdadeira.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

(2)<\/strong> Sejam [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es.
\nChamamos de conjun\u00e7\u00e3o de [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex]<\/strong><\/span> a proposi\u00e7\u00e3o "[tex]p[\/tex] e<\/strong> [tex]q[\/tex] ", que pode ser denotada por [tex]p \\land q[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n

[tex]a[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 primo,
\n[tex]b[\/tex]: [tex]3 \\times 3=7[\/tex],
\n[tex]a \\land b[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 primo e [tex]3 \\times 3=7[\/tex].<\/p>\n

[tex]r[\/tex]: [tex]2+1=3[\/tex],
\n[tex]s[\/tex]: [tex]4[\/tex] \u00e9 \u00edmpar,
\n[tex]r \\land \\sim s[\/tex]: [tex]2+1=3[\/tex] e [tex]4[\/tex] n\u00e3o \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

De forma geral, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, a rela\u00e7\u00e3o entre a verdade ou falsidade de [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex] e [tex]p \\land q[\/tex] \u00e9 assim definida:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{cc|c}
\np & q & p\\land q\\\\
\n\\hline
\nV&V&V\\\\
\nV&F&F\\\\
\nF&V&F\\\\
\nF&F&F\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n\n\n
\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad a \\land b[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 primo e [tex]3 \\times 3=7[\/tex]
\n\u00e9 falsa, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad a[\/tex]: [tex]2[\/tex] \u00e9 primo,
\n\u00e9 verdadeira, mas a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad b[\/tex]: [tex]3 \\times 3=7[\/tex],
\n\u00e9 falsa.<\/td>\n		\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad r \\land \\sim s[\/tex]: [tex]2+1=3[\/tex] e [tex]4[\/tex] n\u00e3o \u00e9 \u00edmpar
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad r[\/tex]: [tex]2+1=3[\/tex]
\n\u00e9 verdadeira e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad \\sim s[\/tex]: [tex]4[\/tex] n\u00e3o \u00e9 \u00edmpar,
\ntamb\u00e9m \u00e9 verdadeira.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

(3)<\/strong> Sejam [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es.
\nChamamos de disjun\u00e7\u00e3o de [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex]<\/strong><\/span> a proposi\u00e7\u00e3o "[tex]p[\/tex] ou <\/strong>[tex]q[\/tex] ", que pode ser denotada por [tex]p \\lor q[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n

[tex] a[\/tex]: [tex]2^3=8[\/tex],
\n[tex] b[\/tex]: [tex]123[\/tex] \u00e9 par,
\n[tex] a \\lor b[\/tex]: [tex]2^3=8[\/tex] ou [tex]123[\/tex] \u00e9 par.<\/p>\n

[tex] r[\/tex]: [tex]11[\/tex] \u00e9 primo,
\n[tex]s [\/tex]: [tex]9[\/tex] \u00e9 \u00edmpar,
\n[tex]r \\lor s[\/tex]: [tex]11[\/tex] \u00e9 primo ou [tex]9[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

De forma geral, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, a rela\u00e7\u00e3o entre a verdade ou falsidade de [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex] e [tex]p \\lor q[\/tex] \u00e9 assim definida:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{cc|c}
\np & q & p\\lor q\\\\
\n\\hline
\nV&V&V\\\\
\nV&F&V\\\\
\nF&V&V\\\\
\nF&F&F\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Observamos que o "ou<\/strong>" da matem\u00e1tica n\u00e3o corresponde \u00e0 repeti\u00e7\u00e3o da conjun\u00e7\u00e3o ou<\/strong> do portugu\u00eas, que expressa a ideia de exclus\u00e3o:
\nOu <\/strong>Maria ou <\/strong> Jo\u00e3o sentar\u00e1 nesta cadeira. (Aqui temos duas op\u00e7\u00f5es: "Maria senta e Jo\u00e3o n\u00e3o senta"; "Jo\u00e3o senta e Maria n\u00e3o senta".)
\nO "ou<\/strong>" da matem\u00e1tica tem o mesmo significado do "ou<\/strong>" simples do portugu\u00eas:
\nMaria ou <\/strong> Jo\u00e3o entrar\u00e3o nessa sala. (Aqui temos tr\u00eas op\u00e7\u00f5es: "Maria entra e Jo\u00e3o n\u00e3o entra"; "Jo\u00e3o entra e Maria n\u00e3o entra"; "Jo\u00e3o e Maria entram".)
\nFazemos esta observa\u00e7\u00e3o, pois muitas pessoas utilizam no portugu\u00eas o "ou<\/strong>" simples, sem a devida repeti\u00e7\u00e3o, para expressar a ideia de exclus\u00e3o.<\/div>\n

\n\n\n
\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad a \\lor b[\/tex]: [tex]2^3=8[\/tex] ou [tex]123[\/tex] \u00e9 par
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad a[\/tex]: [tex]2^3=8[\/tex]
\n\u00e9 verdadeira, mesmo sendo a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad b[\/tex]: [tex]123[\/tex] \u00e9 par
\nfalsa.<\/td>\n		\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad r \\lor s[\/tex]: [tex]11[\/tex] \u00e9 primo ou [tex]9[\/tex] \u00e9 \u00edmpar
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad r[\/tex]: [tex]11[\/tex] \u00e9 primo
\n\u00e9 verdadeira e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad s [\/tex]: [tex]9[\/tex] \u00e9 \u00edmpar
\ntamb\u00e9m \u00e9 verdadeira.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

(4)<\/strong> Sejam [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es.
\nChamamos de condicional de [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex]<\/strong><\/span>, nesta ordem, a proposi\u00e7\u00e3o " se <\/strong>[tex]p[\/tex], ent\u00e3o <\/strong>[tex]q[\/tex] ", que pode ser denotada por [tex]p \\rightarrow q[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n

[tex]p[\/tex]: [tex]3 [\/tex] \u00e9 par,
\n[tex]q[\/tex]: [tex]\\sqrt{4}=5[\/tex],
\n[tex]p \\rightarrow q[\/tex]: se [tex]3 [\/tex] \u00e9 par, ent\u00e3o [tex]\\sqrt{4}=5[\/tex].<\/p>\n

[tex]p[\/tex]: [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional,
\n[tex]q[\/tex]: [tex]1+1=2[\/tex],
\n[tex]p \\rightarrow q[\/tex]: se [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]1+1=2[\/tex].<\/p>\n

De forma geral, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, a rela\u00e7\u00e3o entre a verdade ou falsidade de [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex] e [tex]p \\rightarrow q[\/tex] \u00e9 assim definida:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{cc|c}
\np & q & p\\rightarrow q\\\\
\n\\hline
\nV&V&V\\\\
\nV&F&F\\\\
\nF&V&V\\\\
\nF&F&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n\n\n
\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p \\rightarrow q[\/tex]: se [tex]3 [\/tex] \u00e9 par, ent\u00e3o [tex]\\sqrt{4}=5[\/tex]
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p[\/tex]: [tex]3 [\/tex] \u00e9 par
\n\u00e9 falsa e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad q[\/tex]: [tex]\\sqrt{4}=5[\/tex]
\ntamb\u00e9m \u00e9 falsa.<\/td>\n		\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p \\rightarrow q[\/tex]: se [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]1+1=2[\/tex]
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p[\/tex]: [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional
\n\u00e9 verdadeira e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad q[\/tex]: [tex]1+1=2[\/tex]
\ntamb\u00e9m \u00e9 verdadeira.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Estranhou as frases "se [tex]3 [\/tex] \u00e9 par, ent\u00e3o [tex]\\sqrt{4}=5[\/tex]" e "se [tex]\\pi[\/tex] \u00e9 irracional, ent\u00e3o [tex]1+1=2[\/tex]"?
\nPois \u00e9, elas s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, sim. E proposi\u00e7\u00f5es verdadeiras!<\/strong>
\nPerceba que na defini\u00e7\u00e3o n\u00e3o est\u00e1 sendo exigido que as proposi\u00e7\u00f5es que definem uma condicional tenham alguma rela\u00e7\u00e3o.
\nInformamos que o "se …, ent\u00e3o …" que alguns estavam esperando n\u00e3o \u00e9 esse…
\n\"Manga\" Estranhou de novo?
\nEnt\u00e3o responda:
\nQual o nome da fruta que aparece na figura ao lado?
\nQual \u00e9 o nome da parte da camisa para a qual est\u00e1 apontada a seta?
\nEntendeu, n\u00e3o \u00e9?
\nEnt\u00e3o aguarde pelo outro "se …, ent\u00e3o …".
\nEsse outro "se …, ent\u00e3o …" \u00e9 mais utilizado na linguagem matem\u00e1tica, mas ele depende deste "se …, ent\u00e3o …" que acabamos de definir.\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

(5)<\/strong> Sejam [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] proposi\u00e7\u00f5es.
\nChamamos de bicondicional de [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex]<\/strong><\/span> a proposi\u00e7\u00e3o " [tex]p[\/tex] se e somente se <\/strong>[tex]q[\/tex] ", que pode ser denotada por [tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n

[tex]p[\/tex]: O tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo,
\n[tex]q[\/tex]: O quadril\u00e1tero [tex]MPQR[\/tex] \u00e9 um quadrado,
\n[tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex]: O tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo se e somente se o quadril\u00e1tero [tex]MPQR[\/tex] \u00e9 um quadrado.<\/p>\n

[tex]p[\/tex]: [tex]2 \\times 4=23[\/tex],
\n[tex]q[\/tex]: [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural,
\n[tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex]: [tex]2 \\times 4=23[\/tex] se e somente se [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural.<\/p>\n

De forma geral, se [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] s\u00e3o proposi\u00e7\u00f5es, a rela\u00e7\u00e3o entre a verdade ou falsidade de [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex] e [tex]p \\longleftrightarrow q[\/tex] \u00e9 assim definida:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{cc|c}
\np & q & p\\longleftrightarrow q\\\\
\n\\hline
\nV&V&V\\\\
\nV&F&F\\\\
\nF&V&F\\\\
\nF&F&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n\n\n
\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p \\longleftrightarrow q[\/tex]: O tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo se e somente se o quadril\u00e1tero [tex]MPQR[\/tex] \u00e9 um quadrado
\n\u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p[\/tex]: O tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo
\n\u00e9 verdadeira e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]q[\/tex]: O quadril\u00e1tero [tex]MPQR[\/tex] \u00e9 um quadrado
\ntamb\u00e9m \u00e9 verdadeira .<\/td>\n		\n ✐<\/span>Exemplo:<\/strong>
\nA proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p \\longleftrightarrow q[\/tex]: [tex]2 \\times 4=23[\/tex] se e somente se [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural \u00e9 verdadeira, pois a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad p[\/tex]: [tex]2 \\times 4=23[\/tex]
\n\u00e9 falsa e a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\quad q[\/tex]: [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural
\ntamb\u00e9m \u00e9 falsa.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
Bom, desta vez acreditamos que voc\u00ea n\u00e3o estranhou muito as frases utilizadas como exemplos de bicondicionais e at\u00e9 se conformou de que ambas s\u00e3o verdadeiras…
\nObserve que tamb\u00e9m na defini\u00e7\u00e3o de uma proposi\u00e7\u00e3o bicondicional n\u00e3o est\u00e1 sendo exigido que as proposi\u00e7\u00f5es que a definem tenham alguma rela\u00e7\u00e3o.
\nEm breve apresentaremos o "se, e somente se" aguardado por muitos.\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n

Interpretando e escrevendo melhor!<\/em><\/p>\n

\n

\n

<\/span>Pelo at\u00e9 aqui exposto, a partir de proposi\u00e7\u00f5es [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] podemos definir novas proposi\u00e7\u00f5es utilizando os conectivos <\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad\\textcolor{#996b0e}{\\sim}[\/tex] [tex]\\qquad \\qquad\\textcolor{#996b0e}{\\land}[\/tex] [tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#996b0e}{\\lor}[\/tex] [tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#996b0e}{\\rightarrow}[\/tex] [tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#996b0e}{\\longleftrightarrow}[\/tex]<\/strong><\/p>\n

e a verdade ou falsidade dessas novas proposi\u00e7\u00f5es ficam definidas de maneira \u00fanica a partir da verdade ou falsidade das proposi\u00e7\u00f5es [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex], de acordo com a seguinte tabela geral:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{cc|c|c|c|c|c}
\np & q &\\sim p&p \\land q & p \\lor q & p \\rightarrow q & p\\longleftrightarrow q\\\\
\n\\hline
\nV&V&F&V&V&V&V\\\\
\nV&F&F&F&V&F&F\\\\
\nF&V&V&F&V&V&F\\\\
\nF&F&V&F&F&V&V\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n

Mas como escrever e interpretar uma proposi\u00e7\u00e3o definida por mais de um conectivo?<\/p>\n

\n

<\/span>Isso \u00e9 feito com base em apenas duas conven\u00e7\u00f5es. A seguir, veremos como.<\/p>\n

\n

\n ✐<\/span> Em geral, para evitar ambiguidades, usamos par\u00eantesis na representa\u00e7\u00e3o das proposi\u00e7\u00f5es compostas, para indicar prioridades. <\/strong>
\nAssim, por exemplo, a proposi\u00e7\u00e3o composta
\n[tex]\\qquad (2+3=5 \\land 8 \\times 1=8) \\rightarrow 2 \\, [\/tex] \u00e9 par
\n \u00e9 uma condicional, enquanto que a proposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad 2+3=5 \\land (8 \\times 1=8 \\rightarrow 2 \\,)[\/tex] \u00e9 par
\n \u00e9 uma conjun\u00e7\u00e3o.\n<\/div>\n

\n

\n ✐<\/span> Nos casos em que fazemos a supress\u00e3o dos par\u00eantesis, adotamos a seguinte ordem de preced\u00eancia dos conectivos: [tex]\\qquad\\qquad \\sim\\;,\\;\\land\\;,\\; \\lor\\;,\\;\\rightarrow\\;,\\;\\longleftrightarrow\\qquad [\/tex] (o conectivo [tex]\\sim[\/tex] \u00e9 o mais fraco e [tex]\\longleftrightarrow[\/tex] \u00e9 o mais forte).<\/strong>
\n Portanto, uma proposi\u00e7\u00e3o composta da forma [tex]\\boxed{\\sim q \\rightarrow p}[\/tex], por exemplo, \u00e9 uma condicional, j\u00e1 que o conectivo [tex]\\sim [\/tex] tem preced\u00eancia sobre o conectivo [tex]\\rightarrow [\/tex].
\nPara torn\u00e1-la uma nega\u00e7\u00e3o, ter\u00edamos que enfraquecer o conectivo [tex]\\rightarrow [\/tex] utilizando par\u00eantesis:[tex]\\boxed{\\sim \\left(q \\rightarrow p\\right)}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n

Exerc\u00edcios<\/em><\/p>\n

\n

\n

1)<\/strong> Determine se as seguintes proposi\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras ou falsas:
\na) [tex] 5 \\gt 2[\/tex] e [tex]5 = 2[\/tex]
\nb) [tex] 5 \\gt 2[\/tex] ou [tex]5 = 2[\/tex]
\nc) [tex] 5 \\ge 2[\/tex]
\nd) [tex] 5 \\le 2[\/tex]
\ne) [tex]2[\/tex] \u00e9 par e \u00e9 primo
\nf) [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 racional ou [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 irracional.
\ng) [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 racional e [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 irracional. <\/p>\n

\n2)<\/strong> Dadas proposi\u00e7\u00f5es [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex], e [tex]r[\/tex] tais que [tex]q[\/tex] \u00e9 verdadeira e [tex]r[\/tex] \u00e9 falsa, o que podemos dizer sobre a verdade ou falsidade das proposi\u00e7\u00f5es a seguir?
\na) [tex]p \\land q \\, \\, \\qquad[\/tex] b) [tex]p \\lor q \\, \\, \\qquad[\/tex] c) [tex]q \\rightarrow p \\, \\, \\qquad[\/tex] d) [tex]r \\rightarrow q \\, \\, \\qquad[\/tex] e) [tex]r \\rightarrow p \\, \\, \\qquad[\/tex] f) [tex]p \\rightarrow r \\, \\, \\qquad[\/tex] g) [tex](r \\rightarrow q) \\lor p \\, \\, \\qquad[\/tex]
\nh) [tex]p \\longleftrightarrow q\\qquad[\/tex] i) [tex]\\sim (r \\rightarrow q )\\qquad[\/tex] j) [tex]\\sim r \\rightarrow q\\qquad[\/tex] k) [tex]p\\, \\lor \\sim p\\qquad[\/tex] l) [tex]p \\lor p\\qquad[\/tex] m) [tex]q \\rightarrow q\\qquad[\/tex] n) [tex]r \\longleftrightarrow r \\qquad[\/tex]\n<\/div>\n
\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Voltar para Sala Inicial<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A linguagem matem\u00e1tica As frases matem\u00e1ticas Na linguagem cotidiana, chamamos de frase a todo enunciado de sentido completo; assim, uma frase pode ser formada por uma s\u00f3 palavra ou por v\u00e1rias. Elas podem, inclusive, n\u00e3o ter verbos, como esta: “Que dia lindo!”. De acordo com o sentido que transmitem, as frases podem ser classificadas como … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-153681","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153681","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=153681"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153681\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":169732,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153681\/revisions\/169732"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=153681"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}