{"id":153173,"date":"2020-05-11T18:00:53","date_gmt":"2020-05-11T21:00:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153173"},"modified":"2024-06-24T23:10:05","modified_gmt":"2024-06-25T02:10:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-invertidos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-invertidos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros invertidos"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(PROFMAT<\/strong>, 2016 – Adaptado)<\/span> Ao escrever um n\u00famero natural de dois algarismos, Vera percebeu que a diferen\u00e7a entre esse n\u00famero e outro escrito com os mesmos algarismos, mas em ordem inversa, era [tex]63[\/tex].
\nSabendo que a soma dos dois algarismos que formam os n\u00fameros \u00e9 igual a [tex]11[\/tex], tente descobrir qual foi o n\u00famero escrito por Vera.<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Vamos denotar o n\u00famero que Vera escreveu por [tex]N[\/tex] e vamos supor que a representa\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex] na forma decimal seja [tex]N=ab=10\\cdot a+b[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] algarismos, ou seja, n\u00fameros naturais tais que [tex]0 \\leqslant a \\leqslant 9[\/tex], com [tex]a\\ne 0[\/tex], pois [tex]N[\/tex] tem dois algarismos.
\nAssim, se [tex]I[\/tex] denotar o n\u00famero obtido pela invers\u00e3o dos algarismos de [tex]N[\/tex], ent\u00e3o a forma decimal de [tex]I[\/tex] ser\u00e1 [tex]I=ba=10\\cdot b+a[\/tex].
\n (Observe que, aqui, as nota\u00e7\u00f5es [tex]ab[\/tex] e [tex]ba[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim representa\u00e7\u00f5es de dois n\u00fameros naturais no sistema decimal. Assim, por exemplo, na representa\u00e7\u00e3o [tex]ab[\/tex], [tex]a[\/tex] \u00e9 o algarismo das dezenas e [tex]b[\/tex] \u00e9 o algarismo das unidades.)<\/span>
\nPela primeira informa\u00e7\u00e3o do problema, temos que [tex]N-I=63[\/tex]; logo, segue que:
\n[tex]\\qquad \\left(10\\cdot a+b\\right)-\\left(10\\cdot b+a\\right)=63[\/tex]
\n[tex]\\qquad 10\\cdot a+b-10\\cdot b-a=63[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(10\\cdot a-a\\right)+\\left(b-10\\cdot b\\right)=63[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9\\cdot a-9\\cdot b=63[\/tex]
\n[tex]\\qquad a-b=7[\/tex].
\nComo a soma dos dois algarismos que formam os dois n\u00fameros \u00e9 [tex]11[\/tex], ficamos com um sistema com duas equa\u00e7\u00f5es:
\n[tex]\\qquad \\begin{cases}
\na+b=11\\\\
\na-b=7\\quad
\n\\end{cases}[\/tex].
\nSomando as duas equa\u00e7\u00f5es do sistema, obtemos [tex]2\\cdot a=18[\/tex], donde [tex]\\boxed{a=9}[\/tex]. Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equa\u00e7\u00f5es que comp\u00f5em o sistema, chegamos a [tex]\\boxed{b=2}[\/tex].
\nDessa forma, o n\u00famero escrito por Vera foi [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 92$}\\,[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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