{"id":153139,"date":"2020-05-04T21:49:44","date_gmt":"2020-05-05T00:49:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153139"},"modified":"2024-06-24T23:08:16","modified_gmt":"2024-06-25T02:08:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-galao-esvaziado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-galao-esvaziado\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um gal\u00e3o esvaziado"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220781\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Ao colocar uma bomba de retirar \u00e1gua no gal\u00e3o de sua casa, dona Teresa n\u00e3o percebeu que a bomba estava com defeito e, durante quatro horas, toda a \u00e1gua do gal\u00e3o foi derramada&#8230;<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_5.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"330\" height=\"346\" class=\"aligncenter size-full wp-image-154518\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_5.png 330w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_5-286x300.png 286w\" sizes=\"auto, (max-width: 330px) 100vw, 330px\" \/><br \/>\nSabemos que, ao t\u00e9rmino de cada uma hora de vazamento, a \u00e1gua que saiu do gal\u00e3o foi &quot;a metade da \u00e1gua que havia no in\u00edcio da hora mais meio litro&quot;. <strong>Quantos litros de \u00e1gua foram derramados?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos fazer dois esqueminhas para ajudar na solu\u00e7\u00e3o deste problema. <\/p>\n<ul>\n<li>Suponha, inicialmente, que [tex]q[\/tex] seja a quantidade de litros de \u00e1gua do gal\u00e3o da casa da dona Teresa em um determinado instante. Quantos litros de \u00e1gua estar\u00e3o no gal\u00e3o daqui a uma hora?<br \/>\nSeja [tex]f[\/tex] essa quantidade; assim, [tex]f[\/tex] \u00e9 a diferen\u00e7a entre [tex]q[\/tex] e a quantidade de \u00e1gua derramada em uma hora.<br \/>\nSabemos que a \u00e1gua que sai do gal\u00e3o em uma hora \u00e9 &quot;a metade da \u00e1gua que havia no in\u00edcio da hora mais meio litro&quot;, logo:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"166\" style=\"border: none;\" class=\"alignright size-full wp-image-153080\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_2.png 371w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_2-300x166.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\n[tex]\\qquad f=q-\\left(\\dfrac{q}{2}+\\dfrac{1}{2} \\right)\\\\<br \/>\n\\qquad f=q-\\dfrac{q}{2}-\\dfrac{1}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad f=\\left(q-\\dfrac{q}{2}\\right)-\\dfrac{1}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{f=\\dfrac{q}{2}-\\dfrac{1}{2}}\\,.[\/tex]<\/li>\n<li>Suponha, agora, que voc\u00ea conhe\u00e7a a quantidade [tex]f[\/tex] de litros de \u00e1gua que restou no gal\u00e3o da casa da dona Teresa ap\u00f3s uma hora de vazamento e que voc\u00ea precise determinar a quantidade [tex]q[\/tex] de litros de \u00e1gua no gal\u00e3o antes do vazamento.<br \/>\nComo [tex]f=\\dfrac{q}{2}-\\dfrac{1}{2}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 2f=q-1\\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{q=2f+1}\\,. [\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Veja os dois esqueminhas!<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_3.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"142\" class=\"aligncenter size-full wp-image-153084\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_3.png 500w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob427_3-300x85.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Utilizando o primeiro esquema, se [tex]A[\/tex] era a quantidade de litros de \u00e1gua no gal\u00e3o ap\u00f3s Teresa colocar a bomba, segue que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n[tex]\\boxed{A}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\,\\dfrac{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}{2}-\\dfrac{1}{2}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Como [tex]\\, \\dfrac{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}{2}-\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{1}{4}-\\dfrac{1}{2}=\\boxed{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}\\,[\/tex], o esquema de esvaziamento do gal\u00e3o ap\u00f3s tr\u00eas horas segue assim:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"text-align:center\">\n[tex]\\boxed{A}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\dfrac{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}{2}-\\dfrac{1}{2}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Calculando agora [tex]\\, \\dfrac{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}{2}-\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{3}{8}-\\dfrac{1}{2}=\\boxed{\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{7}{8}}\\,[\/tex], o esquema de esvaziamento do gal\u00e3o ap\u00f3s quatro horas fica assim:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n[tex]\\boxed{A}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{7}{8}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\dfrac{\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{7}{8}}{2}-\\dfrac{1}{2}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Como [tex]\\,  \\dfrac{\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{7}{8}}{2}-\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{A}{16}-\\dfrac{7}{16}-\\dfrac{1}{2}=\\boxed{\\dfrac{A}{16}-\\dfrac{15}{16}}\\,[\/tex] e ap\u00f3s quatro horas o gal\u00e3o ficou vazio, o esquema de esvaziamento do gal\u00e3o finaliza desta forma:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"text-align:center\">\n[tex]\\boxed{A}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{2}-\\dfrac{1}{2}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{4}-\\dfrac{3}{4}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{8}-\\dfrac{7}{8}}\\, \\xrightarrow{\\text{1 hora}}\\, \\boxed{\\dfrac{A}{16}-\\dfrac{15}{16}}=0[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>De [tex]\\dfrac{A}{16}-\\dfrac{15}{16}=0[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]A=15[\/tex]. Portanto, foram derramados  [tex]  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 15 \\text{  litros}\\,$}[\/tex] de \u00e1gua.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Utilizando o segundo esquema, se [tex]0[\/tex] foi a quantidade de litros de \u00e1gua no gal\u00e3o ap\u00f3s quatro horas de vazamento, segue que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/fig0prob2.png\" alt=\"\" width=\"720\" height=\"51\" class=\"aligncenter size-full wp-image-170992\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p> Portanto, foram derramados  [tex]  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 15 \\text{  litros}\\,$}[\/tex] de \u00e1gua.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Um-gal\u00e3o-esvaziado.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um gal\u00e3o esvaziado.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Ao colocar uma bomba de retirar \u00e1gua no gal\u00e3o de sua casa, dona Teresa n\u00e3o percebeu que a bomba estava com defeito e, durante quatro horas, toda a \u00e1gua do gal\u00e3o foi derramada&#8230; &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-galao-esvaziado\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-153139","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153139","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=153139"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153139\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220783,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/153139\/revisions\/220783"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=153139"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}