Problema Considere o segmento de reta, ilustrado na figura abaixo, dividido em [tex]3[\/tex] partes, sendo duas partes com comprimentos iguais a [tex]a[\/tex] e uma parte com comprimento igual a [tex]b,[\/tex] com [tex]a \\gt b[\/tex]. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Sabemos que [tex] \\dfrac{2a+b}{a}= \\dfrac{a}{b}=S[\/tex]; dessa forma, segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Considere o segmento de reta, ilustrado na figura abaixo, dividido em [tex]3[\/tex] partes, sendo duas partes com comprimentos iguais a [tex]a[\/tex] e uma parte com comprimento igual a [tex]b,[\/tex] com [tex]a \\gt b[\/tex]. Sabendo que [tex] \\dfrac{2a+b}{a }= \\dfrac{a}{b}=S[\/tex], determine a constante [tex]S[\/tex] definida pela … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nSabendo que [tex] \\dfrac{2a+b}{a }= \\dfrac{a}{b}=S[\/tex], determine a constante [tex]S[\/tex] definida pela propor\u00e7\u00e3o.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/SEGMENTO-PRATEADO.png\")
<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{2a+b}{a}= \\dfrac{a}{b}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2ab+ b^{2} = a^{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{2ab}{b^{2}}+ \\dfrac{b^{2}}{b^{2}}= \\dfrac{a^{2}}{b^{2}}[\/tex]
\n[tex] \\qquad 2\\, \\dfrac{a}{b} + 1= \\bigg( \\dfrac{a}{b} \\bigg)^{2} .[\/tex]
\n Como [tex]S= \\dfrac{a}{b}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad 2S+1=S^{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad S^{2} -2S-1=0 [\/tex], sendo [tex]S[\/tex] um n\u00famero real positivo.
\nVamos resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{S^{2} -2S-1=0}[\/tex], uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau em [tex] S[\/tex]. Primeiro, vamos calcular o discriminante [tex] \\Delta[\/tex], obtendo:
\n[tex]\\qquad \\Delta = \\left(-2 \\right)^{2} -4 \\times \\left(-1 \\right) = 4+4=8[\/tex].
\nCom isso:
\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{-\\left(-2 \\right) \\pm \\sqrt{8} }{2}=\\dfrac{2 \\pm \\sqrt{2\\times 4}}{2}\\\\
\n\\qquad S= \\dfrac{2 \\pm \\sqrt{2} \\times \\sqrt{4}}{2}=\\dfrac{2 \\pm 2 \\times \\sqrt{2}}{2}\\\\
\n\\qquad S =\\dfrac{2 \\left( 1 \\pm \\sqrt{2} \\right)}{2}= 1\\pm \\sqrt{2}.[\/tex]
\nComo [tex]S \\gt 0 [\/tex] e [tex] \\sqrt{2} \\gt 1,[\/tex] ent\u00e3o [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ S = 1 + \\sqrt{2}$}\\,[\/tex].<\/p>\n
\n