{"id":152625,"date":"2020-05-11T21:16:47","date_gmt":"2020-05-12T00:16:47","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=152625"},"modified":"2024-06-25T02:49:54","modified_gmt":"2024-06-25T05:49:54","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-multiplos-de-6-multiplos-de-9","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-multiplos-de-6-multiplos-de-9\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: M\u00faltiplos de 6, m\u00faltiplos de 9"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220809\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>No conjunto [tex]A[\/tex] dos n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]1000[\/tex],  [tex]A=\\{1, 2, 3, &#8230; , 1000\\}[\/tex], quantos m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex] existem?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos denotar, respectivamente, por [tex]S[\/tex] e por [tex]H[\/tex] o conjunto dos m\u00faltiplos positivos de [tex]6[\/tex] e de [tex]9[\/tex] que estejam no conjunto [tex]A[\/tex]. Observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>existem elementos de [tex]S[\/tex] que n\u00e3o est\u00e3o em [tex]H[\/tex]; como o pr\u00f3prio [tex]6[\/tex], por exemplo;<\/li>\n<li>existem elementos de [tex]H[\/tex] que n\u00e3o est\u00e3o em [tex]S[\/tex]; como por exemplo o pr\u00f3prio [tex]9[\/tex];<\/li>\n<li>mas tamb\u00e9m existem elementos que est\u00e3o em  [tex]S[\/tex] e em [tex]H[\/tex]; como o [tex]18[\/tex], j\u00e1 que [tex]18=3 \\times 6[\/tex] e [tex]18=2 \\times 9[\/tex];<\/li>\n<li>existem elementos de [tex]A[\/tex] que n\u00e3o est\u00e3o em [tex]H[\/tex] e nem em [tex]S[\/tex]; como  [tex]1[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n<p>assim podemos representar os tr\u00eas conjuntos [tex]A[\/tex], [tex]S[\/tex] e [tex]H[\/tex] como indicado na figura a seguir.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"365\" height=\"263\" class=\"aligncenter size-full wp-image-152618\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_2.png 365w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_2-300x216.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 365px) 100vw, 365px\" \/><\/p>\n<p>O que precisamos determinar \u00e9 quantos elementos do conjunto [tex]A[\/tex] s\u00e3o elementos simultaneamente dos conjuntos [tex]S[\/tex] e [tex]H[\/tex], ou seja, o n\u00famero de elementos do conjunto usualmente denominado de &quot;interse\u00e7\u00e3o de [tex]S[\/tex] e [tex]H[\/tex]&quot; e denotado por [tex]S\\cap H[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_3.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"382\" height=\"267\" class=\"alignright size-full wp-image-152617\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_3.png 382w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob425_3-300x210.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 382px) 100vw, 382px\" \/><\/p>\n<p>Os m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex] s\u00e3o os m\u00faltiplos do <strong>m\u00ednimo m\u00faltiplo comum de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex]<\/strong>, [tex]mmc(6,9)[\/tex]; e, como  [tex]6=2\\times 3[\/tex] e [tex]9=3^2[\/tex], ent\u00e3o [tex]mmc(6,9)=2\\times 3^2=18.[\/tex]<br \/>\nEstamos interessados, portanto, na quantidade de n\u00fameros que satisfa\u00e7am duas condi\u00e7\u00f5es:<br \/>\n<span style=\"padding-left:30px\">[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] sejam m\u00faltiplos de [tex]18[\/tex]; <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:30px\">[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] estejam no conjunto [tex]A[\/tex].<\/span><br \/>\nSeja [tex]x[\/tex] um desses n\u00fameros.<br \/>\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]x[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]18[\/tex]; logo, existe um n\u00famero natural [tex]t[\/tex] tal que [tex]x=18t[\/tex].<br \/>\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], [tex]x \\in A[\/tex], ou seja,  [tex]0\\lt x \\leqslant 1000[\/tex].<br \/>\nAssim, utilizando essas duas informa\u00e7\u00f5es, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 0\\lt x \\leqslant 1000[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 0\\lt 18t \\leqslant 1000[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 0\\lt t \\leqslant \\dfrac{1000}{18}\\approx 55,56[\/tex].<br \/>\nMas [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, [tex]0\\lt t \\leqslant 55[\/tex], ou ainda, [tex]\\boxed{1\\leqslant t \\leqslant 55}\\,.[\/tex]<br \/>\nComo cada n\u00famero natural [tex]t[\/tex] define um n\u00famero [tex]x[\/tex] que satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema, temos [tex]  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 55\\,$}[\/tex] m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex] no conjunto [tex]A[\/tex].<br \/>\nAproveitando a nota\u00e7\u00e3o definida:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad S\\cap N= \\{\\boxed{\\,18t\\,} \\text{ tal que } 1\\leqslant t \\leqslant 55 \\text{, com }t \\in \\mathbb{N} \\} [\/tex];<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad S\\cap N= \\{\\boxed{18\\times 1},\\boxed{18\\times 2},\\boxed{18\\times 3},\\cdots,\\boxed{18\\times 55} \\}[\/tex];<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad S\\cap N= \\{\\, \\underbrace{18\\,,\\,36\\,,\\,54\\,,\\cdots\\,,\\,990}_{\\text{55 elementos}}\\, \\}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/M\u00faltiplos-de-6-m\u00faltiplos-de-9.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ M\u00faltiplos de 6, m\u00faltiplos de 9.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) No conjunto [tex]A[\/tex] dos n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]1000[\/tex], [tex]A=\\{1, 2, 3, &#8230; , 1000\\}[\/tex], quantos m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex] existem? 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