{"id":152062,"date":"2020-05-11T20:59:41","date_gmt":"2020-05-11T23:59:41","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=152062"},"modified":"2024-06-25T02:43:39","modified_gmt":"2024-06-25T05:43:39","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-medida-da-area-amarela","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-medida-da-area-amarela\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Medida da \u00e1rea amarela"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220800\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Em um papel quadriculado, foi desenhado um quadrado com [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex] de lado, conforme mostra a figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_5.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"296\" height=\"292\" class=\"aligncenter size-full wp-image-152026\" \/><\/p>\n<p><strong>Determine a medida da \u00e1rea colorida de amarelo.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"99\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> AJUDAS<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(1)<\/strong> <\/span> <strong>Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado \u2013 \u00e2ngulo \u2013 lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse resultado, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=92799\" target=\"_blank\" title=\"Sala para leitura: Um pouco sobre congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos\"> <strong>AQUI<\/strong>.)<\/a><\/span><br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(2)<\/strong> <\/span> <strong> Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(3)<\/strong> <\/span> Em tri\u00e2ngulos semelhantes, os lados correspondentes s\u00e3o proporcionais.<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;\"> (H\u00e1 uma <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes\/\" title=\"Sala de ajuda: Tri\u00e2ngulos semelhantes\"target=\"_blank\"><strong>Sala de Ajuda<\/strong><\/a> sobre tri\u00e2ngulos semelhantes no nosso Blog!)<\/span><br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(4)<\/strong> <\/span> <strong>Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:32px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara facilitar a solu\u00e7\u00e3o, vamos nomear alguns pontos que aparecem na figura original do problema.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_4.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"325\" height=\"310\" class=\"aligncenter size-full wp-image-152024\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_4.png 325w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_4-300x286.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 325px) 100vw, 325px\" \/><\/p>\n<p>Conforme mostra a figura do problema, a medida [tex]S_{am}[\/tex] da \u00e1rea colorida de amarelo \u00e9 a diferen\u00e7a entre a medida [tex]S_{1}[\/tex] da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]CBE[\/tex] e a medida [tex]S_{2}[\/tex] da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]MEB[\/tex]. Dessa forma, precisamos determinar [tex]S_{1}[\/tex] e [tex]S_{2}[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>Como o tri\u00e2ngulo [tex]CBE[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a medida de sua \u00e1rea \u00e9 o semiproduto entre as medidas de seus catetos. Sendo [tex]E[\/tex]  o ponto m\u00e9dio do lado  [tex]AB[\/tex] do quadrado, segue que:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad S_{1}=\\dfrac{4 \\times 2}{2}=\\boxed{4\\,\\text{cm}^2}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n<li> O c\u00e1lculo de  [tex]S_2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o imediato!<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_6.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"279\" class=\"alignright size-full wp-image-152040\" \/>  Observe inicialmente que os pontos [tex]E[\/tex] e [tex]H[\/tex] s\u00e3o pontos m\u00e9dios dos lados [tex]AB[\/tex] e [tex]AD[\/tex], respectivamente. Como os tri\u00e2ngulos [tex]BAH[\/tex] e [tex]CBE[\/tex] s\u00e3o ret\u00e2ngulos, ent\u00e3o pelo <span class=\"c3\"> <strong>Lembrete (1)<\/strong> <\/span> esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. Assim, os \u00e2ngulos [tex]B\\widehat{C}E[\/tex] e [tex]A\\widehat{B}H[\/tex] t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]\\textcolor{#FF7F00}{\\alpha}[\/tex].<br \/>\nNote que o \u00e2ngulo [tex]M\\widehat{E}B[\/tex], cuja medida estamos denotando por [tex]\\textcolor{#FF33CC}{\\beta}[\/tex], \u00e9 comum aos tri\u00e2ngulos [tex]MEB[\/tex] e [tex]CBE[\/tex]; logo, pelo <span class=\"c3\"> <strong>Lembrete (2)<\/strong> <\/span> esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes e, portanto, [tex]MEB[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.<br \/>\nSendo um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a medida da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]MEB[\/tex] \u00e9 o semiproduto entre as medidas de seus catetos. Vamos denotar por [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] o comprimento em cent\u00edmetros dos catetos [tex]MB[\/tex] e [tex]ME[\/tex], respectivamente, e calcular essas medidas.<br \/>\nMas antes, vamos aplicar o Teorema de Pit\u00e1goras para determinar o comprimento [tex]h[\/tex] da hipotenusa do tri\u00e2ngulo [tex]CBE[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad h^2=4^2+2^2=16+4=20[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad h=\\pm \\sqrt{20}=\\pm 2\\sqrt{5}[\/tex].<br \/>\nComo [tex]h[\/tex] \u00e9 uma medida de comprimento, ent\u00e3o [tex]h=2\\sqrt{5}\\,\\text{cm}[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_8.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"357\" height=\"285\" class=\"alignleft size-full wp-image-152048\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_8.png 357w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob420_8-300x239.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 357px) 100vw, 357px\" \/> Observando os tri\u00e2ngulos semelhantes [tex]CBE[\/tex] e [tex]MEB[\/tex], percebemos que, pelo <span class=\"c3\"> <strong>Lembrete (3)<\/strong><\/span>:<br \/>\n[tex] \\qquad \\dfrac{4}{a}=\\dfrac{2}{b}=\\dfrac{2\\sqrt{5}}{2}=\\sqrt{5}.[\/tex]<br \/>\nCom isso, obtemos que:<br \/>\n[tex]\\qquad a=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}\\,\\text{cm}\\quad [\/tex] e [tex]\\quad b=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\,\\text{cm}[\/tex],<br \/>\ndonde:<br \/>\n[tex]\\qquad S_2=\\dfrac{\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}\\times \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}}{2}=\\dfrac{\\dfrac{8}{5}}{2} [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_2=\\boxed{\\dfrac{4}{5}\\, \\text{cm}^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, por [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}\\,[\/tex]  e [tex]\\, \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad S_{am}=S_1-S_2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_{am}=4-\\dfrac{4}{5}= \\dfrac{16}{5}\\,\\text{cm}^2[\/tex].<br \/>\nPortanto, a medida da \u00e1rea colorida de amarelo \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3,2\\,\\text{cm}^2$}\\,. [\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Medida-da-\u00e1rea-amarela.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Medida da \u00e1rea amarela.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Em um papel quadriculado, foi desenhado um quadrado com [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex] de lado, conforme mostra a figura. Determine a medida da \u00e1rea colorida de amarelo. AJUDAS (1) Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado \u2013 &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-medida-da-area-amarela\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-152062","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/152062","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=152062"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/152062\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220802,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/152062\/revisions\/220802"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=152062"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}