{"id":151611,"date":"2020-05-11T20:35:57","date_gmt":"2020-05-11T23:35:57","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=151611"},"modified":"2024-06-24T23:16:49","modified_gmt":"2024-06-25T02:16:49","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-soma-de-tres-inversos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-soma-de-tres-inversos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Soma de tr\u00eas inversos"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 1\u00ba ano do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(ONEM<\/strong>, 2011) Sejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros reais, distintos dois a dois, tais que <\/p>\n

[tex]\\qquad\\qquad a=\\sqrt[3]{1-4b-4c}[\/tex] ,
\n[tex]\\qquad\\qquad b=\\sqrt[3]{1-4c-4a}[\/tex] ,
\n[tex]\\qquad \\qquad c=\\sqrt[3]{1-4a-4b}[\/tex] .<\/p>\n

Determinar o valor da soma [tex]\\,\\,\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

AJUDA<\/p>\n

\n

✏<\/strong> <\/span> As Rela\u00e7\u00f5es de Girard<\/em><\/strong> para uma equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica da forma [tex]\\boxed{x^3+kx^2+ lx+m=0}[\/tex] garantem que, se considerarmos que [tex]x_1[\/tex], [tex]x_2[\/tex] e [tex]x_3[\/tex] s\u00e3o as ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] [tex]x_1+x_2+x_3=-k [\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] [tex] x_1\\cdot x_2+ x_1\\cdot x_3+ x_2\\cdot x_3=l [\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iiii)}[\/tex] [tex] x_1\\cdot x_2\\cdot x_3=-m[\/tex].
\n ✏<\/strong> <\/span> Se [tex]A\\,[\/tex] e [tex]\\,B[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad A^3-B^3=\\left(A-B\\right)\\left(A^2+AB+B^2\\right)[\/tex].\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Das duas primeiras igualdades dadas no problema segue que:
\n[tex]\\qquad\\qquad a^3=1-4b-4c\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad b^3=1-4c-4a[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad\\qquad a^3 – b^3=\\left(1-4b-4c\\right)-\\left(1-4c-4a\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad a^3 – b^3=1-4b-4c-1+4c+4a[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad a^3 – b^3=4\\left(a-b \\right)[\/tex].
\nUtilizando a segunda AJUDA<\/strong><\/span>, prosseguimos um pouco mais:
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(a-b\\right)\\left(a^2+ab+b^2\\right)=4\\left(a-b \\right)[\/tex].
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(a-b\\right)\\left(a^2+ab+b^2\\right)-4\\left(a-b \\right)=0[\/tex].
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(a-b\\right)\\left(a^2+ab+b^2-4\\right)=0\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nComo por hip\u00f3tese [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais distintos dois a dois, particularmente, [tex]a-b\\ne 0[\/tex]. Logo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
\n [tex]\\qquad\\qquad \\boxed{a^2+ab+b^2-4=0}\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nVamos repetir os mesmos passos partindo, agora, da segunda e da terceira equa\u00e7\u00f5es dadas no problema. Iniciando, temos que:
\n[tex]\\qquad\\qquad b^3=1-4c-4a\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad c^3=1-4a-4b[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad\\qquad b^3 – c^3=\\left(1-4c-4a\\right)-\\left(1-4a-4b\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad b^3 – c^3=1-4c-4a-1+4a+4b[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad b^3 – c^3=4\\left(b-c \\right)[\/tex].
\nUtilizando a segunda AJUDA<\/strong><\/span>, prosseguimos um pouco mais:
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(b-c\\right)\\left(b^2+bc+c^2\\right)=4\\left(b-c \\right)[\/tex].
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(b-c\\right)\\left(b^2+bc+c^2\\right)-4\\left(b-c \\right)=0[\/tex].
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left(b-c\\right)\\left(b^2+bc+c^2-4\\right)=0\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nComo [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais distintos, [tex]b-c\\ne 0[\/tex]. Logo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] que:
\n [tex]\\qquad\\qquad \\boxed{b^2+bc+c^2-4=0}\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nAgora, fazendo a diferen\u00e7a entre as igualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], obtemos que:
\n [tex]\\quad\\qquad a^2+ab+b^2-4-\\left(b^2+bc+c^2-4 \\right)=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad a^2+ab+b^2-4-b^2-bc-c^2+4=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad a^2+ab-bc-c^2=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad a^2+ab-bc-c^2+(ac-ac)=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad a^2+ab+ac-ac-bc-c^2=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad a\\left(a+b+c\\right)-c\\left(a+b+c\\right)=0[\/tex]
\n [tex]\\quad\\qquad \\left(a-c\\right)\\left(a+b+c\\right)=0\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nComo [tex]a[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais distintos, [tex]a-c\\ne 0[\/tex], donde conclu\u00edmos de [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] que [tex]\\fcolorbox{red}{#ffffff}{$ a+b+c=0$}[\/tex].
\nUtilizando a rela\u00e7\u00e3o [tex]\\fcolorbox{red}{#ffffff}{$ a+b+c=0$}[\/tex] nas igualdades [tex]\\boxed{a^3=1-4b-4c}\\,[\/tex], [tex]\\,\\boxed{b^3=1-4c-4a}\\,[\/tex] e [tex]\\, \\boxed{c^3=1-4a-4b}[\/tex] obtemos que:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad a^3=1-4\\left(b+c\\right) [\/tex]
\n[tex]\\qquad a^3=1+4a [\/tex]
\n[tex]\\qquad a^3-4a-1=0 [\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad b^3=1-4\\left(c+a\\right) [\/tex]
\n[tex]\\qquad b^3=1+4b [\/tex]
\n[tex]\\qquad b^3-4b-1=0 [\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad c^3=1-4\\left(a+b\\right) [\/tex]
\n[tex]\\qquad c^3=1+4c [\/tex]
\n[tex]\\qquad c^3-4c-1=0 [\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

As \u00faltimas igualdades de cada um dos tr\u00eas casos nos mostram que os n\u00fameros reais [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes duas a duas distintas da equa\u00e7\u00e3o [tex]X^3-4X-1=0.[\/tex]
\nAssim, pelas Rela\u00e7\u00f5es de Girard<\/em> <\/strong>para equa\u00e7\u00f5es c\u00fabicas, temos que:
\n[tex] \\qquad \\qquad ab+ ac+ bc=-4 \\quad [\/tex] e [tex] \\qquad abc=1[\/tex],
\ndonde, finalmente, segue que:
\n [tex]\\qquad \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}=\\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\\dfrac{ab+ac+bc}{abc}=\\dfrac{-4}{1}[\/tex],
\nou seja, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}=-4$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-151611","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151611","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=151611"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151611\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220794,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151611\/revisions\/220794"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=151611"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}