{"id":151306,"date":"2020-04-12T06:13:36","date_gmt":"2020-04-12T09:13:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=151306"},"modified":"2024-06-24T22:57:58","modified_gmt":"2024-06-25T01:57:58","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-muitos-pes-de-alface","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-muitos-pes-de-alface\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Muitos p\u00e9s de alface!"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220769\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>) <\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>ONEM<\/strong>, 2004 &#8211; Adaptado)<\/span> Um agricultor  colheu toda a sua planta\u00e7\u00e3o de p\u00e9s de alface e pediu para os seus quatro filhos que agrupassem os p\u00e9s colhidos, preparando-os para o transporte.<\/p>\n<ul>\n<li>O primeiro filho tentou agrupar os p\u00e9s de alface de onze em onze, mas faltou um.<\/li>\n<li>O segundo filho tentou agrupar os p\u00e9s de alface de treze em treze e sobraram doze p\u00e9s.<\/li>\n<li> O terceiro filho tentou agrupar os p\u00e9s de alface de sete em sete e tamb\u00e9m faltou um.<\/li>\n<li>O quarto filho, finalmente, agrupou os p\u00e9s de alface de doze em doze e n\u00e3o faltaram e nem sobraram p\u00e9s.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob415.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"223\" class=\"aligncenter size-full wp-image-141192\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob415.png 400w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob415-300x224.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong> Quantos p\u00e9s de alface o agricultor colheu, sabendo que foram menos de 8 000? <\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Seja [tex]C[\/tex] o n\u00famero de p\u00e9s de alface colhidos pelo agricultor e observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>Pela contagem do primeiro filho, se tivesse sido colhido um p\u00e9 de alface a mais, seria poss\u00edvel agrupar a colheita em grupos de onze unidades de p\u00e9s de alface. Assim,<br \/>\n<span style=\"color:#800000;padding-left:50px;\">&#9658;<\/span> [tex]C+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]11\\,. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<li>Pela contagem do segundo filho, ao separar a colheita em grupos de treze p\u00e9s de alface, sobraram 12 unidades. Perceba que se tivesse sido colhido um p\u00e9 de alface a mais teria sido poss\u00edvel separar a colheita de treze em treze p\u00e9s de alface. Dessa forma,<br \/>\n<span style=\"color:#800000;padding-left:50px;\">&#9658;<\/span> [tex]C+1[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]13\\,. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<li>Pela contagem do terceiro filho, se tivesse sido colhido um p\u00e9 de alface a mais, seria poss\u00edvel separar os p\u00e9s de alface em grupos de sete unidades. Por essa informa\u00e7\u00e3o, conclu\u00edmos que<br \/>\n<span style=\"color:#800000;padding-left:50px;\">&#9658;<\/span>  [tex]C+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]7\\,. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Observe que [tex]7,\\, 11 [\/tex] e [tex]13[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros primos distintos e, portanto, n\u00e3o t\u00eam fatores em comum. Ent\u00e3o para [tex]C+1[\/tex] ser, simultaneamente, um m\u00faltiplo desses tr\u00eas n\u00fameros, conforme indicam as conclus\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]  e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], [tex]C+1[\/tex] dever\u00e1 ser m\u00faltiplo do produto [tex]7 \\times 11 \\times 13=1001\\,.[\/tex]<br \/>\nVamos, ent\u00e3o procurar os m\u00faltiplos n\u00e3o nulos de [tex]1001[\/tex], mas n\u00e3o sem antes lembrar que foram colhidos menos de [tex]8\\,000[\/tex] p\u00e9s de alface:<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 1=1001[\/tex], donde [tex]C=1000 \\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 2=2002[\/tex], donde [tex]C=2001\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 3=3003[\/tex], donde [tex]C=3002\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 4=4004[\/tex], donde [tex]C=4003\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 5=5005[\/tex], donde [tex]C=5004\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 6=6006[\/tex], donde [tex]C=6005\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 7=7007[\/tex], donde [tex]C=7006\\lt 8000[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C+1= 1001\\times 8=8008[\/tex]; aqui ter\u00edamos um valor de [tex]C[\/tex] maior do que [tex]8000[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Perceba que temos ainda a informa\u00e7\u00e3o da contagem do quarto filho do agricultor!<\/p>\n<ul>\n<li> Pela contagem do quarto filho, agrupando de doze em doze n\u00e3o faltam e nem sobram p\u00e9s de alface. Isso significa que<br \/>\n<span style=\"color:#800000;padding-left:50px;\">&#9658;<\/span>  [tex]C[\/tex] \u00e9 um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]12[\/tex].<\/li>\n<p>Como todo m\u00faltiplo de [tex]12[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par, da rela\u00e7\u00e3o dos sete poss\u00edveis valores para [tex]C[\/tex] j\u00e1 eliminamos de imediato os valores \u00edmpares e ficamos com as seguintes possibilidades:<br \/>\n[tex]\\qquad 1000,\\, 3002,\\, 5004,\\, [\/tex] e [tex]7006[\/tex].<br \/>\nDesses quatro valores, apenas [tex]5004[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]12[\/tex].<\/ul>\n<table class=\"bf\" style=\"margin-left:40px; width:90%\" >\n<tr>\n<td class=\"bf\"> [tex]\\qquad \\begin{array}{r}<br \/>\n1000~\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n\\,12\\quad  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r}<br \/>\n\\quad \\,\\, 4<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n \\;\\;\\; 83<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td class=\"bf\"> [tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n3002~\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n\\,12\\quad  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n\\quad \\,\\,2<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n \\;\\;\\; 250<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td class=\"bf\"> [tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n5004~\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n\\,12\\quad \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n\\quad \\,\\,0<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n\\;\\;\\; 417<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td class=\"bf\"> [tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n7006~\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n\\,12\\quad  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\;\\begin{array}{r}<br \/>\n\\quad 10<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n \\;\\;\\; 583<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Assim, o agricultor colheu exatamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5\\,004 $}\\,[\/tex]p\u00e9s de alface.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sabemos que:<\/p>\n<ul>\n<li>agrupando de 7 em 7 faltou um p\u00e9 de alface;<\/li>\n<li>agrupando de 11 em 11 faltou 1 um p\u00e9 de alface;<\/li>\n<li>agrupando de 13 em 13 sobraram 12 p\u00e9s de alface (ou seja, tamb\u00e9m faltou 1);<\/li>\n<li>agrupando de 12 em 12 deu certo;<\/li>\n<li>o n\u00famero de p\u00e9s de alface \u00e9 menor que 8000.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como 7, 11 e 13 s\u00e3o primos distintos, a resposta tem que ser um n\u00famero m\u00faltiplo deles menos 1, e essa diferen\u00e7a deve ser um m\u00faltiplo de 12 ao mesmo tempo.<br \/>\nAssim encontramos os m\u00faltiplos de 7, 11 e 13 (7\u00d711\u00d713) menores do que 8000 e tiramos 1:<\/p>\n<li>1001-1=1000<\/li>\n<li>2002-1= 2001<\/li>\n<li>3003-1= 3002<\/li>\n<li>4004-1=4003<\/li>\n<li>5005-1=5004<\/li>\n<li>6006-1=6005<\/li>\n<li>7007-1=7006.<\/li>\n<p>Descartamos os \u00edmpares, pois n\u00e3o seriam m\u00faltiplos de 12, e testamos os que restaram dividindo-os por 12. O \u00fanico n\u00famero cuja divis\u00e3o por 12 \u00e9 exata \u00e9 o 5004.<br \/>\nAssim, a resposta para esse problema \u00e9: <strong>foram colhidos 5004 p\u00e9s de alface!<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube <strong> INTELIG\u00caNIOS<\/strong>, com colabora\u00e7\u00e3o dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/Muitos-p\u00e9s-de-alface.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Muitos p\u00e9s de alface.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) (ONEM, 2004 &#8211; Adaptado) Um agricultor colheu toda a sua planta\u00e7\u00e3o de p\u00e9s de alface e pediu para os seus quatro filhos que agrupassem os p\u00e9s colhidos, preparando-os para o transporte. 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