{"id":151162,"date":"2020-04-11T17:13:44","date_gmt":"2020-04-11T20:13:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=151162"},"modified":"2023-06-11T01:15:52","modified_gmt":"2023-06-11T04:15:52","slug":"desafio-uma-interessante-propriedade-do-criterio-de-divisibilidade-por-9","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-uma-interessante-propriedade-do-criterio-de-divisibilidade-por-9\/","title":{"rendered":".Desafio: Uma interessante propriedade do crit\u00e9rio de divisibilidade por 9"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>Elementos de Aritm\u00e9tica<\/strong>; Abramo Hefez &#8211; Adaptado)<\/span><br \/>\n<strong>(a)<\/strong> Observe estes exemplos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] 10^{2}-1=100-1=99\\, [\/tex] e [tex]99[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 9 [\/tex], pois [tex]99=9\\cdot 11[\/tex];<\/li>\n<li>[tex] 10^{3}-1=1000-1=999\\,[\/tex] e [tex]999[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 9 [\/tex], pois [tex]999=9\\cdot 111[\/tex];<\/li>\n<li>[tex] 10^{4}-1=10000-1=9999\\,[\/tex] e [tex]9999[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 9 [\/tex], pois [tex]9999=9\\cdot 111[\/tex] .<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mostre que a propriedade destacada em cada um deles \u00e9 sempre verdadeira, ou seja, mostre que:<\/p>\n<p style=\"border:2px solid #800000;  width:70%;margin:10px\"><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Se  [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, ent\u00e3o [tex]10^{n}-1[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].<\/p>\n<p><strong>(b)<\/strong> Como j\u00e1 sabemos que [tex]10^{n}-1[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], para qualquer n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]n[\/tex], ent\u00e3o podemos afirmar que [tex]\\dfrac{10^n-1}{9}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro e, assim, pode ou n\u00e3o ser m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex]. Por exemplo, <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\dfrac{10^5-1}{9}=\\dfrac{100000-1}{9}=\\dfrac{99999}{9}=11111[\/tex] e [tex]11111[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], uma vez que a soma de seus algarismos n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero divis\u00edvel por [tex] 9[\/tex] ( [tex]1+1+1+1+1=5[\/tex]);<\/li>\n<\/ul>\n<p>mas <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\dfrac{10^9-1}{9}=\\dfrac{1000000000-1}{9}=\\dfrac{999999999}{9}=111111111[\/tex] e [tex]111111111[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], j\u00e1 que a soma de seus algarismos \u00e9 um n\u00famero divis\u00edvel por [tex] 9[\/tex] ( [tex]1+1+1+1+1+1+1+1+1=9[\/tex]).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Neste item, vamos ver que o fato de um n\u00famero da forma [tex]\\dfrac{10^n-1}{9}[\/tex] ser um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] est\u00e1 intimamente relacionado com o valor do n\u00famero [tex]n[\/tex]. Mostre agora que:<\/p>\n<p style=\"border:2px solid #800000; width:85%;margin:10px\"> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo tal que  [tex]\\dfrac{10^n-1}{9}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:40px;line-height:27px; width:70%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"57\" height=\"69\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(1)<\/strong> <\/span>  <strong>Crit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]9[\/tex]<\/strong>: Para um n\u00famero natural ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a soma de seus algarismos seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(2)<\/strong> <\/span>  Se [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real e [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, ent\u00e3o<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad a^{m}-1=(a-1)(a^{m-1}+a^{m-2} +\u22ef+a+1)[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(a)<\/strong> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, vemos que  [tex] 10^n-1=\\underbrace{99 \\dots 9}_{n\\,d\u00edgitos}\\,[\/tex], ou seja, [tex] 10^n-1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural com  [tex]n[\/tex] d\u00edgitos [tex]9[\/tex].<br \/>\nAssim, se somarmos os  [tex]n[\/tex] algarismos do n\u00famero [tex]10^{n}-1[\/tex], obteremos  [tex] \\underbrace{9+9+ \\dots 9}_{n\\,parcelas}=9n\\,[\/tex], ou seja, a soma ser\u00e1 um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex].<br \/>\nSegue, ent\u00e3o, do crit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]9[\/tex] que [tex]\\boxed{10^{n}-1}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex].<\/p>\n<p><strong>(b)<\/strong>  Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural n\u00e3o nulo tal que  [tex]\\dfrac{10^n-1}{9}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9\\,.[\/tex]<br \/>\nObserve que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{align*}\\dfrac{10^n -1}{9}&#038;=\\dfrac{10^{n} -1}{10-1} \\\\<br \/>\n\\qquad &#038;\\stackrel{\\textcolor{#800000}{Lembrete\\, (2)}}{=} \\dfrac{(10-1)(10^{n-1} + 10^{n-2} + \\dots + 10+1)}{(10-1)}\\\\<br \/>\n\\qquad &#038;=  10^{n-1}+10^{n-2}+\\dots+10+1\\\\<br \/>\n\\qquad &#038;= (10^{n-1}-1)+1+(10^{n-2}-1)+1+\\dots+(10-1)+1+1\\\\<br \/>\n\\qquad &#038;=  (10^{n-1}-1)+(10^{n-2}-1)+\\dots+(10-1)+n\\, ,<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nlogo,<br \/>\n[tex]\\qquad n=\\dfrac{10^n -1}{9}-[(10^{n-1}-1)+(10^{n-2}-1)+\\dots+(10-1)]\\,.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nDessa forma, <\/p>\n<ul>\n<li>por hip\u00f3tese, [tex]\\dfrac{10^{n}-1}{9}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] e<\/li>\n<li> pelo item<strong> (a)<\/strong>, cada parcela de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 da forma [tex]10^{k} -1[\/tex] e, portanto, tamb\u00e9m \u00e9 m\u00faltipla de [tex]9[\/tex],<\/li>\n<\/ul>\n<p>assim, como a soma e a diferen\u00e7a de m\u00faltiplos de [tex]9[\/tex] ainda \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], [tex]n[\/tex]  tamb\u00e9m \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Elementos de Aritm\u00e9tica; Abramo Hefez &#8211; Adaptado) (a) Observe estes exemplos: [tex] 10^{2}-1=100-1=99\\, [\/tex] e [tex]99[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 9 [\/tex], pois [tex]99=9\\cdot 11[\/tex]; [tex] 10^{3}-1=1000-1=999\\,[\/tex] e [tex]999[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 9 [\/tex], pois [tex]999=9\\cdot 111[\/tex]; [tex] 10^{4}-1=10000-1=9999\\,[\/tex] e [tex]9999[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-uma-interessante-propriedade-do-criterio-de-divisibilidade-por-9\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":732,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-151162","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151162","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/732"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=151162"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151162\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194297,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151162\/revisions\/194297"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=151162"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}