{"id":151146,"date":"2020-04-12T06:28:39","date_gmt":"2020-04-12T09:28:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=151146"},"modified":"2024-06-24T23:03:32","modified_gmt":"2024-06-25T02:03:32","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-ali-babao-e-a-decima-quarta-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-ali-babao-e-a-decima-quarta-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Ali Bab\u00e3o e a d\u00e9cima quarta de suas 40 equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Ali Bab\u00e3o apresentou aos seus disc\u00edpulos um tipo interessante de equa\u00e7\u00f5es polinomiais:<\/p>\n

    \n
  • equa\u00e7\u00f5es cujos coeficientes equidistantes dos extremos ou s\u00e3o todos iguais ou s\u00e3o todos sim\u00e9tricos.<\/li>\n<\/ul>\n

    Esquematicamente, s\u00e3o equa\u00e7\u00f5es da forma <\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    tais que ou
    \n[tex]\\qquad \\qquad a_n=a_0\\,,\\, a_{n-1}=a_1\\,,\\, a_{n-2}=a_2,\\cdots\\, [\/tex]
    \nou
    \n [tex]\\qquad \\qquad a_n=-a_0\\,,\\,a_{n-1}=-a_1\\,,\\, a_{n-2}=-a_2,\\cdots\\, [\/tex] .<\/p>\n

    Ajude os disc\u00edpulos do mestre Ali, respondendo os itens abaixo.<\/strong><\/span><\/p>\n

    (a)<\/strong> Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o sim\u00e9tricos, ent\u00e3o essa equa\u00e7\u00e3o admite a raiz [tex]1[\/tex]?
    \n(b)<\/strong> Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equa\u00e7\u00e3o forem iguais, essa equa\u00e7\u00e3o admite a raiz [tex]-1[\/tex]?
    \n(c)<\/strong> Resolva a equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^3-19x^2+19x-6=0[\/tex].<\/p>\n

    \n<\/div>\n

    \"explicador_p\" <\/p>\n

    AJUDA<\/p>\n

    \n

    ✏<\/strong> <\/span> Destrinchando as caracteriza\u00e7\u00f5es<\/strong>
    \nPara visualizar melhor as duas caracteriza\u00e7\u00f5es de equa\u00e7\u00f5es dadas no problema, escreva ordenadamente os coeficientes da equa\u00e7\u00e3o a ser analisada em duas linhas:<\/p>\n

      \n
    • em uma linha, escreva do de maior \u00edndice para o de menor \u00edndice (inclusive os coeficientes iguais a [tex]0[\/tex])<\/span>;<\/li>\n
    • na outra linha, escreva do de menor \u00edndice para o de maior \u00edndice (inclusive os coeficientes iguais a [tex]0[\/tex])<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\\cdots&a_2&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&a_2&\\cdots&a_{n-2}&a_{n-1}&a_n\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      ►<\/span>Uma equa\u00e7\u00e3o ter coeficientes equidistantes dos extremos iguais equivale a dizer que em todas as [tex]n+1[\/tex] colunas do respectivo esqueminha os elementos s\u00e3o iguais.
      \n►<\/span>Uma equa\u00e7\u00e3o ter coeficientes equidistantes dos extremos sim\u00e9tricos equivale a dizer que em todas as [tex]n+1[\/tex] colunas do respectivo esqueminha os elementos s\u00e3o sim\u00e9tricos um do outro.<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      Uma observa\u00e7\u00e3o importante \u00e9 sobre o(s) coeficiente(s) central(ais):<\/p>\n

      ►<\/span>Se o grau da equa\u00e7\u00e3o \u00e9 par, ent\u00e3o essa equa\u00e7\u00e3o tem um n\u00famero \u00edmpar de coeficientes; logo, existe um \u00fanico coeficiente central: o coeficiente [tex]\\textcolor{red}{a_{\\frac{n}{2}}}[\/tex].<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\\cdots&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_2&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&a_2&\\cdots&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_{n-2}&a_{n-1}&a_n\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      ►<\/span>Se o grau da equa\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00edmpar, ent\u00e3o essa equa\u00e7\u00e3o tem um n\u00famero par de coeficientes; logo, existem dois coeficientes centrais: os coeficientes [tex]\\textcolor{red}{a_{\\frac{n-1}{2}}}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{a_{\\frac{n+1}{2}}}[\/tex].<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\\cdots&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n+1}{2}}}&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n-1}{2}}}&\\cdots&a_2&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&a_2&\\cdots&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n-1}{2}}}&\\textcolor{red}{a_{\\frac{n+1}{2}}}&\\cdots&a_{n-2}&a_{n-1}&a_n\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

      Equa\u00e7\u00f5es polinomiais desse tipo s\u00e3o o que a Matem\u00e1tica denomina como equa\u00e7\u00f5es rec\u00edprocas<\/em><\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

      \n

      (a)<\/strong> Considere uma equa\u00e7\u00e3o polinomial
      \n[tex]\\qquad \\qquad P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0[\/tex]
      \ncujos coeficientes equidistantes dos extremos sejam sim\u00e9tricos.
      \nAssim,
      \n [tex]\\qquad \\qquad a_n=-a_0\\,,\\,a_{n-1}=-a_1\\,,\\, a_{n-2}=-a_2,\\cdots\\, [\/tex].
      \nVeja o esqueminha geral:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=-a_0&a_{n-1}=-a_{1}&a_{n-2}=-a_{2}&\\cdots&a_2&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&a_2&\\cdots&a_{n-2}=-a_{2}&a_{n-1}=-a_{1}&a_n=-a_0\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Vamos dividir a nossa discuss\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o da paridade do grau da equa\u00e7\u00e3o e utilizar os esqueminhas que destacam o termo central para facilitar o entendimento desta solu\u00e7\u00e3o.
      \nO que devemos avaliar em cada caso \u00e9 se a equa\u00e7\u00e3o [tex] P(x)=0[\/tex] admite ou n\u00e3o a raiz [tex]1[\/tex], isto \u00e9, se [tex] P(1)=0[\/tex] ou [tex] P(1)\\ne 0[\/tex].
      \n(1)<\/strong> Suponha que o grau da nossa equa\u00e7\u00e3o seja \u00edmpar.
      \nNeste caso, o esqueminha fica assim:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=-a_0&a_{n-1}=-a_{1}&\\cdots&a_{\\frac{n+1}{2}}=-a_{\\frac{n-1}{2}}&a_{\\frac{n-1}{2}}&\\cdots&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&\\cdots&a_{\\frac{n-1}{2}}&a_{\\frac{n+1}{2}}=-a_{\\frac{n-1}{2}}&\\cdots&a_{n-1}=-a_{1}&a_n=-a_0\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      e
      \n[tex]\\qquad P(1)=a_n\\cdot 1^n+a_{n-1}\\cdot 1^{n-1}+a_{n-2}\\cdot 1^{n-2}+\\cdots\\\\
      \n\\qquad \\qquad \\quad \\cdots +a_{\\frac{n+1}{2}}\\cdot 1^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot 1^{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots+a_2\\cdot 1^2+a_1\\cdot 1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\\cdots+a_{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots+a_2+a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=-a_0-a_{1}-a_{2}+\\cdots-a_{\\frac{n-1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots+a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=-\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}-\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}-\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}+\\cdots-\\textcolor{green}{\\cancel{a_{\\frac{n-1}{2}}}}+\\textcolor{green}{\\cancel{a_{\\frac{n-1}{2}}}}+\\cdots+\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}+\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}+\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=0[\/tex].
      \n(2)<\/strong> Suponha que o grau da nossa equa\u00e7\u00e3o seja par.
      \nAgora, o esqueminha fica assim:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=-a_0&a_{n-1}=-a_{1}&\\cdots&\\textcolor{#FF00FF}{a_{\\frac{n}{2}}=-a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&\\cdots&\\textcolor{#FF00FF}{a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_{n-1}=-a_{1}&a_n=-a_0\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Antes de fazermos o c\u00e1lculo de [tex]P(1)[\/tex], observe que para termos elementos sim\u00e9tricos na coluna relativa ao termo central, [tex]a_{\\frac{n}{2}}=0[\/tex]. pois [tex]0[\/tex] \u00e9 o \u00fanico n\u00famero cujo sim\u00e9trico \u00e9 ele pr\u00f3prio.
      \nVamos aos c\u00e1lculos!
      \n[tex]\\qquad P(1)=a_n\\cdot 1^n+a_{n-1}\\cdot 1^{n-1}+a_{n-2}\\cdot 1^{n-2}+\\cdots\\\\
      \n\\qquad \\qquad \\quad \\cdots +a_{\\frac{n}{2}}\\cdot 1^{\\frac{n}{2}}+\\cdots+a_2\\cdot 1^2+a_1\\cdot 1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\\cdots+0+\\cdots+a_2+a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=-a_0-a_{1}-a_{2}+\\cdots+0+\\cdots+a_2+a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=-\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}-\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}-\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}+\\cdots+0+\\cdots+\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}+\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}+\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(1)=0[\/tex].<\/p>\n

      Por (1) e (2), conclu\u00edmos que [tex]P(1)=0[\/tex].
      \nAssim, <\/p>\n

      [tex]1[\/tex] \u00e9, de fato, raiz de qualquer equa\u00e7\u00e3o polinomial cujos coeficientes equidistantes dos extremos s\u00e3o sim\u00e9tricos.<\/strong><\/p>\n

      \n
      \n

      (b)<\/strong> Considere, agora, uma equa\u00e7\u00e3o polinomial
      \n[tex]\\qquad \\qquad P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0[\/tex]
      \ncujos coeficientes equidistantes dos extremos sejam iguais.
      \nAssim,
      \n [tex]\\qquad \\qquad a_n=a_0\\,,\\,a_{n-1}=a_1\\,,\\, a_{n-2}=a_2,\\cdots\\, [\/tex].
      \nVeja o esqueminha geral:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=a_0&a_{n-1}=a_{1}&a_{n-2}&\\cdots&a_2&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&a_2&\\cdots&a_{n-2}=a_{2}&a_{n-1}=a_{1}&a_n=a_0\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      O que vamos avaliar neste item \u00e9 se a equa\u00e7\u00e3o [tex] P(x)=0[\/tex] admite ou n\u00e3o a raiz [tex]-1[\/tex], isto \u00e9, se [tex] P(-1)=0[\/tex] ou [tex] P(-1)\\ne 0[\/tex].
      \nAqui parece que teremos problemas, j\u00e1 que, diferentemente do item anterior no qual t\u00ednhamos pot\u00eancias com base [tex]1[\/tex], as pot\u00eancias com base [tex]-1[\/tex] apresentam dois valores: [tex]1[\/tex] ou [tex]-1\\,.[\/tex]
      \nVamos dividir, mais uma vez, a nossa discuss\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o da paridade do grau da equa\u00e7\u00e3o e tamb\u00e9m utilizar os esqueminhas que destacam o termo central.
      \n(1)<\/strong> Aqui, vamos supor inicialmente que o grau da nossa equa\u00e7\u00e3o seja par.
      \nEnt\u00e3o, o nosso esqueminha fica assim:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=a_0&a_{n-1}=a_{1}&\\cdots&\\textcolor{#FF00FF}{a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&\\cdots&\\textcolor{#FF00FF}{a_{\\frac{n}{2}}}&\\cdots&a_{n-1}=a_{1}&a_n=a_0\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      Note que:
      \n[tex]\\qquad P(-1)=a_n\\cdot \\left(-1\\right)^n+a_{n-1}\\cdot \\left(-1\\right)^{n-1}+a_{n-2}\\cdot \\left(-1\\right)^{n-2}+\\cdots\\\\
      \n\\qquad \\qquad \\cdots +a_{\\frac{n}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}+\\cdots+a_2\\cdot \\left(-1\\right)^2+a_1\\cdot \\left(-1\\right)+a_0[\/tex]
      \ne como [tex]n[\/tex] \u00e9 par, temos que:
      \n[tex]\\qquad P(-1)=a_n-a_{n-1}+a_{n-2}+\\cdots+a_{\\frac{n}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}+\\cdots+a_2-a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(-1)=a_0-a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{\\frac{n}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}+\\cdots+a_2-a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\qquad P(-1)=2a_0-2a_{1}+2a_{2}+\\cdots+a_{\\frac{n}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}[\/tex].
      \nPerceba que n\u00e3o temos como garantir se [tex] \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}[\/tex] \u00e9 [tex]1[\/tex] ou [tex]-1[\/tex] e muito menos avaliar a soma [tex]2a_0-2a_{1}+2a_{2}+\\cdots+a_{\\frac{n}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n}{2}}[\/tex] sem conhecermos os coeficientes da equa\u00e7\u00e3o.
      \nPor exemplo, a equa\u00e7\u00e3o polinomial [tex]P(x)=x^2+2x+1=0[\/tex] tem coeficientes equidistantes dos extremos iguais, tem grau par e [tex]P(-1)=0[\/tex].
      \nJ\u00e1 a equa\u00e7\u00e3o [tex]P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0[\/tex] tem coeficientes equidistantes dos extremos iguais, tem grau par, mas [tex]P(-1)=1[\/tex].
      \nVeja que a equa\u00e7\u00e3o [tex]P(x)=x^4+x^3+ax^2+x+1[\/tex] tem coeficientes equidistantes dos extremos iguais, tem grau par, mas [tex]P(-1)=a[\/tex], para qualquer [tex]a \\in \\mathbb{R}[\/tex], o que refor\u00e7a que este caso que estamos analisando apresenta equa\u00e7\u00f5es polinomiais [tex]P(x)=0[\/tex] cujo valor [tex]P(-1)[\/tex] depende dos seus coeficientes.
      \nDessa forma,<\/p>\n

      N\u00e3o podemos garantir que [tex]-1[\/tex] seja raiz de qualquer equa\u00e7\u00e3o polinomial de grau par, cujos coeficientes equidistantes dos extremos s\u00e3o iguais.<\/strong><\/p>\n

      (2)<\/strong> Vamos supor, agora, que o grau da nossa equa\u00e7\u00e3o seja \u00edmpar.
      \nNeste caso, o esqueminha fica assim:<\/p>\n

      [tex]\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
      \na_n=a_0&a_{n-1}=a_{1}&\\cdots&a_{\\frac{n+1}{2}}=a_{\\frac{n-1}{2}}&a_{\\frac{n-1}{2}}&\\cdots&a_1&a_0\\\\
      \na_0&a_1&\\cdots&a_{\\frac{n-1}{2}}&a_{\\frac{n+1}{2}}=a_{\\frac{n-1}{2}}&\\cdots&a_{n-1}=a_{1}&a_n=a_0\\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

      e
      \n[tex]\\;P(-1)=a_n\\cdot \\left(-1\\right)^n+a_{n-1}\\cdot \\left(-1\\right)^{n-1}+a_{n-2}\\cdot \\left(-1\\right)^{n-2}+\\cdots+a_{\\frac{n+1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+\\\\
      \n\\qquad \\qquad \\quad +a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots+a_2\\cdot \\left(-1\\right)^2+a_1\\cdot \\left(-1\\right)+a_0\\,.[\/tex]
      \nComo aqui [tex]n[\/tex] \u00e9 \u00edmpar,
      \n[tex]\\quad P(-1)=-a_n+a_{n-1}-a_{n-2}+\\cdots\\\\
      \n\\quad \\qquad \\quad +a_{\\frac{n+1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots +a_2-a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\quad P(-1)=-a_0+a_{1}-a_{2}+\\cdots+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots\\\\
      \n\\quad \\qquad \\quad cdots +a_2-a_1+a_0[\/tex]
      \n[tex]\\quad P(-1)=-\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}+\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}-\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}+\\cdots+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}+\\cdots\\\\
      \n\\qquad \\qquad \\quad cdots+\\textcolor{#B9418E}{\\cancel{a_{2}}}-\\textcolor{blue}{\\cancel{a_{1}}}+\\textcolor{red}{\\cancel{a_0}}[\/tex]
      \n[tex]\\quad P(-1)=a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}\\\\
      \n\\,\\,[\/tex].
      \nPor fim, veja que [tex]\\dfrac{n-1}{2}+1=\\dfrac{n+1}{2}[\/tex]; assim, os expoentes [tex]\\dfrac{n-1}{2}[\/tex] e [tex]\\dfrac{n+1}{2}[\/tex] do [tex]-1[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros consecutivos. Logo, uma das pot\u00eancias [tex]\\left(-1\\right)^\\frac{n-1}{2}[\/tex] ou [tex]\\left(-1\\right)^\\frac{n+1}{2}[\/tex] \u00e9 [tex]1[\/tex] e a outra \u00e9 [tex]-1[\/tex] e, com isso,
      \n[tex]\\qquad P(-1)=a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n-1}{2}}\\cdot \\left(-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}}=0\\,\\,[\/tex].<\/p>\n

      Portanto, podemos concluir que <\/p>\n

      [tex]-1[\/tex] \u00e9 raiz de qualquer equa\u00e7\u00e3o polinomial de grau \u00edmpar cujos coeficientes equidistantes dos extremos s\u00e3o iguais.<\/strong><\/p>\n

      \n
      \n

      (c)<\/strong> Resolva a equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^3-19x^2+19x-6=0[\/tex]
      \nObserve que [tex]6x^3-19x^2+19x-6=0[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o polinomial cujos coeficientes equidistantes dos extremos s\u00e3o sim\u00e9tricos; assim, [tex]1[\/tex] \u00e9 uma de suas ra\u00edzes. Vamos, ent\u00e3o, fazer a divis\u00e3o da express\u00e3o [tex]6x^3-19x^2+19x-6[\/tex] por [tex]x-1[\/tex]:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
      [tex]\\;\\;6x^3-19x^2+19x-6[\/tex] <\/td>\n [tex]x-1[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\textcolor{red}{-6x^3+6x^2}[\/tex] <\/td>\n [tex]\\textcolor{red}{6x^2}\\textcolor{blue}{-13x}\\textcolor{#FF00FF}{+6}[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\;\\;\\;\\;-13x^2+19x-6[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\textcolor{blue}{13x^2-13x}[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\;\\;\\;\\;6x-6\\;\\;\\;[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\qquad \\textcolor{#FF00FF}{-6x+6}\\;\\;[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
      [tex]\\;\\;0\\;\\;\\;[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

      Dessa forma, [tex]6x^3-19x^2+19x-6=\\left(x-1\\right)\\cdot \\left(6x^2-13x+6\\right)[\/tex] e, portanto, as outras ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^3-19x^2+19x-6=0[\/tex] s\u00e3o as ra\u00edzes de [tex]6x^2-13x+6=0[\/tex].
      \nPara essa segunda equa\u00e7\u00e3o, basta aplicarmos a f\u00f3rmula de resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau:
      \n[tex]\\qquad \\dfrac{13\\pm\\sqrt{169-144}}{12}=\\dfrac{13\\pm 5}{12}\\\\
      \n\\;[\/tex]
      \ne com isso obtemos as ra\u00edzes [tex]\\dfrac{2}{3}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\dfrac{3}{2}[\/tex].
      \nPortanto, as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^3-19x^2+19x-6=0[\/tex] s\u00e3o: [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=1$}\\;[\/tex]; [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2=\\dfrac{3}{2}$}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_3=\\dfrac{2}{3}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

      \n\n\n
      \"\"<\/td>\n\n

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      \n

      \nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      ✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) Ali Bab\u00e3o apresentou aos seus disc\u00edpulos um tipo interessante de equa\u00e7\u00f5es polinomiais: equa\u00e7\u00f5es cujos coeficientes equidistantes dos extremos ou s\u00e3o todos iguais ou s\u00e3o todos sim\u00e9tricos. Esquematicamente, s\u00e3o equa\u00e7\u00f5es da forma tais … <\/p>\n

      Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-151146","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151146","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=151146"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151146\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220777,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/151146\/revisions\/220777"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=151146"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}