{"id":150750,"date":"2020-04-07T23:04:21","date_gmt":"2020-04-08T02:04:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=150750"},"modified":"2023-06-11T00:53:41","modified_gmt":"2023-06-11T03:53:41","slug":"problemao-qual-a-maior-potencia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-qual-a-maior-potencia\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Qual a maior pot\u00eancia? (II)"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Qual dos n\u00fameros \u00e9 maior: [tex]5^{44}[\/tex] ou [tex]4^{53}[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Inicialmente, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]\\boxed{4^{53}=\\left(2^2\\right)^{53}=2^{106}}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por outro lado, podemos escrever [tex]5^{44}[\/tex] como [tex]5^{3\\cdot14 +2}[\/tex], pois o [tex]44[\/tex] quando dividido por [tex]3[\/tex] possui quociente [tex]14[\/tex] e resto [tex]2[\/tex]. Assim, utilizando propriedades das pot\u00eancias, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad 5^{44}=5^{3\\cdot14 +2}=5^{3\\cdot14} \\cdot 5^{2}=(5^{3})^{14}\\cdot 25=125^{14}\\cdot 25[\/tex],<br \/>\nou seja, <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\boxed{5^{44}=125^{14}\\cdot 25}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Agora, repare que [tex]2^{106}=2^{7\\cdot 15 +1}[\/tex], pois [tex]106[\/tex] quando dividido por [tex]7[\/tex] possui quociente [tex]15[\/tex] e resto [tex]1[\/tex]. Com isso, utilizando novamente as propriedades de pot\u00eancias, obtemos que:<br \/>\n[tex]\\qquad 2^{106}=2^{7\\cdot 15 +1}=2^{7\\cdot 15} \\cdot 2=(2^{7})^{15}\\cdot2=128^{15}\\cdot 2=128^{14}\\cdot 128 \\cdot 2=128^{14}\\cdot256[\/tex]<br \/>\ne, assim, [tex]2^{106}=128^{14}\\cdot 256\\,.[\/tex]<br \/>\nClaramente vemos que [tex]128^{14}\\textcolor{red}{\\gt} 125^{14}[\/tex] e que [tex]256 \\textcolor{blue}{\\gt} 25[\/tex]; logo,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{4^{53}}=2^{106}=128^{14}\\cdot256 \\textcolor{red}{\\gt} 125^{14}\\cdot 256 \\textcolor{blue}{\\gt} 125^{14}\\cdot25=\\boxed{5^{44}}[\/tex],<br \/>\n ou seja, [tex]4^{53}\\gt5^{44}[\/tex].<br \/>\nPortanto, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4^{53}$}[\/tex] \u00e9 o maior dentre os dois n\u00fameros apresentados no problema.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Qual dos n\u00fameros \u00e9 maior: [tex]5^{44}[\/tex] ou [tex]4^{53}[\/tex]? Solu\u00e7\u00e3o Inicialmente, observe que: [tex]\\boxed{4^{53}=\\left(2^2\\right)^{53}=2^{106}}[\/tex]. Por outro lado, podemos escrever [tex]5^{44}[\/tex] como [tex]5^{3\\cdot14 +2}[\/tex], pois o [tex]44[\/tex] quando dividido por [tex]3[\/tex] possui quociente [tex]14[\/tex] e resto [tex]2[\/tex]. 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