{"id":149451,"date":"2020-04-07T00:57:13","date_gmt":"2020-04-07T03:57:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=149451"},"modified":"2024-06-24T22:40:30","modified_gmt":"2024-06-25T01:40:30","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-duplo-tres-digitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-duplo-tres-digitos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Duplo tr\u00eas d\u00edgitos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220749\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"><br \/>\n(A partir do 6\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>UK Junior Mathematical Olympiad<\/strong>, 2012)<\/span>  Um n\u00famero natural \u00e9 dito <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong>  se ele tem tr\u00eas d\u00edgitos e o produto de seus d\u00edgitos \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos.<br \/>\nPor exemplo,<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\boxed{679}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero  <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong>, pois ele tem tr\u00eas d\u00edgitos e o produto [tex]6\\times 7\\times 9=\\boxed{378}[\/tex] tamb\u00e9m tem tr\u00eas d\u00edgitos.<\/li>\n<li>[tex]\\boxed{238}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero  <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong>; pois, embora ele tenha tr\u00eas d\u00edgitos, o produto [tex]2\\times 3\\times 8=\\boxed{48}[\/tex] tem apenas dois d\u00edgitos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Qual \u00e9 o menor n\u00famero  <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong> ?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Vamos supor que [tex]M[\/tex] seja o menor n\u00famero  <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong>; assim, [tex]M[\/tex] \u00e9 da forma [tex]M=abc[\/tex], com [tex]a,\\,b,\\,[\/tex] e [tex]\\,c[\/tex] d\u00edgitos tais que o produto [tex]a\\cdot b \\cdot c[\/tex] tem tr\u00eas algarismos.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> A primeira observa\u00e7\u00e3o a ser feita \u00e9 de que os algarismos [tex]a,\\,b,\\,[\/tex] e [tex]\\,c[\/tex] s\u00e3o n\u00e3o nulos. Perceba que se um desses algarismos fosse igual a zero, o produto [tex]a\\cdot b \\cdot c[\/tex] seria nulo e n\u00e3o teria, portanto, tr\u00eas algarismos.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Agora, note que [tex]a \\ne 1[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, o maior valor que o produto [tex]a\\cdot b \\cdot c[\/tex] assumiria seria [tex]1\\cdot 9 \\cdot 9=81[\/tex] e [tex]81[\/tex] n\u00e3o tem tr\u00eas d\u00edgitos como deveria ter.<br \/>\nDessa forma, [tex]a[\/tex] \u00e9 pelo menos [tex]2[\/tex] e, como estamos procurando o menor valor de [tex]M[\/tex], ent\u00e3o [tex]M[\/tex] \u00e9 da forma [tex]2bc\\,.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Vamos analisar [tex]b[\/tex]. Note que [tex]b[\/tex] \u00e9 no m\u00ednimo [tex]6[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, o maior valor que o produto [tex]a\\cdot b \\cdot c[\/tex] assumiria seria [tex]2\\cdot 5 \\cdot 9=90[\/tex] e [tex]90[\/tex] tamb\u00e9m n\u00e3o tem tr\u00eas d\u00edgitos como o problema exige.<br \/>\nCom isso, como estamos procurando o menor valor de [tex]M[\/tex], ent\u00e3o [tex]M[\/tex] \u00e9 da forma [tex]26c\\,.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Ao analisar os n\u00fameros da forma  [tex]26c[\/tex], notamos que [tex]c=9[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, o maior valor que o produto [tex]a\\cdot b \\cdot c[\/tex] assumiria seria [tex]2\\cdot 6 \\cdot 8=96[\/tex] e [tex]96[\/tex] n\u00e3o tem tr\u00eas d\u00edgitos.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Finalmente, como [tex]2 \\cdot 6 \\cdot 9=108[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$M=269$}[\/tex] \u00e9 o menor n\u00famero <strong><em>duplo tr\u00eas d\u00edgitos<\/em><\/strong> que existe.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/Duplo-tr\u00eas-d\u00edgitos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Duplo tr\u00eas d\u00edgitos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 6\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (UK Junior Mathematical Olympiad, 2012) Um n\u00famero natural \u00e9 dito duplo tr\u00eas d\u00edgitos se ele tem tr\u00eas d\u00edgitos e o produto de seus d\u00edgitos \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos. Por exemplo, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-duplo-tres-digitos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-149451","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/149451","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=149451"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/149451\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220751,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/149451\/revisions\/220751"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=149451"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}