{"id":149292,"date":"2020-04-07T00:52:53","date_gmt":"2020-04-07T03:52:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=149292"},"modified":"2024-06-24T22:38:12","modified_gmt":"2024-06-25T01:38:12","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-triangulo-prolongado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-triangulo-prolongado\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um tri\u00e2ngulo prolongado"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220746\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\"><strong>(FGV-SP<\/strong>, 2007 &#8211; Adaptado)<\/span> No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] cujos lados [tex]\\overline{AB}[\/tex],  [tex]\\overline{BC}[\/tex]  e [tex]\\overline{AC}[\/tex] medem [tex]8~cm[\/tex], [tex]7~cm[\/tex], [tex]6~cm[\/tex], respectivamente, o lado [tex]\\overline{BC}[\/tex]  foi prolongado at\u00e9 o ponto  [tex]D[\/tex], de modo que os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{B}C[\/tex] e  [tex]C\\hat{A}D[\/tex] ficassem com a mesma medida.<br \/>\n<strong>Determine o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]ABD[\/tex].<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center; font-size:12px;line-height:18px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob405_5-1.gif\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"583\" height=\"411\" class=\"aligncenter size-full wp-image-138973\" \/>Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"72\" height=\"86\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(1)<\/strong> <\/span> <strong> Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(2)<\/strong> <\/span> Em tri\u00e2ngulos semelhantes, os lados correspondentes s\u00e3o proporcionais.<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;\"> (H\u00e1 uma <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes\/\" title=\"Sala de ajuda: Tri\u00e2ngulos semelhantes\"target=\"_blank\"><strong>Sala de Ajuda<\/strong><\/a> sobre tri\u00e2ngulos semelhantes no nosso Blog!)<\/span><br \/>\n<span class=\"c3\"><strong>(3)<\/strong><\/span> <strong>Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e  [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos supor que:<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]a\\;[\/tex] e [tex]\\;c[\/tex] sejam as medidas, em cent\u00edmetros, dos segmentos [tex]\\overline{CD}\\;[\/tex] e [tex]\\; \\overline{AD}[\/tex]  e<\/li>\n<li>[tex]\\alpha[\/tex] seja a medida dos \u00e2ngulos [tex]A\\hat{B}C[\/tex] e  [tex]C\\hat{A}D\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, ficamos com a figura mostrada a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob405_1.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"522\" height=\"386\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149258\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob405_1.png 522w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob405_1-300x222.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 522px) 100vw, 522px\" \/><\/p>\n<p>Vamos olhar para os tri\u00e2ngulos [tex] DAB[\/tex] e [tex]DCA[\/tex]: vemos que os \u00e2ngulos [tex]A \\widehat{B}C[\/tex] e [tex]C \\widehat{A}D[\/tex] t\u00eam a mesma medida e o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]D[\/tex] \u00e9 comum aos dois tri\u00e2ngulos. Logo [tex]DAB\\;[\/tex] e [tex]\\;DCA[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes, segundo o <span class=\"c3\"> <strong>Lembrete (1)<\/strong> <\/span>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob405_4.png\" alt=\"\" width=\"794\" height=\"323\" class=\"aligncenter size-full wp-image-151523\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob405_4.png 794w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob405_4-300x122.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob405_4-768x312.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 794px) 100vw, 794px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, pelo <span class=\"c3\"> <strong>Lembrete (2)<\/strong> <\/span>, temos que [tex]\\boxed{\\dfrac{c}{a}=\\dfrac{8}{6}=\\dfrac{7+a}{c}}\\,[\/tex], donde podemos concluir que:<\/p>\n<table style=\"border:0px; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;width:70%;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n[tex]\\qquad \\dfrac{c}{a}=\\dfrac{8}{6}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{c}{a}=\\dfrac{4}{3}\\\\<br \/>\n\\qquad c=\\dfrac{4}{3}\\cdot a\\;.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border-left: solid 2px #800000\">\n[tex]\\qquad \\qquad\\dfrac{8}{6}=\\dfrac{7+a}{c}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\dfrac{4}{3}=\\dfrac{7+a}{c}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 4c=21+3a\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Agora: <\/p>\n<table style=\"border:0px; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;width:70%;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\nSubstituindo [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] em [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  4\\cdot \\dfrac{4}{3}\\cdot a=21+3a [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  16a=63+9a [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  7a=63 [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{a=9\\,cm}\\;. [\/tex]<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border-left: solid 2px #800000\">\nSubstituindo [tex]\\boxed{a=9}\\; [\/tex] em [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], conclu\u00edmos que:<br \/>\n[tex] \\qquad \\qquad c=\\dfrac{4}{3}\\cdot 9 [\/tex]<br \/>\n[tex] \\qquad \\qquad \\boxed{c=12\\,cm}\\,. [\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Finalmente, observando que os lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABD[\/tex] medem [tex]8\\,cm[\/tex], [tex]16\\,cm\\,[\/tex] e [tex]\\,12\\,cm[\/tex], o per\u00edmetro desse tri\u00e2ngulo \u00e9 a soma dessas tr\u00eas medidas, ou seja, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8+16+12=36\\,cm $}\\,. [\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/Um-tri\u00e2ngulo-prolongado.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um tri\u00e2ngulo prolongado.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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