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Relatos hist\u00f3ricos indicam que esse problema foi originalmente proposto por Nicolaus Bernoulli, membro da prestigiosa fam\u00edlia Bernoulli<\/em><\/strong><\/span><\/a>, no s\u00e9c XVIII, e resolvido pelo c\u00e9lebre matem\u00e1tico Leonhard Euler<\/em><\/strong><\/span><\/a>. O que voc\u00ea precisa saber<\/p>\n Para que voc\u00ea entenda sem problemas o que iremos apresentar, voc\u00ea vai precisar de dois objetos e um princ\u00edpio da matem\u00e1tica. Vamos fazer uma brev\u00edssima apresenta\u00e7\u00e3o dos tr\u00eas assuntos e deixaremos indicadas Salas do nosso Blog nas quais voc\u00ea encontrar\u00e1 material que pode ajud\u00e1-lo, caso voc\u00ea queira ou precise aprofundar seu conhecimento. \n A defini\u00e7\u00e3o de fatorial \u00e9 estendida para todos os n\u00fameros naturais, definindo-se [tex]0!=1[\/tex] e [tex]1!=1.[\/tex] Uma propriedade dos fatoriais que utilizaremos com frequ\u00eancia \u00e9 esta:<\/p>\n [tex] \\qquad\\qquad \\dfrac{a!}{b!} = a(a-1)(a-2)\\cdot\\, \\dots\\, \\cdot(b+1)[\/tex] O Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, ou Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, ou simplesmente PFC<\/strong>, \u00e9 a principal t\u00e9cnica para resolu\u00e7\u00e3o de problemas de contagem. Ele assegura que: ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto
\nEsse problema ilustra uma daquelas situa\u00e7\u00f5es nas quais nos perguntamos:
\n – E se der tudo errado? E se nada ocorrer conforme prev\u00edamos? <\/em><\/span>
\nEm An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, situa\u00e7\u00f5es como essas s\u00e3o estudadas utilizando o que a matem\u00e1tica denomina como Permuta\u00e7\u00e3o Ca\u00f3tica<\/strong><\/span>.
\nAqui, vamos explorar um pouco da matem\u00e1tica desse assunto que apresentamos de uma maneira informal na Sala Inicial<\/em><\/strong><\/span><\/a>.\n<\/div>\n
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\nPara acessar as informa\u00e7\u00f5es de um dos quatro tema, clique no bot\u00e3o correspondente.<\/p>\n
\nChamamos de fatorial de [tex]n[\/tex]<\/strong>, e denotamos por [tex]n![\/tex], ao produto dos n\u00fameros naturais consecutivos de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]n[\/tex].
\nAssim:
\n[tex]\\qquad n!=1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\dots \\cdot(n-1) \\cdot n\\,.[\/tex]
\nNote, ent\u00e3o, que o fatorial de [tex]n[\/tex] \u00e9 calculado pela multiplica\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] por todos os seus antecessores, at\u00e9 chegar ao n\u00famero [tex]1[\/tex].<\/p>\n
\nDessa forma, se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural qualquer, ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad n!=\\begin{cases}
\n1,\\text{ se } n=0; \\\\ 1, \\text{ se } n=1; \\\\1 \\cdot 2 \\cdot \\dots \\cdot n, \\text{ se } n\\gt 1. \\end{cases}[\/tex]
\nVamos conferir alguns exemplos? Observe:
\n[tex]\\qquad 4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24[\/tex];
\n[tex]\\qquad 6! = 6\\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 720[\/tex];
\n[tex]\\qquad 8! = 8 \\cdot 7 \\cdot 6\\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 40320[\/tex];
\n[tex]\\qquad 10! = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6\\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 3628800[\/tex];
\n[tex]\\qquad 13! = 13\\cdot 12 \\cdot 11 \\cdot \\cdots \\cdot \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 6227020800[\/tex].<\/p>\n\n
\n ou, de forma equivalente,
\n[tex]\\qquad\\qquad a!=a(a-1)(a-2)\\cdot\\, \\dots\\, \\cdot(b+1)\\cdot b! [\/tex].<\/ul>\n
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\nSe voc\u00ea precisar de mais informa\u00e7\u00f5es sobre fatorial, visite esta Sala<\/em><\/strong><\/span><\/a> do nosso Blog.\n<\/div>\n<\/div>\n
\nSe<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex] <\/p>\n
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\nSe voc\u00ea precisar de mais informa\u00e7\u00f5es sobre este Princ\u00edpio, visite esta Sala<\/em><\/strong><\/span><\/a> do nosso Blog.
\nAgora, se voc\u00ea quiser se descontrair com o PFC, assista a este v\u00eddeo<\/em><\/strong><\/span><\/a>. S\u00f3 n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha depois quem o v\u00eddeo terminar.<\/div>\n<\/div>\n
\nUma permuta\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] objetos \u00e9 uma sequ\u00eancia ordenada desses [tex]n[\/tex] objetos, onde cada um deles aparece uma \u00fanica vez.
\n Em problemas de combinat\u00f3ria, costuma-se chamar de, Permuta\u00e7\u00f5es simples<\/strong> s\u00e3o definidas como maneiras de organizarmos [tex]n[\/tex] objetos distintos em uma fila. O n\u00famero total de permuta\u00e7\u00f5es simples \u00e9 denotado por [tex]P_n[\/tex] e, segue do princ\u00edpio multiplicativo, que [tex]\\boxed{P_n=n!}\\,.[\/tex]
\nVejamos:<\/p>\n\n