{"id":148199,"date":"2020-03-10T01:01:43","date_gmt":"2020-03-10T04:01:43","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=148199"},"modified":"2024-06-24T22:35:57","modified_gmt":"2024-06-25T01:35:57","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-catavento","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-catavento\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um cata-vento"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220743\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"font-size:12px;\">(XII <strong>Concurso de Primavera de Matem\u00e1ticas<\/strong> \u2013 2008)<\/span> Na figura, vemos um cata-vento formado por quatro tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos is\u00f3sceles e um quadrado. Esse cata-vento  foi desenhado no interior de um oct\u00f3gono cuja \u00e1rea mede [tex]56~cm^2[\/tex], de modo que  ele e o oct\u00f3gono ficaram com quatro v\u00e9rtices em comum.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob400_1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"257\" class=\"aligncenter size-full wp-image-138674\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob400_1.png 600w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob400_1-300x129.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p><strong>Quanto mede a \u00e1rea do cata-vento?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit \" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1 <span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"><br \/>\n(Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nInicialmente, observe que o oct\u00f3gono dentro do qual o cata-vento foi desenhado <strong>N\u00c3O \u00c9 REGULAR<\/strong>!<br \/>\nComo o \u00fanico dado num\u00e9rico \u00e9 a \u00e1rea desse oct\u00f3gono, vamos decomp\u00f4-lo em figuras cujas \u00e1reas n\u00f3s conhecemos. Por exemplo, denotando o comprimento em cent\u00edmetros de cada lado do quadrado central por [tex]l[\/tex], podemos decompor o oct\u00f3gono em cinco quadrados de lados com comprimentos [tex]l[\/tex] e quatro tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos is\u00f3sceles cujos catetos medem [tex]l[\/tex] tamb\u00e9m.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_2.png\" style=\"border:none\"alt=\"\" width=\"300\" height=\"299\" class=\"alignright size-full wp-image-148158\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_2.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/>Agora, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>a medida da \u00e1rea de cada quadrado \u00e9 [tex]\\textcolor{#FF6600}{A_q=l^2\\;cm^2}[\/tex];<\/li>\n<li>a medida da \u00e1rea de cada tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]\\textcolor{#00CC00}{A_t=\\dfrac{l^2}{2};cm^2}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como a \u00e1rea do oct\u00f3gono mede  [tex]56~cm^2[\/tex], segue que:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad 56= 5 \\cdot \\textcolor{#FF6600}{A_q}+4\\cdot \\textcolor{#00CC00}{A_t} [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad 56= 5 \\cdot \\textcolor{#FF6600}{l^2}+4\\cdot \\textcolor{#00CC00}{\\dfrac{l^2}{2}} [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad 56= 5 \\cdot l^2+2\\cdot l^2 [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad 56= 7 \\cdot l^2 [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{8= l^2} \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{l= \\sqrt{8}\\, cm}\\;. [\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_5.png\"  style=\"border:none\"alt=\"\" width=\"300\" height=\"296\" class=\"alignright size-full wp-image-148175\" \/><br \/>\nObserve agora que podemos decompor o cata-vento em um quadrado de lados com comprimentos [tex]l[\/tex] e quatro tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos is\u00f3sceles cujos catetos medem [tex]l[\/tex]; dessa forma, a medida [tex]\\textcolor{#7D7DFF}{A_c}[\/tex] da \u00e1rea do cata-vento pode ser assim calculada:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{A_c}=4\\cdot\\textcolor{#00CC00}{A_t}+\\textcolor{#FF6600}{A_q} [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{A_c}=4\\cdot\\textcolor{#00CC00}{\\dfrac{l^2}{2}}+\\textcolor{#FF6600}{l^2} [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{A_c}=2\\cdot l^2+l^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{A_c}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}3\\cdot 8[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{A_c=24\\, cm^2}\\,.[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, a medida da \u00e1rea do cata-vento \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#e3e3ff}{$\\, 24\\, cm^2\\,$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit \" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2 <span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"><br \/>\n(Indicada a partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Nesta segunda solu\u00e7\u00e3o, vamos decompor o oct\u00f3gono em quatorze tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos is\u00f3sceles com catetos medido [tex]l\\, cm[\/tex] cada. Observe que, neste caso, a \u00e1rea do cata-vento corresponde \u00e0 \u00e1rea de seis tri\u00e2ngulos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_8.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"260\" class=\"aligncenter size-full wp-image-148197\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_8.png 600w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob400_8-300x130.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, se denotarmos por [tex]A_o[\/tex], [tex]A_c[\/tex] e [tex]A_t[\/tex] as medidas das \u00e1reas do oct\u00f3gono, do cata-vento e de um tri\u00e2ngulo, respectivamente, temos que [tex]\\dfrac{A_c}{A_o}=\\dfrac{6\\cdot A_t}{14 \\cdot A_t}=\\dfrac{3}{7}[\/tex], ou seja, a medida da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo corresponde a tr\u00eas s\u00e9timos da medida da \u00e1rea do oct\u00f3gono. Assim:<br \/>\n[tex]\\qquad A_c=\\dfrac{3}{7}\\cdot {A_o}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_c=\\dfrac{3}{7}\\cdot 56[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_c=3\\cdot 8=24.[\/tex]<br \/>\nLogo, a medida da \u00e1rea do cata-vento \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#dfd}{$\\, 24\\, cm^2\\,$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Um-m\u00f3dulo-para-atrapalhar.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um m\u00f3dulo para atrapalhar.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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