{"id":148064,"date":"2020-03-07T01:32:17","date_gmt":"2020-03-07T04:32:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=148064"},"modified":"2023-06-10T23:39:26","modified_gmt":"2023-06-11T02:39:26","slug":"probleminha-divertindo-se-na-roda-gigante","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-divertindo-se-na-roda-gigante\/","title":{"rendered":".Probleminha: Divertindo-se na roda gigante"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px\">(Extra\u00eddo de: <strong> An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/strong>, Pl\u00ednio de Oliveira Santos)<\/span> De quantos modos oito casais fixos podem sentar-se em uma roda gigante com oito bancos de dois lugares cada um, sendo que cada casal deve sentar em um banco?  <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:40px;line-height:28px; width:95%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"70\" height=\"84\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> AJUDA 1<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas e<\/li>\n<li> todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 10px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:-10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:40px;line-height:28px; width:95%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"70\" height=\"84\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> AJUDA 2<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Antes de resolvermos o problema proposto, vamos resolver um problema mais simples envolvendo posi\u00e7\u00f5es em uma roda.<br \/>\n<span style=\"color:#FF0000\"><strong>(*)<\/strong><\/span> <strong>Andr\u00e9, Ben\u00e9, Cec\u00e9 e Ded\u00e9 sentam-se em uma mesa circular para colocar o papo em dia. De quantas maneiras diferentes os quatro amigos poderiam se sentar?<\/strong><br \/>\nUm racioc\u00ednio quase imediato para se resolver o problema <span style=\"color:#FF0000\"><strong>(*)<\/strong><\/span> seria este:<\/p>\n<ul>\n<li>Fixado um primeiro lugar na mesa, este poder\u00e1 ser ocupado por qualquer um dos quatro amigos.<\/li>\n<li>O pr\u00f3ximo lugar poder\u00e1 ser ocupado por tr\u00eas dos quatro amigos; afinal um deles j\u00e1 est\u00e1 sentado.<\/li>\n<li>Um terceiro lugar poder\u00e1 ser ocupado por dois dos quatro amigos, pois dois amigos j\u00e1 est\u00e3o sentados.<\/li>\n<li>O \u00faltimo lugar dever\u00e1 ser ocupado pelo \u00fanico amigo que ainda n\u00e3o sentou.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim os amigos poder\u00e3o se sentar de [tex]4 \\times 3 \\times 2 \\times 1=24 [\/tex] maneiras distintas. <strong>Correto?<\/strong><\/p>\n<p class=\"ti2 c3\"> N\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3\u00c3O! <\/p>\n<p>Observe que no problema <span style=\"color:#FF0000\"><strong>(*)<\/strong><\/span> n\u00e3o est\u00e1 em quest\u00e3o algum tipo de referencial que n\u00e3o seja as quatro posi\u00e7\u00f5es que cada amigo ocupar\u00e1 na mesa. Dessa forma, o problema s\u00f3 prev\u00ea a posi\u00e7\u00e3o relativa entre eles e n\u00e3o posi\u00e7\u00f5es que permitam a observa\u00e7\u00e3o de uma porta ou de uma janela ou que diferenciem a cor das cadeiras em que cada amigo ir\u00e1 sentar, por exemplo. Assim, se representarmos cada um dos quatro amigos pela letra inicial de seu nome, devemos considerar que as quatro forma\u00e7\u00f5es abaixo s\u00e3o as mesmas,<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/PERMUTA_03.png\" style=border:none\" alt=\"\" width=\"728\" height=\"172\" class=\"aligncenter size-full wp-image-147758\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/PERMUTA_03.png 728w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/PERMUTA_03-300x71.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 728px) 100vw, 728px\" \/><\/p>\n<table class=\"bf\" style=\"width:80%; padding:10px\">\n<tr>\n<td  class=\"bf\" style=\"width:70%\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>j\u00e1 que os amigos que est\u00e3o sentados \u00e0 direita e \u00e0 esquerda de Andr\u00e9, Ben\u00e9, Cec\u00e9 e Ded\u00e9 s\u00e3o sempre os mesmos em qualquer uma das quatro forma\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li>ao lado de Andr\u00e9 est\u00e3o Ben\u00e9 e Ded\u00e9;<\/li>\n<li>ao lado de Ben\u00e9  est\u00e3o Andr\u00e9 e Cec\u00e9;<\/li>\n<li>ao lado de Cec\u00e9 est\u00e3o Ben\u00e9 e Ded\u00e9;<\/li>\n<li>ao lado de Ded\u00e9 est\u00e3o Andr\u00e9 e Cec\u00e9.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ent\u00e3o, nessa situa\u00e7\u00e3o circular as sequ\u00eancias indicadas por<\/td>\n<td  class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/PERMUTA_02.png\" style=border:none\"  alt=\"\" width=\"177\" height=\"181\" class=\"alignright size-full wp-image-147737\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<ul>\n<li>[tex]A\\,;\\,B\\,;\\,C\\,;\\,D[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]D\\,;\\,A \\,;\\,B\\,;\\,C[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]C\\,;\\,D \\,;\\,A\\,;\\,B[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]B\\,;\\,C\\,;\\,D\\,;\\,A[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>representam uma mesma forma\u00e7\u00e3o e portanto devem ser contadas como uma \u00fanica poss\u00edvel solu\u00e7\u00e3o do problema <span style=\"color:#FF0000\"><strong>(*)<\/strong><\/span> e n\u00e3o como quatro solu\u00e7\u00f5es.<br \/>\nA maneira como contamos o n\u00famero de posi\u00e7\u00f5es em que os quatro ir\u00e3o sentar ([tex]4[\/tex],  [tex]3[\/tex], [tex]2 [\/tex] e [tex]1[\/tex]) caracterizaria a situa\u00e7\u00e3o na qual os amigos se posicionariam em filas. No posicionamento em filas, as quatro sequ\u00eancias indicadas representam situa\u00e7\u00f5es (filas) diferentes, conforme nos mostra a pr\u00f3xima figura.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/PERMUTA_04.png\" style=border:none\" alt=\"\" width=\"197\" height=\"171\" class=\"alignleft size-full wp-image-147783\" \/><\/p>\n<div style=\"margin-left:200px;margin-top:30px\">\n<ul>\n<li>Com a primeira sequ\u00eancia, Andr\u00e9 e Ded\u00e9 s\u00f3 t\u00eam um vizinho;<\/li>\n<li>Com a segunda sequ\u00eancia, Ded\u00e9  e Cec\u00e9 s\u00f3 t\u00eam um vizinho;<\/li>\n<li>Com a terceira sequ\u00eancia, Cec\u00e9 e Ben\u00e9 s\u00f3 t\u00eam um vizinho;<\/li>\n<li>Com a quarta sequ\u00eancia, Ben\u00e9 e Andr\u00e9 s\u00f3 t\u00eam um vizinho.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>\u00c9 importante entender isso para perceber que no c\u00e1lculo que fizemos <strong><em>quadruplicamos <\/em><\/strong> o n\u00famero de situa\u00e7\u00f5es que realmente interessam para a solu\u00e7\u00e3o do problema <span style=\"color:#FF0000\"><strong>(*)<\/strong><\/span>. Portanto, a resposta desse problema \u00e9: <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\dfrac{4 \\times 3 \\times 2 \\times 1}{4}=\\dfrac{24}{4}=6[\/tex], <\/li>\n<\/ul>\n<p>ou, se voc\u00ea sabe o que \u00e9 fatorial de um n\u00famero natural,<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\dfrac {4!}{4}=3!\\,[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Essa sutil observa\u00e7\u00e3o diferencia dois objetos matem\u00e1ticos distintos: &quot;<strong>permuta\u00e7\u00e3o simples<\/strong> &quot; e  &quot;<strong>permuta\u00e7\u00e3o circular<\/strong>&quot;. Em um problema de ordena\u00e7\u00e3o de elementos devemos utilizar:<\/p>\n<ul>\n<li><strong> permuta\u00e7\u00f5es simples<\/strong>, se o problema leva em considera\u00e7\u00e3o os lugares que os elementos v\u00e3o ocupar;<\/li>\n<li> <strong>permuta\u00e7\u00f5es circulares<\/strong>, se o problema leva em considera\u00e7\u00e3o a posi\u00e7\u00e3o relativa que os elementos ocupam entre si.  Nesse caso, duas disposi\u00e7\u00f5es ser\u00e3o consideradas iguais quando elas coincidem depois de feita uma rota\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ul>\n<p>A generaliza\u00e7\u00e3o da nossa observa\u00e7\u00e3o para um conjunto de [tex]n[\/tex] elementos nos garante que:<br \/>\n<span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> O n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es simples dos elementos [tex]a_1,\\, a_2,\\,a_3,\\,\\dots\\, ,\\, a_n\\,[\/tex] \u00e9 dado por:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{P_n=n\\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdot\\, \\cdots \\, 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\,} [\/tex] ou, utilizando fatorial,  [tex]\\boxed{P_n=n!}[\/tex].<br \/>\n<span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> O n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es circulares dos elementos [tex]a_1,\\, a_2,\\,a_3,\\,\\dots\\, ,\\, a_n\\,[\/tex] \u00e9 dado por:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\left(PC\\right)_n=(n-1) \\cdot (n-2) \\cdot\\, \\cdots \\, 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\,} [\/tex] ou, utilizando fatorial,  [tex]\\boxed{\\left(PC\\right)_n=(n-1)!}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Segundo a discuss\u00e3o apresentada na <span class=\"c3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> <strong>AJUDA 2<\/strong><\/span>, podemos sentar os [tex] 8[\/tex]  casais em uma roda gigante de [tex] (8-1)! =7![\/tex]  maneiras distintas. <\/li>\n<li>Entretanto, em cada banco, o casal pode se sentar de [tex]2 [\/tex] maneiras. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, segue do <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, <span class=\"c3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> <strong>AJUDA 1<\/strong><\/span>, que temos um total de [tex]~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7! \\cdot 2^8$} [\/tex] modos de dispormos os oito casais na roda gigante.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Extra\u00eddo de: An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, Pl\u00ednio de Oliveira Santos) De quantos modos oito casais fixos podem sentar-se em uma roda gigante com oito bancos de dois lugares cada um, sendo que cada casal deve sentar em um banco? AJUDA 1 Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-divertindo-se-na-roda-gigante\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":732,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-148064","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/148064","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/732"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=148064"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/148064\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194265,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/148064\/revisions\/194265"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=148064"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}