{"id":147121,"date":"2020-03-10T00:31:15","date_gmt":"2020-03-10T03:31:15","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=147121"},"modified":"2024-06-23T07:15:08","modified_gmt":"2024-06-23T10:15:08","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-mais-um-estranho-numero-racional","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-mais-um-estranho-numero-racional\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Mais um estranho n\u00famero racional&#8230;"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220683\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sabemos que o n\u00famero [tex]\\boxed{a=5,37241241241\\cdots241 \\cdots}[\/tex] \u00e9 denominado uma <strong><em>d\u00edzima peri\u00f3dica composta<\/em><\/strong> e pode ser escrito como [tex]a=5,37\\overline{241}.[\/tex]<br \/>\nEmbora pare\u00e7a um pouco estranho,<br \/>\n<span style=\"color:#800000; padding-left:40px;\">&#9658;<\/span><strong> [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Verifique a veracidade dessa afirma\u00e7\u00e3o, determinando n\u00fameros naturais [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex], primos entre si, tais que [tex]a=\\dfrac{m}{n}.[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size:12px\">(S\u00f3 para lembrar, a fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{m}{n}[\/tex] que voc\u00ea determinou \u00e9 conhecida como uma geratriz da d\u00edzima [tex]5,37\\overline{241}.[\/tex])<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"font-size:12px; line-height:25px;\">(Talvez voc\u00ea esteja pensando com seus bot\u00f5es: &#8211; <em><strong>Como \u00e9 mesmo a f\u00f3rmula da geratriz de uma d\u00edzima?<\/strong><\/em><br \/>\nBem, esse \u00e9 um dos problemas de a gente se limitar apenas a decorar f\u00f3rmulas matem\u00e1ticas: mais cedo ou mais tarde a gente se esquece delas&#8230;)<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\nO desconforto de trabalharmos com n\u00fameros com infinitos d\u00edgitos \u00e9 que n\u00e3o conseguimos sequer escrev\u00ea-los e, portanto, n\u00e3o trabalhamos especificamente com eles e sim com aproxima\u00e7\u00f5es deles! Mas nas d\u00edzimas, os infinitos d\u00edgitos se repetem periodicamente e isso possibilita que a gente se desfa\u00e7a deles rapidamente e consiga trabalhar com os pr\u00f3prios n\u00fameros, e n\u00e3o com aproxima\u00e7\u00f5es. Como? Transformando as chamadas d\u00edzimas em fra\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<ul>\n<li><strong> Para isso, basta produzir, a partir da d\u00edzima em quest\u00e3o, duas d\u00edzimas com o mesmo per\u00edodo de tal forma que em ambas esse per\u00edodo venha imediatamente ap\u00f3s a v\u00edrgula e, em seguida, fazer a diferen\u00e7a entre elas.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>No nosso caso, observe que podemos produzir essas duas d\u00edzimas com mesmo per\u00edodo deslocando a v\u00edrgula, por exemplo, duas e cinco casas decimais \u00e0 direita. Para isso, vamos multiplicar [tex]a[\/tex] por [tex]10^2[\/tex] e [tex]10^5[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad 10^2 \\times a=10^2 \\times 5,37241241241\\cdots241 \\cdots = 537,241241241\\cdots 241 \\cdots\\\\<br \/>\n\\qquad 10^5 \\times a=10^5 \\times 5,37241241241\\cdots 241 \\cdots = 537241,241241\\cdots 241 \\cdots\\, \\,\\,.[\/tex]<br \/>\nAgora, vamos fazer a diferen\u00e7a positiva entre as duas d\u00edzimas obtidas:<br \/>\n[tex]\\;10^5 \\times a- 10^2 \\times a= 537241,\\boxed{\\,241241\\cdots 241 \\cdots\\,}- 537,\\boxed{\\,241241241\\cdots 241 \\cdots}\\\\<br \/>\n\\;\\left(10^5 &#8211; 10^2 \\right)\\times a=\\left[537241+\\left(0,241241\\cdots 241 \\cdots\\,\\right)\\right]-\\left[537+\\left(0,241241\\cdots 241 \\cdots\\right)\\,\\right]\\\\<br \/>\n\\;99900 \\times a=537241-537\\\\<br \/>\n\\;~\\boxed{a=\\dfrac{536704}{99900}}\\,.[\/tex]<br \/>\nObserve que, de fato [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional, j\u00e1 que [tex]a[\/tex] \u00e9 uma raz\u00e3o entre n\u00fameros inteiros, com o segundo n\u00e3o nulo.<br \/>\nVamos, agora, simplificar a fra\u00e7\u00e3o obtida, para escrevermos [tex]a[\/tex] com o numerador e o denominador primos entre si:<br \/>\n[tex]\\qquad a=\\dfrac{\\cancelto{2}{536704}}{\\cancelto{2}{99900}}=\\dfrac{\\cancelto{2}{268352}}{\\cancelto{2}{49950}}=~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{134176}{24975}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Mais-um-estranho-n\u00famero-racional.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Mais um estranho n\u00famero racional.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Sabemos que o n\u00famero [tex]\\boxed{a=5,37241241241\\cdots241 \\cdots}[\/tex] \u00e9 denominado uma d\u00edzima peri\u00f3dica composta e pode ser escrito como [tex]a=5,37\\overline{241}.[\/tex] Embora pare\u00e7a um pouco estranho, &#9658; [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional. Verifique a veracidade dessa &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-mais-um-estranho-numero-racional\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-147121","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/147121","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=147121"}],"version-history":[{"count":69,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/147121\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220688,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/147121\/revisions\/220688"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=147121"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}