{"id":147119,"date":"2020-03-10T00:52:45","date_gmt":"2020-03-10T03:52:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=147119"},"modified":"2024-06-24T22:27:54","modified_gmt":"2024-06-25T01:27:54","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-angulo-em-um-quadrado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-angulo-em-um-quadrado\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um \u00e2ngulo em um quadrado"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(XXXII OPM <\/strong>– 2014) Em um quadrado [tex]ABCD[\/tex], [tex] M[\/tex] e [tex]N[\/tex] s\u00e3o pontos dos lados [tex]\\overline{AD}~ [\/tex] e [tex]~\\overline{CD}[\/tex], respectivamente, tais que os \u00e2ngulos [tex]B\\hat{M}A[\/tex] e [tex]N\\hat{M}D[\/tex] medem [tex]60^\\circ.[\/tex]
\nCalcule a medida do \u00e2ngulo [tex]M\\hat{B}N.[\/tex]<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda para a Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\"definindo1\" ✐ <\/span>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a,\\, b,\\, h[\/tex], respectivamente. Seja [tex]\\theta[\/tex] a medida em graus de um dos \u00e2ngulos agudos desse tri\u00e2ngulo, [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].
\nChamamos de cosseno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]cos\\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa: [tex]\\boxed{ cos\\, \\theta= \\dfrac{b}{h}}.[\/tex]
\n ✐ <\/span> No estudo da trigonometria, alguns \u00e2ngulos s\u00e3o bastante utilizados e devido \u00e0 frequ\u00eancia com que eles surgem em problemas e \u00e0 import\u00e2ncia que eles t\u00eam para a Geometria s\u00e3o denominados \u00e2ngulos not\u00e1veis <\/strong> ou \u00e2ngulos especiais<\/strong> ou, ainda, \u00e2ngulos fundamentais<\/strong>. S\u00e3o eles os \u00e2ngulos com medidas iguais a: [tex]30^\\circ[\/tex], [tex] 45^{\\circ} [\/tex] e [tex]60^\\circ[\/tex]. Os cossenos desses \u00e2ngulos s\u00e3o:
\n[tex] \\qquad \\qquad cos\\, 30^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\quad ; \\quad cos\\, 45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\quad ;\\quad cos\\, 60^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}[\/tex].
\n ✐ <\/span> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. pelo caso L.A.L.<\/strong>. (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de congru\u00eancia entre tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/a><\/strong>.)<\/span>.
\n ✐ <\/span>A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n ✐ <\/span> Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\n

Prolonguemos os lados [tex]\\overline{BA}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex], de modo que [tex]D[\/tex] e [tex]A[\/tex] sejam os pontos m\u00e9dios dos segmentos prolongados [tex]\\overline{EC}[\/tex] e [tex]\\overline{FB}[\/tex], respectivamente, conforme ilustra a figura a seguir. Observe que, como [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadrado, ent\u00e3o [tex]ADEF[\/tex] tamb\u00e9m o \u00e9. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como os tri\u00e2ngulos [tex]ABM[\/tex] e [tex] AFM[\/tex] t\u00eam um \u00e2ngulo reto, um lado comum e um lado com mesmo comprimento, eles s\u00e3o congruentes. Dessa forma, os \u00e2ngulos [tex]B\\hat MA[\/tex] e [tex]A \\hat M F[\/tex] t\u00eam a mesma medida: [tex]60^\\circ[\/tex], e com isso, conclu\u00edmos que nos pontos [tex]F,M[\/tex] e [tex]N[\/tex] s\u00e3o colineares.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Com isso, a medida do \u00e2ngulo [tex]M\\hat F A[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ-90^\\circ-60^\\circ=30^\\circ[\/tex] e, consequentemente, a medida de [tex]E\\hat F N[\/tex] \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\boxed{90^\\circ-30^\\circ=\\color{#FF00FF}{60^\\circ}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Observe o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]FEN[\/tex] e veja que
\n[tex]\\qquad \\qquad cos\\left(N\\hat F E \\right)=\\dfrac{1}{2}=cos\\, 60^\\circ=\\dfrac{EF}{FN}[\/tex];
\nassim, segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad FN=2EF=2FA=FB.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, conclu\u00edmos que o tri\u00e2ngulo [tex]FNB[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e, com isso obtemos que a medida do \u00e2ngulo [tex]F\\hat B N [\/tex] \u00e9:
\n [tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{180^\\circ-30^\\circ}{2}=\\color{#0000FF}{75^\\circ}\\,} .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Por outro lado, observando o tri\u00e2ngulo [tex]BMA[\/tex], podemos concluir que a medida do \u00e2ngulo [tex]FBM[\/tex] \u00e9:
\n [tex]\\qquad \\boxed{180^\\circ-30^\\circ-\\left(60^\\circ+60^\\circ\\right)=\\color{#009900}{30^\\circ}\\,} .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Finalmente, temos que a medida [tex]\\textcolor{#FF0000}{\\theta}[\/tex], em graus, do \u00e2ngulo [tex]M\\hat{B}N[\/tex] \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#FF0000}{\\theta}=75^\\circ-30^\\circ = \\fcolorbox{black}{#ffd3d3}{$45^\\circ$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda para a Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\"definindo1\" (1)<\/strong> <\/span>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a,\\, b,\\, h[\/tex], respectivamente. Seja [tex]\\theta[\/tex] a medida em graus de um dos \u00e2ngulos agudos desse tri\u00e2ngulo, [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].
\nChamamos de tangente de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]tg\\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex]: [tex]\\boxed{ tg\\, \\theta= \\dfrac{a}{b}}.[\/tex]
\n (2)<\/strong> <\/span> No estudo da trigonometria, alguns \u00e2ngulos s\u00e3o bastante utilizados e devido \u00e0 frequ\u00eancia com que eles surgem em problemas e \u00e0 import\u00e2ncia que eles t\u00eam para a Geometria s\u00e3o denominados \u00e2ngulos especiais<\/strong> ou \u00e2ngulos fundamentais<\/strong>. S\u00e3o eles os \u00e2ngulos com medidas iguais a: [tex]30^\\circ[\/tex], [tex] 45^{\\circ} [\/tex] e [tex]60^\\circ[\/tex]. As tangentes desses \u00e2ngulos s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad tg\\, 30^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} \\quad ; \\quad tg\\, 45^{\\circ}=1\\quad; \\quad tg\\, 60^{\\circ}=\\sqrt{3}[\/tex]
\ne, em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, esses tr\u00eas \u00e2ngulos s\u00e3o os \u00fanicos \u00e2ngulos que possuem tais tangentes.
\n (3)<\/strong> <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n ✐ <\/span> Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].\n<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2
\n (Indicada a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span> <\/p>\n

\n

\n

Vamos fazer uma figura inicial contendo os dados do problema e as medidas dos \u00e2ngulos [tex]A \\hat B M[\/tex], [tex]M \\hat N D[\/tex] e [tex]N \\hat M B[\/tex], obtidas utilizando a Ajuda (3)<\/strong> <\/span> e o fato de os pontos [tex]A[\/tex], [tex]M[\/tex] e [tex]D[\/tex] serem colineares. Na figura, denotamos as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]M \\hat B N[\/tex] e [tex]N \\hat B C[\/tex] por [tex]\\theta[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex], respectivamente.<\/p>\n

<\/p>\n

Agora, aplicando a defini\u00e7\u00e3o dada na Ajuda (1)<\/strong> <\/span> aos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]MAB[\/tex], [tex]NDM[\/tex] e [tex]BCN[\/tex], utilizando a Ajuda (2)<\/strong><\/span> e denotando o comprimento dos lados do quadrado [tex]ABCD[\/tex] por [tex]l[\/tex] segue que:<\/p>\n\n\n
(a)<\/strong>
\n[tex]\\;\\sqrt{3}=tg\\, 60^\\circ= \\dfrac{AB}{MA}\\\\
\n\\; MA=\\dfrac{AB}{\\sqrt{3}} \\\\
\n\\; MA=\\dfrac{l}{\\sqrt{3}}. \\qquad\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nAssim,
\n[tex]\\; DA=DM+MA\\\\
\n\\; DM=DA-MA\\\\
\n\\; DM\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}l-\\dfrac{l}{\\sqrt{3}}.\\quad\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]\n<\/td>\n		(b)<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\sqrt{3}=tg\\, 60^\\circ= \\dfrac{DN}{DM}\\\\
\n\\qquad DN=DM \\cdot\\sqrt{3}\\,.\\\\
\n\\,[\/tex]
\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\; DN=\\left(l-\\dfrac{l}{\\sqrt{3}}\\right)\\cdot\\sqrt{3}\\\\
\n\\; DN=\\sqrt{3}\\,\\,l-l. \\quad\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/p>\n

\n

Dessa forma,
\n[tex]\\; DC=DN+NC\\\\
\n\\; NC=DC-DN\\\\
\n\\; NC\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}l-\\left(\\sqrt{3}\\,\\,l-l\\right)\\\\
\n\\; NC=2l-\\sqrt{3}\\,\\,l.\\quad\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]\n<\/td>\n

(c)<\/strong>
\n[tex]\\; tg\\, \\alpha= \\dfrac{NC}{CB}\\\\
\n\\; tg\\, \\alpha\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(iv)}}{=} \\dfrac{2l-\\sqrt{3}\\,\\,l}{l}\\\\
\n\\; tg\\, \\alpha=2-\\sqrt{3}. \\quad\\textcolor{#800000}{(v)}
\n[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Observe que
\n[tex]\\qquad \\alpha+\\theta+30^\\circ=90^\\circ[\/tex];
\nlogo,
\n[tex]\\qquad \\alpha+\\theta=60^\\circ[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad tg\\left(\\alpha+\\theta\\right)=tg\\, 60^\\circ=\\sqrt{3}[\/tex].
\nDessa forma, utilizando a f\u00f3rmula da tangente da soma e a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex], obtemos que:
\n[tex]\\qquad tg\\left(\\alpha+\\theta\\right)=\\sqrt{3}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{tg\\, \\alpha+tg\\, \\theta}{1-tg\\,\\alpha \\cdot tg\\, \\theta}=\\sqrt{3}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{\\left(2-\\sqrt{3}\\right)+tg\\, \\theta}{1-\\left(2-\\sqrt{3}\\right) \\cdot tg\\, \\theta}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(v)}}{=}\\sqrt{3}\\\\
\n\\qquad 2-\\sqrt{3}+tg\\, \\theta=\\sqrt{3}\\cdot\\left(1-2\\,tg\\,\\theta+\\sqrt{3}\\, tg\\, \\theta\\right)\\\\
\n\\qquad 2-\\sqrt{3}+tg\\, \\theta=\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}\\,tg\\,\\theta+3\\, tg\\, \\theta\\\\
\n\\qquad 2-\\sqrt{3}-\\sqrt{3}=-2\\sqrt{3}\\,tg\\,\\theta+3\\, tg\\, \\theta-tg\\, \\theta\\\\
\n\\qquad 2-2\\sqrt{3}=2\\, tg\\, \\theta-2\\sqrt{3}\\,tg\\,\\theta\\\\
\n\\qquad 2-2\\sqrt{3}=tg\\, \\theta\\cdot \\left(2-2\\sqrt{3}\\right)\\\\
\n\\qquad\\cancel{ 2-2\\sqrt{3}}=tg\\, \\theta\\cdot \\cancel{ \\left(2-2\\sqrt{3}\\right)}\\\\
\n\\qquad \\boxed{tg\\,\\theta=1}\\,.[\/tex]
\nAssim, pela observa\u00e7\u00e3o final da Ajuda (2)<\/strong><\/span>, conclu\u00edmos finalmente que a medida do \u00e2ngulo [tex]M\\hat{B}N[\/tex] \u00e9 [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#ffd3d3}{$45^\\circ$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) (XXXII OPM – 2014) Em um quadrado [tex]ABCD[\/tex], [tex] M[\/tex] e [tex]N[\/tex] s\u00e3o pontos dos lados [tex]\\overline{AD}~ [\/tex] e [tex]~\\overline{CD}[\/tex], respectivamente, tais que os \u00e2ngulos [tex]B\\hat{M}A[\/tex] e [tex]N\\hat{M}D[\/tex] medem [tex]60^\\circ.[\/tex] Calcule a … <\/p>\n

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