{"id":145900,"date":"2020-02-03T22:52:31","date_gmt":"2020-02-04T00:52:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=145900"},"modified":"2024-06-23T07:05:10","modified_gmt":"2024-06-23T10:05:10","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-subconjuntos-com-tres-elementos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-subconjuntos-com-tres-elementos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Subconjuntos com tr\u00eas elementos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220677\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Medio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p> Dado o conjunto <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]A = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6,  8, 9, 11, 12, 13, 14, 15,  17, 18, 19, 20\\}[\/tex], <\/li>\n<\/ul>\n<p>quantos subconjuntos com tr\u00eas elementos podem ser formados de maneira que a soma dos tr\u00eas elementos seja um n\u00famero par?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:28px; width:95%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"90\" height=\"108\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Ajuda <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma <strong><em>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de  agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{, com } n,r\\in\\mathbb{N^*} \\text{ e  } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para duas decis\u00f5es<\/strong>:<br \/>\nSe uma decis\u00e3o <strong>A<\/strong> pode ser tomada de [tex] m [\/tex] maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o <strong>A<\/strong>, uma decis\u00e3o <strong>B<\/strong> puder ser tomada de [tex] n [\/tex] maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es <strong>A<\/strong> e <strong>B<\/strong> \u00e9 igual a [tex]~\\boxed{ m \\times n}\\, . [\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 10px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><strong>Princ\u00edpio Aditivo, para duas decis\u00f5es<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas e<\/li>\n<li> essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha da outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que as duas decis\u00f5es podem ser tomadas uma de cada vez \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1+ m_2 }\\, .[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:-10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:32px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sabemos que a paridade da soma no conjunto dos n\u00fameros naturais \u00e9 definida de acordo com a tabela abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/prob392.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"106\"  class=\"aligncenter size-full wp-image-145912\" \/><\/p>\n<p>Assim, para que a soma de tr\u00eas n\u00fameros naturais seja um n\u00famero par uma das seguintes situa\u00e7\u00f5es deve ocorrer:<\/p>\n<ul>\n<li>os tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o pares ([tex]par+par+par=par[\/tex]);<\/li>\n<li>dois n\u00fameros s\u00e3o \u00edmpares e o outro \u00e9 par ([tex]\u00edmpar+\u00edmpar+par=par[\/tex]).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, os subconjuntos considerados no enunciado podem ser definidos de duas maneiras independentes. Vamos contar separadamente a quantidade de subconjuntos de cada tipo:<\/p>\n<ul>\t<span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> <strong>Subconjuntos formados por tr\u00eas n\u00fameros pares<\/strong><br \/>\nNeste caso, vamos escolher [tex]3[\/tex] dentre os [tex]8[\/tex] elementos do conjunto [tex]A[\/tex], sem nos importarmos com a ordem em que eles ser\u00e3o escolhidos. A quantidade [tex]m_1[\/tex] de escolhas que podemos fazer \u00e9, portanto, uma <strong><em>Combina\u00e7\u00e3o Simples<\/em><\/strong> de [tex]8[\/tex] elementos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad m_1=C_8^3=\\dfrac{8!}{(8-3)!\\,3!}=\\dfrac{8!}{5!\\,3!}=\\dfrac{8 \\times 7 \\times 6} {3 \\times 2 \\times 1}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1=56}\\,.[\/tex]<br \/>\n<span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> <strong>Subconjuntos formados por dois n\u00fameros \u00edmpares e um par<\/strong><br \/>\nVamos escolher [tex]2[\/tex] dentre os [tex]9[\/tex] \u00edmpares do conjunto [tex]A[\/tex], sem nos importarmos com a ordem em que eles ser\u00e3o escolhidos; assim, a quantidade dessas escolhas \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad C_9^2=\\dfrac{9!}{(9-2)!\\,2!}=\\dfrac{9!}{7!\\,2!}=\\dfrac{9 \\times 8 } { 2 \\times 1}=36.[\/tex]<br \/>\nComo a escolha do \u00fanico par pode ser feita de [tex]8[\/tex] maneiras, o <em><strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong><\/em> nos garante que a quantidade [tex]m_2[\/tex] de escolhas simult\u00e2neas de  dois \u00edmpares e um \u00fanico par \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_2=36 \\times 8=288}\\,.[\/tex]<\/ul>\n<p>Finalmente, o <strong><em>Princ\u00edpio Aditivo<\/em><\/strong> nos assegura que a quantidade [tex] M[\/tex] de subconjuntos de [tex]M[\/tex] com tr\u00eas elementos cuja soma seja um n\u00famero par \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad M=m_1+m_2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad M=56+288[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$M=344$}\\,. [\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Subconjuntos-com-tr\u00eas-elementos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Subconjuntos com tr\u00eas elementos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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