Problema \n (Geometry Problems and Solutions From Mathematical Olympiads<\/strong> – Adaptado) Considere o pent\u00e1gono regular [tex]ABCDE[\/tex] e a estrela [tex]EBDAC[\/tex] que possui \u00e1rea igual a [tex]1[\/tex]. Sejam [tex]P[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AD}[\/tex] e [tex]\\overline{BE}[\/tex] e [tex]Q[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{BD}[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex]. <\/p>\n Calcule a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]APQC[\/tex].<\/strong><\/p>\n \n<\/div>\n \n Ajuda<\/p>\n \n (1)<\/strong><\/span> A medida em graus de cada \u00e2ngulo interno de um pent\u00e1gono regular \u00e9 [tex] 108^\\circ \\, .[\/tex] (Se precisar, visite esta Sala<\/strong><\/a>.)<\/span> \n<\/div>\n \n Problema \n Inicialmente, notemos que as diagonais do pent\u00e1gono regular dividem cada \u00e2ngulo interno em tr\u00eas \u00e2ngulos congruentes. Para ilustrar esse fato, considere por exemplo o \u00e2ngulo [tex]B[\/tex] do nosso pent\u00e1gono regular.<\/p>\n [tex]\\qquad \\alpha=\\dfrac{180^\\circ-108^\\circ}{2}=36^\\circ \\, .\\\\ \\,[\/tex] Considerando todas as diagonais do pent\u00e1gono [tex]ABCDE[\/tex], conclu\u00edmos que os tri\u00e2ngulos [tex]TAB[\/tex], [tex]RBC[\/tex], [tex]QCD[\/tex], [tex]UDE[\/tex] e [tex]PEA[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles e congruentes. Dessa forma, [tex]AT=TB=BR=RC=CQ=QD=UD=UE=PE=PA[\/tex] e, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos [tex]ATP[\/tex], [tex]BRT[\/tex], [tex]CQR[\/tex], [tex]DUQ[\/tex] e [tex]EPU[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles e congruentes, de acordo com o Lembrete (3)<\/strong><\/span>. Consequentemente, esses tri\u00e2ngulos possuem a mesma \u00e1rea, a qual denotaremos por [tex]S_1[\/tex].<\/p>\n Observamos que o tri\u00e2ngulo [tex]PRQ[\/tex] tamb\u00e9m tem \u00e1rea [tex]S_1[\/tex]. Para justificar essa afirma\u00e7\u00e3o, vamos mostrar que o tri\u00e2ngulo [tex]RPQ[\/tex] \u00e9 congruente ao tri\u00e2ngulo [tex]RCQ[\/tex].<\/p>\n Assim, o tri\u00e2ngulo [tex]RPQ[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles de base [tex]\\overline{RQ}[\/tex] e [tex]\\lt R\\hat{P}Q\\gt=36^{\\circ}[\/tex]. Pelo Lembrete (4)<\/strong><\/span>, temos que os tri\u00e2ngulos [tex]RPQ[\/tex] e [tex]RCQ[\/tex] s\u00e3o congruentes. Logo, o tri\u00e2ngulo [tex]PRQ[\/tex] tem \u00e1rea [tex]S_1[\/tex].<\/p>\n Como o tri\u00e2ngulo [tex]RPQ[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles de base [tex]\\overline{RQ}[\/tex], temos que [tex]PR=PQ[\/tex]. Na figura acima, os tri\u00e2ngulos [tex]TPR[\/tex] e [tex]UPQ[\/tex] s\u00e3o congruentes, pelo Lembrete (4)<\/strong><\/span>, e possuem mesma \u00e1rea, que denotaremos por [tex]S_2[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Geometry Problems and Solutions From Mathematical Olympiads – Adaptado) Considere o pent\u00e1gono regular [tex]ABCDE[\/tex] e a estrela [tex]EBDAC[\/tex] que possui \u00e1rea igual a [tex]1[\/tex]. Sejam [tex]P[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AD}[\/tex] e [tex]\\overline{BE}[\/tex] e [tex]Q[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{BD}[\/tex] e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Pent\u00e1gono.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(2)<\/strong><\/span> A soma dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(3)<\/strong><\/span> Se dois lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais a dois lados de outro tri\u00e2ngulo e os \u00e2ngulos internos definidos por esses lados s\u00e3o congruentes, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes pelo caso L.A.L.<\/strong>.
\n (H\u00e1 uma Sala de Ajuda<\/strong><\/a> sobre semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos no nosso Blog!)<\/span>
\n(4)<\/strong><\/span> Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo e os lados definidos entre esses dois \u00e2ngulos s\u00e3o congruentes, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes pelo caso A.L.A.<\/strong>.
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de congru\u00eancia entre tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/a><\/strong>.)<\/span>
\nNota\u00e7\u00f5es:<\/strong><\/span>
\n– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]
\n– Denotaremos a medida de um \u00e2ngulo [tex]X \\hat YZ[\/tex] por [tex]\\lt X \\hat YZ\\gt.[\/tex]<\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n\n
\nComo o \u00e2ngulo [tex]A \\hat B C[\/tex] mede tamb\u00e9m [tex] 108^\\circ \\, [\/tex] e os \u00e2ngulos [tex]A \\hat B E[\/tex] e [tex]D \\hat B C[\/tex] medem [tex] 36^\\circ \\, [\/tex] cada, a medida do \u00e2ngulo [tex]E \\hat B D[\/tex] \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad 108^\\circ-36^\\circ \\,-36^\\circ \\,=36^\\circ .[\/tex]<\/ul>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Pent\u00e1gono-5.png\")
\nPara encontrar a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]APQC[\/tex], vamos considerar [tex]R[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex], [tex]T[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BE}[\/tex], [tex]U[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AD}[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex] e o segmento [tex]\\overline{PR}[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Pent\u00e1gono-2.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Pent\u00e1gono-6.png\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Pent\u00e1gono-7.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Pent\u00e1gono-4.png\")
\nFinalmente, j\u00e1 podemos calcular a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]APQC[\/tex], que denotaremos por [tex]A_{APQC}[\/tex]. Para isso, observe que:
\n– a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]APQC[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{3S_1+S_2}[\/tex] e
\n– a \u00e1rea da estrela [tex]EBDAC[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{6S1+2S_2}[\/tex];
\nassim, como [tex]\\boxed{6S1+2S_2=1}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad A_{APQC}=3S_1+S_2[\/tex]
\n[tex]\\qquad A_{APQC}=\\dfrac{6S_1+2S_2}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad A_{APQC}=\\dfrac{1}{2}.[\/tex]
\nPortanto, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]APQC[\/tex] \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{2}$}\\, [\/tex] unidade de \u00e1rea.<\/p>\n
\n