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Problema \n (Olimp\u00edada Cearense de Matem\u00e1tica<\/strong> 1992 \u2013 Ensino Fundamental – Adaptado) <\/span> Determine todos os valores reais [tex]x, y\\, [\/tex] e [tex]\\, z[\/tex] que satisfazem \u00e0 igualdade [tex]\\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[\/tex].<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Passando todos os termos da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[\/tex] para o primeiro membro, segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Olimp\u00edada Cearense de Matem\u00e1tica 1992 \u2013 Ensino Fundamental – Adaptado) Determine todos os valores reais [tex]x, y\\, [\/tex] e [tex]\\, z[\/tex] que satisfazem \u00e0 igualdade [tex]\\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Passando todos os termos da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[\/tex] para o primeiro membro, segue que: [tex]\\qquad 3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=0[\/tex] [tex]\\qquad x^2+x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2=0[\/tex] [tex]\\qquad … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\n[tex]\\qquad 3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2+x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2+(x-y)^2+(x-z)^2=0\\,[\/tex] .
\nComo cada um dos tr\u00eas quadrados que aparecem na \u00faltima igualdade \u00e9 maior ou igual a zero, a soma deles s\u00f3 ser\u00e1 zero se cada um for zero. Assim, temos que
\n[tex]\\qquad x^2=0\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\,(x-y)^2=0\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\, (x-z)^2=0[\/tex];
\nportanto:
\n[tex]\\qquad x=0\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\,x=y\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\,x=z\\,\\,[\/tex].
\nLogo, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=y=z=0$}\\, [\/tex] \u00e9 a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o real da equa\u00e7\u00e3o dada.<\/p>\n
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