Problema Considere o trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex] cujas bases [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex] medem [tex]5\\;cm[\/tex] e [tex]3\\;cm[\/tex], respectivamente. As diagonais [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex] interceptam-se no ponto [tex]O[\/tex]. Calcule a raz\u00e3o entre as \u00e1reas do tri\u00e2ngulo [tex]ABO[\/tex] e do trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex]. \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Nota\u00e7\u00f5es:<\/strong> Assim, Notemos que [tex]\\Delta AOB[\/tex] e [tex]\\Delta AOD[\/tex] possuem a mesma altura em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s suas bases [tex]\\overline{OB}[\/tex] e [tex]\\overline{OD}[\/tex], respectivamente. Logo, suas \u00e1reas s\u00e3o proporcionais \u00e0s suas bases. Pela semelhan\u00e7a de [tex]\\Delta AOB[\/tex] e [tex]\\Delta COD[\/tex] tem-se: \n Vamos observar os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta ADC[\/tex] e [tex]\\Delta BCD[\/tex]. <\/p>\n Eles possuem a mesma base [tex]\\overline{CD}[\/tex] e a mesma altura (altura do trap\u00e9zio). Assim, [tex]A(\\Delta ADC)=A(\\Delta BCD).[\/tex] Observe agora que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Considere o trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex] cujas bases [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex] medem [tex]5\\;cm[\/tex] e [tex]3\\;cm[\/tex], respectivamente. As diagonais [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex] interceptam-se no ponto [tex]O[\/tex]. Calcule a raz\u00e3o entre as \u00e1reas do tri\u00e2ngulo [tex]ABO[\/tex] e do trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Nota\u00e7\u00f5es: (1) Vamos denotar o tri\u00e2ngulo formado pelos … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Trap\u00e9zio.png\")
<\/p>\n<\/div>\n
\n
\n(1)<\/strong> Vamos denotar o tri\u00e2ngulo formado pelos v\u00e9rtices, digamos, [tex]X, Y[\/tex] e [tex]Z[\/tex] por [tex]\\Delta XYZ[\/tex] e sua \u00e1rea por [tex]A(\\Delta XYZ)[\/tex].
\n(2)<\/strong> A \u00e1rea do trap\u00e9zio [tex]ABCD[\/tex] denotaremos por [tex]A(ABCD)[\/tex].
\n(3)<\/strong> O segmento definidos pelos pontos, digamos, [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] ser\u00e1 denotado por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e, seu comprimento, por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n
\nObserve que os pares de \u00e2ngulos "[tex]B\\hat D C[\/tex] e [tex]D\\hat BA[\/tex]" e "[tex]D\\hat CA[\/tex] e [tex]C\\hat AB[\/tex]" s\u00e3o alternos internos e, portanto, os \u00e2ngulos de cada par t\u00eam a mesma medida. (Precisa relembrar esse conceito? D\u00ea uma passadinha nesta Sala<\/strong><\/a>.)<\/span>
\nDessa forma, pelo caso de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos A.A. (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo) <\/strong> (Para recordar casos de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, visite esta Sala<\/strong><\/a>)<\/span> temos que [tex]\\Delta AOB[\/tex] e [tex]\\Delta COD[\/tex] s\u00e3o semelhantes. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Trap\u00e9zio-2.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{CO}{AO}=\\dfrac{DO}{BO}=\\dfrac{CD}{AB}=\\dfrac{3}{5}.\\;\\;\\;\\;\\; [\/tex]
\nE como a raz\u00e3o entre as \u00e1reas de dois tri\u00e2ngulos semelhantes \u00e9 dada pelo quadrado da raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre eles, temos que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{A(\\Delta COD)}{A(\\Delta AOB)}=\\bigg(\\dfrac{3}{5}\\bigg)^2.\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Trap\u00e9zio-5.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{A(\\Delta AOD)}{A(\\Delta AOB)}=\\dfrac{OD}{OB}=\\dfrac{3}{5}.\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Trap\u00e9zio-3.png\")
<\/p>\n
\nDa mesma maneira, [tex]A(\\Delta ABD)=A(\\Delta ABC).[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Trap\u00e9zio-4.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad A(\\Delta ABD)=A(\\Delta AOB)+A(\\Delta AOD)[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\qquad A(\\Delta ABC)=A(\\Delta AOB)+A(\\Delta BCO)[\/tex];
\nlogo,
\n[tex]\\qquad \\qquad A(\\Delta ADO)=A(\\Delta BCO).\\;\\;\\;\\;\\;\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nAssim, temos que:
\n[tex]\\qquad \\qquad A(ABCD)=A(\\Delta AOB)+A(\\Delta BCO)+A(\\Delta COD)+A(\\Delta AOD)[\/tex]
\ne da igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] conclu\u00edmos que:
\n[tex]\\qquad \\qquad A(ABCD)=A(\\Delta AOB)+2\\cdot A(\\Delta AOD)+A(\\Delta COD).[\/tex]
\nDe [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] obtemos
\n[tex]\\qquad \\qquad A(ABCD)=A(\\Delta AOB)+2\\cdot \\dfrac{3}{5}A(\\Delta AOB)+\\bigg(\\dfrac{3}{5}\\bigg)^2A(\\Delta AOB).[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad A(ABCD)=A(\\Delta AOB)\\bigg(1+2\\cdot \\dfrac{3}{5}+\\bigg(\\dfrac{3}{5}\\bigg)^2\\bigg)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad A(ABCD)=A(\\Delta AOB)\\cdot \\dfrac{64}{25}.[\/tex]
\nFinalmente,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{A(\\Delta AOB)}{A(ABCD)}=\\dfrac{25}{64}$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
\n