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Problema (Adaptado: Algebra – Problems and Solutions from Mathematical Olympiads<\/strong>)<\/span> Determine a solu\u00e7\u00e3o no conjunto dos reais do sistema de equa\u00e7\u00f5es abaixo.<\/p>\n [tex]\\begin{equation} \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Do enunciado temos Portanto, as solu\u00e7\u00f5es do sistema s\u00e3o os pares ordenados [tex](2,-1)[\/tex] e [tex](-1,2)[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Adaptado: Algebra – Problems and Solutions from Mathematical Olympiads) Determine a solu\u00e7\u00e3o no conjunto dos reais do sistema de equa\u00e7\u00f5es abaixo. [tex]\\begin{equation} \\left \\{ \\begin{array}{cc} x^3+y^3=7\\\\ xy(x+y)=-2\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation}[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o Do enunciado temos [tex]\\qquad x^3+y^3=7\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\qquad xy(x+y)=-2.\\;\\;\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Do produto not\u00e1vel cubo da soma … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n\\left \\{
\n\\begin{array}{cc}
\nx^3+y^3=7\\\\
\nxy(x+y)=-2\\\\
\n\\end{array}
\n\\right.
\n\\end{equation}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n
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\n [tex]\\qquad x^3+y^3=7\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad xy(x+y)=-2.\\;\\;\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nDo produto not\u00e1vel cubo da soma de dois termos<\/strong> (Para relembrar esse e outros produtos not\u00e1veis, d\u00ea uma passadinha nesta Sala<\/strong><\/a>.)<\/span>, obtemos
\n[tex]\\qquad (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3[\/tex]
\nou ainda,
\n[tex]\\qquad (x+y)^3=x^3+y^3+3(x^2y+xy^2).\\;\\;\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nDa equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] vem que:
\n[tex]\\qquad x^2y+xy^2=-2.\\;\\; \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] segue que:
\n[tex]\\qquad (x+y)^3=7+3(-2)[\/tex]
\n[tex]\\qquad (x+y)^3=1[\/tex]
\n[tex]\\qquad x+y=1.\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] temos que
\n[tex]\\qquad xy=-2.\\;\\;\\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex]
\nComo [tex]x+y=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=1-x\\;\\; \\textcolor{#800000}{(vii)}[\/tex].
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(vii)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex] segue que:
\n[tex]\\qquad x(1-x)=-2[\/tex]
\n[tex]\\qquad x-x^2=-2[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2-x-2=0.\\;\\; \\textcolor{#800000}{(viii)}[\/tex]
\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^{\\circ}[\/tex] grau [tex]\\textcolor{#800000}{(viii)}[\/tex], temos
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{(-1)^{2^\\textcolor{white}{1}}-4\\cdot 1\\cdot(-2)}}{2\\cdot 1\\,}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{1\\pm\\sqrt{9}}{2}\\\\\\,[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{1\\pm3}{2}.[\/tex]
\nAssim, [tex]x=2[\/tex] ou [tex]x=-1[\/tex]. Substituindo esses valores em [tex]\\textcolor{#800000}{(vii)}[\/tex], temos que:<\/p>\n\n
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