{"id":144807,"date":"2020-01-01T19:11:47","date_gmt":"2020-01-01T21:11:47","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=144807"},"modified":"2023-06-10T07:40:38","modified_gmt":"2023-06-10T10:40:38","slug":"problema-menor-inteiro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-menor-inteiro\/","title":{"rendered":".Problema: Menor inteiro"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

(ITA<\/strong>-2005) Encontre o menor n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex] tal que [tex]\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}\\lt 0,01[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Do enunciado temos que [tex]\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}\\lt 0,01[\/tex]; assim,
\n[tex]\\qquad (\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1})^2\\lt( 0,01)^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad n-2\\sqrt{n(n-1)}+n-1\\lt 0,0001[\/tex]
\n[tex]\\qquad -2\\sqrt{n(n-1)}\\lt -2n+1+0,0001[\/tex]
\n[tex]\\qquad -2\\sqrt{n(n-1)}\\lt -2n+1,0001. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nMultiplicando ambos os lados da desigualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] por [tex]-\\dfrac{1}{2}[\/tex] segue que:
\n[tex]\\qquad \\sqrt{n(n-1)}\\gt n-0,50005[\/tex]
\n[tex]\\qquad (\\sqrt{n(n-1)})^2\\gt (n-0,50005)^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad n(n-1)\\gt n^2-1,0001n+0,2500500025[\/tex]
\n[tex]\\qquad n^2-n\\gt n^2-1,0001n+0,2500500025[\/tex]
\n[tex]\\qquad -n+1,0001n\\gt 0,2500500025[\/tex]
\n[tex]\\qquad 0,0001n\\gt 0,2500500025[\/tex]
\n[tex]\\qquad n\\gt \\dfrac{0,2500500025}{0,0001}[\/tex]
\n[tex]\\qquad n\\gt 2500,500025[\/tex].
\nPortanto, o menor inteiro que satisfaz [tex]\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}\\lt 0,01[\/tex] \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=2501$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (ITA-2005) Encontre o menor n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex] tal que [tex]\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}\\lt 0,01[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Do enunciado temos que [tex]\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1}\\lt 0,01[\/tex]; assim, [tex]\\qquad (\\sqrt{n}-\\sqrt{n-1})^2\\lt( 0,01)^2[\/tex] [tex]\\qquad n-2\\sqrt{n(n-1)}+n-1\\lt 0,0001[\/tex] [tex]\\qquad -2\\sqrt{n(n-1)}\\lt -2n+1+0,0001[\/tex] [tex]\\qquad -2\\sqrt{n(n-1)}\\lt -2n+1,0001. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Multiplicando ambos os lados da desigualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] por [tex]-\\dfrac{1}{2}[\/tex] segue que: [tex]\\qquad \\sqrt{n(n-1)}\\gt … <\/p>\n

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