{"id":144561,"date":"2019-12-28T02:34:09","date_gmt":"2019-12-28T04:34:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=144561"},"modified":"2023-06-10T07:41:15","modified_gmt":"2023-06-10T10:41:15","slug":"problema-completando-os-quadrados","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-completando-os-quadrados\/","title":{"rendered":".Problema: Completando os quadrados"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nNa figura, vemos tr\u00eas fileiras de tr\u00eas quadrados: uma horizontal e duas verticais.
\n\u00c9 poss\u00edvel escrever os n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]7[\/tex], um em cada quadrado, de modo que a soma dos tr\u00eas n\u00fameros em cada uma das tr\u00eas fileiras seja a mesma? J\u00e1 foram colocados os n\u00fameros [tex]3[\/tex] e [tex]4[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n\tChamemos de [tex]x[\/tex] o n\u00famero que ficar\u00e1 exatamente no quadrado abaixo do n\u00famero [tex]4[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Seja [tex]S[\/tex] a soma dos elementos em cada uma das tr\u00eas fileiras. Somando todos os elementos das tr\u00eas fileiras, os n\u00fameros [tex]3[\/tex] e [tex]x[\/tex] ser\u00e3o somados duas vezes, e, os demais, apenas uma. Dessa forma:
\n[tex]\\qquad 3 \\cdot S=1+2+3+4+5+6+7+3+x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3 \\cdot S=31+x[\/tex] .
\nComo [tex]3 \\cdot S[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro (pois [tex]S[\/tex] \u00e9 inteiro), [tex]31+x[\/tex] deve ser um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].
\nPelo enunciado, os n\u00fameros dispon\u00edveis para [tex]x[\/tex] s\u00e3o [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]5[\/tex], [tex]6[\/tex] ou [tex]7[\/tex]; mas os \u00fanicos que tornam [tex]31+x[\/tex] divis\u00edvel por [tex]3[\/tex] s\u00e3o [tex]x=2[\/tex] e [tex]x=5[\/tex]. Vamos analisar separadamente as duas possibilidades.<\/p>\n