{"id":144551,"date":"2019-12-18T23:54:29","date_gmt":"2019-12-19T01:54:29","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=144551"},"modified":"2023-06-10T07:42:52","modified_gmt":"2023-06-10T10:42:52","slug":"problemao-sequencia-de-quadrados-perfeitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-sequencia-de-quadrados-perfeitos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Sequ\u00eancia de quadrados perfeitos"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>Olimp\u00edada Nacional de Matem\u00e1tica Escolar<\/strong> 2006 \u2013 Segunda Fase \u2013 [tex]2[\/tex] \u2013 Peru)<\/span>  A sequ\u00eancia infinita <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]149162536\\dots[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00e9 formada escrevendo os quadrados de todos os inteiros positivos, um ap\u00f3s o outro, em ordem crescente.<br \/>\n<strong>Qual \u00e9 o d\u00edgito que ocupa a posi\u00e7\u00e3o [tex]1000[\/tex] dessa lista?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos, primeiramente, escrever:<\/p>\n<ul>&#8211; Os quadrados perfeitos com [tex]1[\/tex] d\u00edgito: [tex]1^2=1,\\, 2^2=4,\\,  3^2=9[\/tex];<br \/>\n&#8211; Os quadrados perfeitos com [tex]2[\/tex] d\u00edgitos: [tex]4^2=16,\\,  5^2=25,\\,  6^2=36,\\,  7^2=49,\\,  8^2=64, \\, 9^2=81[\/tex];<br \/>\n&#8211; Os quadrados perfeitos com [tex]3[\/tex] d\u00edgitos: [tex]10^2=100, \\, 11^2=121,\\,  12^2=144,\\,  \\dots, \\, 31^2=961[\/tex];<br \/>\n&#8211; Os quadrados perfeitos com [tex]4[\/tex] d\u00edgitos: [tex]32^2=1024,\\,  \\dots, \\, 99^2=9801.[\/tex]<\/ul>\n<p>Observe que temos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]3[\/tex] quadrados perfeitos com [tex]1[\/tex] d\u00edgito;<\/li>\n<li>[tex]6[\/tex] quadrados perfeitos com [tex]2[\/tex] d\u00edgitos;<\/li>\n<li>[tex]31-9=22[\/tex] quadrados perfeitos com [tex]3[\/tex] d\u00edgitos;<\/li>\n<li>[tex]99-31=68[\/tex] quadrados perfeitos com [tex]4[\/tex] d\u00edgitos;<\/li>\n<\/ul>\n<p>assim, a quantidade de d\u00edgitos escritos at\u00e9 aqui \u00e9 dada por [tex]3 \\cdot 1+6 \\cdot 2+22 \\cdot 3+68 \\cdot 4=353[\/tex]. Isso significa que o d\u00edgito [tex]1[\/tex] do n\u00famero [tex]9801[\/tex] est\u00e1 na posi\u00e7\u00e3o [tex]353[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f018.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"904\" height=\"58\" class=\"aligncenter size-full wp-image-144775\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f018.png 904w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f018-300x19.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f018-768x49.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 904px) 100vw, 904px\" \/><\/p>\n<p>Agora, perceba que:<\/p>\n<ul>\n<li>faltam [tex]1000-353=647[\/tex] algarismos at\u00e9 chegarmos \u00e0 posi\u00e7\u00e3o [tex]1000[\/tex];<\/li>\n<li>a partir de  [tex]9801[\/tex], os pr\u00f3ximos quadrados ter\u00e3o cinco d\u00edgitos: [tex]100^2=10000,\\, 101^2=10201, \\, 102^2=10404,\\, \\cdots [\/tex];<\/li>\n<li>dividindo [tex]647[\/tex] por [tex]5[\/tex], encontramos quociente [tex]129[\/tex] e resto [tex]2[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, juntando os [tex]353[\/tex] d\u00edgitos iniciais com mais [tex]129\\cdot5=645[\/tex] d\u00edgitos provenientes dos quadrados dos pr\u00f3ximos [tex]129[\/tex] n\u00fameros sequenciais, obtemos ent\u00e3o um total de [tex]353+645=998[\/tex] d\u00edgitos, chegando, assim, \u00e0 posi\u00e7\u00e3o [tex]998[\/tex].<br \/>\nObserve que os [tex]129[\/tex] pr\u00f3ximos quadrados perfeitos de cinco d\u00edgitos s\u00e3o [tex]100^2=10000, \\dots, 228^2=51984[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f019.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"923\" height=\"68\" class=\"aligncenter size-full wp-image-144777\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f019.png 923w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f019-300x22.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f019-768x57.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 923px) 100vw, 923px\" \/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f020.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"772\" height=\"65\" class=\"aligncenter size-full wp-image-144778\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f020.png 772w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f020-300x25.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f020-768x65.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 772px) 100vw, 772px\" \/><\/p>\n<p>Tomando o quadrado do [tex]229[\/tex], temos [tex]229^2=52441[\/tex] e como s\u00f3 precisamos chegar at\u00e9 \u00e0 posi\u00e7\u00e3o [tex]1000[\/tex], basta pegarmos o primeiro e o segundo algarismo do [tex]52441[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f021.png\"  style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"955\" height=\"54\" class=\"aligncenter size-full wp-image-144779\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f021.png 955w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f021-300x17.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/f021-768x43.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 955px) 100vw, 955px\" \/><\/p>\n<p>Portanto, o d\u00edgito que ocupa a posi\u00e7\u00e3o [tex]1000[\/tex] da lista em quest\u00e3o \u00e9 o  [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$}~.[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) (Olimp\u00edada Nacional de Matem\u00e1tica Escolar 2006 \u2013 Segunda Fase \u2013 [tex]2[\/tex] \u2013 Peru) A sequ\u00eancia infinita [tex]149162536\\dots[\/tex] \u00e9 formada escrevendo os quadrados de todos os inteiros positivos, um ap\u00f3s o outro, em ordem crescente. Qual \u00e9 o d\u00edgito que ocupa a posi\u00e7\u00e3o [tex]1000[\/tex] dessa lista? &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-sequencia-de-quadrados-perfeitos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-144551","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144551","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=144551"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144551\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194129,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144551\/revisions\/194129"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=144551"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}