{"id":144529,"date":"2020-02-02T04:58:59","date_gmt":"2020-02-02T06:58:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=144529"},"modified":"2023-06-10T07:50:09","modified_gmt":"2023-06-10T10:50:09","slug":"problemao-ali-babao-e-a-decima-segunda-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-ali-babao-e-a-decima-segunda-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Ali Bab\u00e3o e a d\u00e9cima segunda de suas 40 equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>(<strong>OBM<\/strong>) Determine todos os pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[\/tex] tais que [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<ul>\n<li>Vamos reescrever a equa\u00e7\u00e3o [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[\/tex] da seguinte forma:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad xy+8xy-x^2-8y^2=2005\\, .[\/tex]<\/p>\n<li>Pondo em evid\u00eancia os fatores [tex]8y[\/tex] e [tex](-x)[\/tex], obtemos:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad 8y(x-y)-x(x-y)=2005\\, .[\/tex]<\/p>\n<li>Agora, pondo [tex](x-y)[\/tex] em evid\u00eancia, segue que:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad (x-y)(8y-x)=2005\\, .[\/tex]<\/ul>\n<p>Como o enunciado pede apenas as solu\u00e7\u00f5es inteiras, [tex]x-y[\/tex] e [tex]8y-x[\/tex] devem ser n\u00fameros inteiros. Portanto, devem ser divisores inteiros de [tex]2005[\/tex] e temos oito sistemas a estudar:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\ x-y &#038; 8y-x &#038; x &#038; y \\\\ \\hline<br \/>\n 1 &#038; 2005 &#038; x \\not \\in \\mathbb{Z} &#038; y \\not \\in \\mathbb{Z} \\\\ \\hline<br \/>\n2005 &#038; 1 &#038; x \\not \\in \\mathbb{Z} &#038; y \\not \\in \\mathbb{Z} \\\\ \\hline<br \/>\n-1 &#038; -2005 &#038; x \\not \\in \\mathbb{Z} &#038; y \\not \\in \\mathbb{Z}  \\\\ \\hline<br \/>\n-2005 &#038; -1 &#038; x \\not \\in \\mathbb{Z} &#038; y \\not \\in \\mathbb{Z}  \\\\ \\hline<br \/>\n5 &#038; 401 &#038; 63 &#038; 58  \\\\ \\hline<br \/>\n401 &#038; 5 &#038; 459 &#038; 58  \\\\ \\hline<br \/>\n-5 &#038; -401 &#038; -63 &#038; -58  \\\\ \\hline<br \/>\n-401 &#038; -5 &#038; -459 &#038; -58  \\\\ \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;\">(Observe que [tex]401[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo.)<\/span>\n<\/p>\n<p>Portanto, temos quatro pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[\/tex] que satisfazem a igualdade do problema:<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(63,58)$}\\, ,\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(459,58)$}\\, , \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-63,-58)$}\\, ,\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (-459,-58)$}\\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (OBM) Determine todos os pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[\/tex] tais que [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Vamos reescrever a equa\u00e7\u00e3o [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[\/tex] da seguinte forma: [tex]\\qquad xy+8xy-x^2-8y^2=2005\\, .[\/tex] Pondo em evid\u00eancia os fatores [tex]8y[\/tex] e [tex](-x)[\/tex], obtemos: [tex]\\qquad 8y(x-y)-x(x-y)=2005\\, .[\/tex] Agora, pondo [tex](x-y)[\/tex] em evid\u00eancia, segue que: [tex]\\qquad (x-y)(8y-x)=2005\\, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-ali-babao-e-a-decima-segunda-de-suas-40-equacoes\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-144529","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144529","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=144529"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144529\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194137,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/144529\/revisions\/194137"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=144529"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}