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Problema (A. TITU; Z. ZUMING, “A Path to Combinatorics for Undergraduates”<\/strong>, Boston, 2004 – Adaptado)<\/span> Determine o n\u00famero de pares ordenados de inteiros positivos [tex](a,b)[\/tex] tais que o m\u00ednimo m\u00faltiplo comum de [tex] a [\/tex] e [tex] b [\/tex] \u00e9 a igual a [tex]2^{3} \\cdot 5^{7}[\/tex], ou seja, [tex]mmc(a,b)=2^{3} \\cdot 5^{7}\\, .[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \tNota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Utilizaremos a nota\u00e7\u00e3o [tex]max \\{r_{1}, r_{2}\\} [\/tex] para representar o m\u00e1ximo entre dois n\u00fameros reais [tex]r_{1}, r_{2} [\/tex]. Assim, por exemplo, [tex] max \\{\\sqrt{2}\\, ,\\, 1 \\}=\\sqrt{2}\\, [\/tex] e [tex]\\, max\\{-2,-2\\}=-2[\/tex]. \n Por outro lado, o Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/strong><\/a> garante que cada conjunto de valores [tex]\\{x,y,s,t\\}[\/tex] define um e apenas um par [tex]a=2^x\\cdot 5^y[\/tex], [tex]b=2^s\\cdot 5^t[\/tex], j\u00e1 que a decomposi\u00e7\u00e3o de um n\u00famero em fatores primos \u00e9 \u00fanica. Isto significa que podemos contar os conjuntos [tex]\\{x,y,s,t\\}[\/tex] para obter a quantidade de pares [tex](a,b)[\/tex] que respeitam o enunciado.<\/p>\n \n Como [tex]max \\{x,s\\}=3[\/tex], temos as seguintes possibilidades para os pares ordenados [tex] (x,s):[\/tex]<\/p>\n ou seja, [tex]7[\/tex] escolhas. De forma an\u00e1loga, temos [tex] 15 [\/tex] escolhas para os pares ordenados [tex](y,t)[\/tex].<\/p>\n \n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\nVamos \u00e0 solu\u00e7\u00e3o.
\nComo [tex]mmc(a,b)=2^{3} \\cdot 5^{7}[\/tex], ent\u00e3o [tex] a[\/tex] e [tex] b[\/tex] s\u00e3o fatores de [tex] 2^{3} \\cdot 5^{7}[\/tex] e, assim, possuem no m\u00e1ximo os fatores [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] em suas respectivas decomposi\u00e7\u00f5es primas. Podemos ent\u00e3o escrever que [tex]\\boxed{a=2^{x} \\cdot 5^{y}}\\,[\/tex] e [tex]\\, \\boxed{ b= 2^{s} \\cdot 5^{t}}[\/tex], com [tex]x,\\, y,\\, s,\\, t [\/tex] n\u00fameros inteiros n\u00e3o negativos.
\nSabemos que para o c\u00e1lculo do [tex]mmc[\/tex] de dois ou mais n\u00fameros utilizando a decomposi\u00e7\u00e3o de cada um em fatores primos, devemos fazer o produto de todos os fatores, comuns e n\u00e3o comuns, que aparecem nas decomposi\u00e7\u00f5es, cada um deles elevado ao maior expoente com que aparece; assim, como [tex]\\boxed{mmc(a,b)=2^{3} \\cdot 5^{7}}[\/tex], [tex]\\, \\boxed{a=2^{x} \\cdot 5^{y}}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\boxed{ b= 2^{s} \\cdot 5^{t}}[\/tex], segue que:<\/p>\n\n
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