{"id":143603,"date":"2019-12-06T01:43:37","date_gmt":"2019-12-06T03:43:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=143603"},"modified":"2024-06-23T06:40:05","modified_gmt":"2024-06-23T09:40:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-completando-a-equacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-completando-a-equacao\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Completando a equa\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220647\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>ONEM<\/strong>, 2010 &#8211; Adaptado) Os n\u00fameros naturais de dois algarismos [tex]~\\boxed{ab}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{ba}~[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]~x^2-88x+m=0.[\/tex]<\/p>\n<p><strong>Determine os poss\u00edveis valores de [tex]m.[\/tex]<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size:12px; text-align:right\"> (Observe que aqui as nota\u00e7\u00f5es [tex]ab[\/tex] e [tex]ba[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim representa\u00e7\u00f5es de n\u00fameros com dois algarismos no sistema decimal.)<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:60%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"97\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembrete <\/p>\n<p>Em uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}[\/tex], [tex]a_2\\neq 0[\/tex], <\/p>\n<ul>\n<li>a soma [tex]S[\/tex] de suas ra\u00edzes \u00e9 dada por [tex]\\boxed{S=-\\dfrac{a_{1}}{a_2}}\\,[\/tex], <\/li>\n<li>o produto  [tex]P[\/tex] de suas ra\u00edzes \u00e9 dada por [tex]\\boxed{P=\\dfrac{a_{0}}{a_2}}\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo os n\u00fameros naturais [tex]~\\boxed{ab}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{ba}~[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]~\\boxed{x^2-88x+m=0}[\/tex], a primeira informa\u00e7\u00e3o do Lembrete nos garante que [tex]ab+ba=88[\/tex]. Assim, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 88=ab+ba[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 88=\\left(10\\cdot a+b\\right)+\\left(10\\cdot b+a\\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 88=11\\cdot a+11 \\cdot b[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 8 \\cdot 11=11\\cdot(a+b)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 8=a+b.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o algarismos n\u00e3o nulos, pois [tex]ab[\/tex] e [tex]ba[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros com dois algarismos, temos as seguintes possibilidades:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]a=1[\/tex] e [tex]b=7[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=2[\/tex] e [tex]b=6[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=3[\/tex] e [tex]b=5[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=4[\/tex] e [tex]b=4[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=5[\/tex] e [tex]b=3[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=6[\/tex] e [tex]b=2[\/tex], <\/li>\n<li>[tex]a=7[\/tex] e [tex]b=1[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Para determinarmos os poss\u00edveis valores de [tex]m[\/tex], vamos utilizar a primeira informa\u00e7\u00e3o do Lembrete, [tex](ab)\\cdot (ba)=m[\/tex] e observar que [tex]a\\times b=b\\times a.[\/tex] Portanto, s\u00e3o estas as possibilidades de valores para [tex]m[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=17 \\times 71=1207$}[\/tex] , <\/li>\n<li>[tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=26 \\times 62=1612$}[\/tex] , <\/li>\n<li>[tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=35 \\times 53=1855$}[\/tex] , <\/li>\n<li>[tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=44 \\times 44=19366$}[\/tex] . <\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Completando-a-equa\u00e7\u00e3o.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Completando a equa\u00e7\u00e3o.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) (ONEM, 2010 &#8211; Adaptado) Os n\u00fameros naturais de dois algarismos [tex]~\\boxed{ab}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{ba}~[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]~x^2-88x+m=0.[\/tex] Determine os poss\u00edveis valores de [tex]m.[\/tex] (Observe que aqui as nota\u00e7\u00f5es [tex]ab[\/tex] e [tex]ba[\/tex] n\u00e3o &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-completando-a-equacao\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-143603","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/143603","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=143603"}],"version-history":[{"count":38,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/143603\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220649,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/143603\/revisions\/220649"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=143603"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}