{"id":143420,"date":"2019-12-06T01:55:20","date_gmt":"2019-12-06T03:55:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=143420"},"modified":"2024-06-23T06:47:27","modified_gmt":"2024-06-23T09:47:27","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-segmentos-circulos-e-uma-area","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-segmentos-circulos-e-uma-area\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Segmentos, c\u00edrculos e uma \u00e1rea"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220656\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>UK Junior Mathematical Olympiad<\/strong>, 2015 &#8211; Adaptado)<\/span> Dois c\u00edrculos de raio [tex]2\\,cm[\/tex] tangenciam dois segmentos paralelos entre si, como mostrado na figura.  Sabendo que a dist\u00e2ncia entre os centros desses c\u00edrculos \u00e9 [tex]6\\,cm[\/tex], determine a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida delimitada pelos c\u00edrculos e pelos dois segmentos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob388.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"275\" height=\"112\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137370\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:70%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"72\" height=\"86\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Lembrete<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Toda reta tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no seu ponto de tang\u00eancia.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sejam [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] os pontos de tang\u00eancia que os dois segmentos determinam com rela\u00e7\u00e3o \u00e0s circunfer\u00eancias, conforme mostra a figura abaixo. Utilizando o <strong>Lembrete<\/strong>, podemos concluir que o quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_3.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"276\" height=\"140\" class=\"aligncenter size-full wp-image-143383\" \/><\/p>\n<p>Observe que a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida delimitada pelos c\u00edrculos e pelos dois segmentos \u00e9 simplesmente a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] e a \u00e1rea de dois semic\u00edrculos definidos pelos c\u00edrculos de raio [tex]2\\,cm[\/tex] cada. Assim, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida \u00e9 a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] e a \u00e1rea de um dos c\u00edrculos da figura inicial.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_4.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"711\" height=\"302\" class=\"aligncenter size-full wp-image-143389\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_4.png 711w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_4-300x127.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 711px) 100vw, 711px\" \/><\/p>\n<p>Perceba que, como os segmentos [tex]AD[\/tex] e [tex]BC[\/tex] s\u00e3o perpendiculares aos dois segmentos paralelos iniciais, ent\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> o comprimento dos lados [tex]AB[\/tex] e [tex]DC[\/tex] do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 exatamente a dist\u00e2ncia entre os centros dos c\u00edrculos.<\/li>\n<li> o comprimento dos lados [tex]AD[\/tex] e [tex]BC[\/tex] do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 exatamente o comprimento dos di\u00e2metros desses c\u00edrculos.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_5.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"278\" height=\"141\" class=\"aligncenter size-full wp-image-143393\" \/><\/p>\n<p>Vamos, ent\u00e3o, aos c\u00e1lculos da \u00e1rea colorida, que denotaremos por [tex]\\textcolor{#FF9933}{A_{col}}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#FF9933}{A_{col}}=A_{ret}-A_{cir}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#FF9933}{A_{col}}=6 \\times 4-\\pi \\times 2^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#FF9933}{A_{col}}=24-4\\pi[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#FF9933}{A_{col}}=4\\left( 6-\\pi \\right)\\,cm^2.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_6.png\" alt=\"\" width=\"651\" height=\"143\" class=\"aligncenter size-full wp-image-143412\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_6.png 651w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/prob388_6-300x66.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 651px) 100vw, 651px\" \/><\/p>\n<p>Assim, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida \u00e9, aproximadamente, [tex]\\fcolorbox{black}{#fdb}{$11,43\\, cm^2$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Segmentos-c\u00edrculos-e-uma-\u00e1rea.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Segmentos, c\u00edrculos e uma \u00e1rea.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) (UK Junior Mathematical Olympiad, 2015 &#8211; Adaptado) Dois c\u00edrculos de raio [tex]2\\,cm[\/tex] tangenciam dois segmentos paralelos entre si, como mostrado na figura. 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