\nna An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/strong><\/div>\n
\n
\nO senhor Bruno realiza cinco atividades di\u00e1rias durante as manh\u00e3s da semana. S\u00e3o elas:<\/p>\n
- \n
- Levar a filha \u00e0 escola;<\/li>\n
- Tomar caf\u00e9 da manh\u00e3:<\/li>\n
- Comprar o Jornal;<\/li>\n
- Fazer exerc\u00edcios f\u00edsicos;<\/li>\n
- Buscar a filha na escola. <\/li>\n<\/ul>\n
De quantas maneiras diferentes o senhor Bruno poderia fazer essas atividades?<\/p>\n
\n
\n <\/p>\n\nAntes de resolver o problema, vamos identificar as atividades da seguinte forma:
\n[tex]A[\/tex]) Levar a filha \u00e0 escola;
\n[tex]B[\/tex]) Tomar caf\u00e9 da manh\u00e3:
\n[tex]C[\/tex]) Comprar o Jornal;
\n[tex]D[\/tex]) Fazer exerc\u00edcios f\u00edsicos;
\n[tex]E[\/tex]) Buscar a filha na escola.
\nAgora, perceba que o problema tem uma restri\u00e7\u00e3o: o senhor Bruno n\u00e3o pode buscar a filha na escola sem antes t\u00ea-la levado<\/strong>. Com isso, devemos ter sempre a atividade [tex]A[\/tex] antes da [tex]E[\/tex].
\nPodemos, ent\u00e3o, encarar o problema como formar um anagrama da palavra [tex]ABCDE[\/tex], mantendo as vogais em ordem alfab\u00e9tica.
\nNeste caso, obtemos como resposta [tex]\\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\\dfrac{5!}{2!}=60$} \\, .[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 2<\/strong><\/span>
\nE se as atividades do senhor Bruno fossem:<\/p>\n- \n
- Levar a filha \u00e0 escola;<\/li>\n
- Tomar caf\u00e9 da manh\u00e3:<\/li>\n
- Comprar o Jornal;<\/li>\n
- Fazer exerc\u00edcios f\u00edsicos;<\/li>\n
- Buscar a filha na escola;<\/li>\n
- Ler o Jornal;<\/li>\n<\/ul>\n
de quantas maneiras ele poderia execut\u00e1-las?<\/p>\n
\n
\n <\/p>\n\nAntes de resolver o problema, podemos identificar as seis atividades da seguinte forma:
\n[tex]A[\/tex]) Levar a filha \u00e0 escola;
\n[tex]B[\/tex]) Tomar caf\u00e9 da manh\u00e3:
\n[tex]C[\/tex]) Comprar o Jornal;
\n[tex]D[\/tex]) Fazer exerc\u00edcios f\u00edsicos;
\n[tex]E[\/tex]) Buscar a filha na escola;
\n[tex]F[\/tex]) Ler o Jornal.
\nAgora o problema apresenta duas restri\u00e7\u00f5es: o senhor Bruno "n\u00e3o pode buscar a filha na escola sem antes t\u00ea-la levado" e "s\u00f3 poder\u00e1 ler o jornal depois de t\u00ea-lo comprado".
\nDessa forma, o que temos \u00e9 uma situa\u00e7\u00e3o an\u00e1loga a determinar os anagramas da palavra [tex]ABCDEF[\/tex], com o [tex]A[\/tex] aparecendo antes do [tex]E[\/tex] e, o [tex]C \\, [\/tex], antes do [tex]F[\/tex]. Vamos determinar quantos s\u00e3o esses anagramas. <\/p>\n- \n
- O total de anagramas em que o [tex]A[\/tex] e o [tex]E[\/tex] est\u00e3o em ordem alfab\u00e9tica \u00e9 [tex]\\dfrac{6!}{2!}[\/tex].
\nDestes, h\u00e1 dois tipos:<\/p>\n- \n
- anagramas em que o [tex]C[\/tex] figura antes do [tex]F \\, [\/tex];<\/li>\n
- anagramas em que o [tex]F[\/tex] figura antes do [tex]C.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
Portanto, a resposta do problema fica [tex]\\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\\dfrac{\\frac{6!}{2!}}{{2!}}=\\dfrac{6!}{2!2!}=180$} \\, .[\/tex]
\nMais uma vez, \u00e9 importante perceber que o primeiro [tex]2![\/tex] surge porque queremos o [tex]A[\/tex] na frente do [tex]E[\/tex] e, o segundo [tex]2![\/tex], porque queremos tamb\u00e9m o [tex]C[\/tex] na frente do [tex]F[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 3<\/strong><\/span><\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/F001.png\")
<\/p>\n\n
Na imagem acima temos doze crian\u00e7as – sete meninos e cinco meninas- e todos com alturas diferentes.
\nDe quantas maneiras podemos formar uma fila, de forma que os meninos entre si e as meninas entre si estejam em ordem crescente de altura?<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\nO n\u00famero total de filas, sem restri\u00e7\u00f5es, \u00e9 [tex]12! \\, .[\/tex]<\/p>\n- \n
- Para colocar as meninas em ordem crescente basta dividirmos esse total por [tex]5![\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
At\u00e9 agora, obtivemos a quantidade de filas com as meninas ordenadas por altura, mas nessas filas os meninos ainda n\u00e3o est\u00e3o ordenados. <\/p>\n
- \n
- Podemos ent\u00e3o obter a quantidade dessas filas nas quais os meninos aparecem ordenados de acordo com suas respectivas alturas, dividindo o total resultante da ordena\u00e7\u00e3o das meninas segundo as suas alturas por [tex]7![\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n
Portanto, o resultado final \u00e9 [tex]\\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\\dfrac{\\frac{12!}{5!}}{7!}=\\dfrac{12!}{5!7!}=792$} \\, .[\/tex]
\nDessa forma, s\u00e3o [tex]792[\/tex] filas poss\u00edveis de serem formadas, segundo as condi\u00e7\u00f5es do problema.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 4<\/strong><\/span><\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/f02.png\")
<\/p>\n\n
Mart\u00edn teve a ideia de convidar todos os sete novos amigos para um churrasco. Para isso, \u00e9 necess\u00e1rio ir at\u00e9 \u00e0 casa de cada um deles. De quantas maneiras isso pode ser feito se a primeira casa visitada deve ser a da Magali e, para que n\u00e3o haja brigas, antes de passar na casa do Cebolinha e do Casc\u00e3o, Mart\u00edn deve passar na casa da M\u00f4nica?<\/p>\n
\n
\n <\/p>\n\nComo a primeira casa a ser visitada por Mart\u00edn \u00e9 a da Magali, o que nos resta \u00e9 contar de quantas maneiras Mart\u00edn pode passar nas outras seis casas.
\nA princ\u00edpio a resposta seria [tex]6![\/tex]. Por\u00e9m, com a restri\u00e7\u00e3o relativa ao Cebolinha e ao Casc\u00e3o, temos dois casos para considerar:<\/p>\n- \n
- primeiro Mart\u00edn pode passar na casa da M\u00f4nica, depois na do Casc\u00e3o e em seguida na do Cebolinha (o que pode ocorrer de [tex]\\dfrac{6!}{3!}=120[\/tex] maneiras); <\/li>\n
- primeiro Mart\u00edn passa na casa da M\u00f4nica, depois na do Cebolinha e em seguida na do Casc\u00e3o (o que tamb\u00e9m pode ocorrer de [tex]\\dfrac{6!}{3!}=120[\/tex]). <\/li>\n<\/ul>\n
No total, pelo princ\u00edpio aditivo, existem [tex]\\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$120+120=240$}[\/tex] maneiras diferentes de Mart\u00edn fazer os convites para seus amigos, respeitadas as regras impostas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\nProblema 5<\/strong><\/span>
\nEm um torneio de tiro, oito alvos s\u00e3o dispostos em tr\u00eas correntes penduradas, como mostra a figura abaixo. <\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/F003.png\")
\n<\/p>\nOs primeiros alvos de cada corrente est\u00e3o presos a um suporte e os outros est\u00e3o presos aos respectivos alvos imediatamente acima.
\nPara ganhar a competi\u00e7\u00e3o todos os oito alvos devem ser atingidos. Assim, se um competidor acertar um alvo sem ter atirado no(s) que est\u00e1(\u00e3o) abaixo, este(s) cair\u00e1(\u00e3o) e o competidor n\u00e3o ganhar\u00e1 a pontua\u00e7\u00e3o relativa aos alvos perdidos.
\nPara obter a pontua\u00e7\u00e3o m\u00e1xima do torneio, de quantas maneiras diferentes cada competidor pode acertar os oito alvos?<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\nVamos imaginar que cada alvo receba uma letra, como na figura.<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/F004.png\")
\n<\/p>\nEstamos interessados nos anagramas da palavra [tex]ABCDEFGH[\/tex], que no total s\u00e3o [tex]8! \\, [\/tex], tais que <\/p>\n
- \n
- [tex]ABC[\/tex] apare\u00e7a em ordem alfab\u00e9tica (basta dividir por [tex]3![\/tex]), <\/li>\n
- [tex]DE[\/tex] em ordem alfab\u00e9tica (dividir por [tex]2![\/tex]) e <\/li>\n
- [tex]FGH[\/tex] tamb\u00e9m em ordem alfab\u00e9tica (dividir por [tex]3![\/tex]). <\/li>\n<\/ul>\n
Ficamos, ent\u00e3o, com um total de [tex] \\, \\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\\dfrac{8!}{3!2!3!}=560$} \\, [\/tex] possibilidades de acertos dos oito alvos, conforme as regras impostas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Os pr\u00f3ximos problemas s\u00e3o para voc\u00eas…<\/p>\n
\nProblema 6<\/strong><\/span>
\nQuantos s\u00e3o os anagramas da palavra [tex]UNIVERSO[\/tex] em que as vogais aparecem em ordem alfab\u00e9tica?<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\n[tex]\\dfrac{8!}{4!}=1680[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 7<\/strong><\/span>
\n Vamos formar sequ\u00eancias com todos os n\u00fameros naturais [tex]1, \\, 2, \\, \\cdots , \\, 10[\/tex] de modo que o [tex]5[\/tex] esteja situado \u00e0 direita do [tex]2[\/tex] e \u00e0 esquerda do [tex]3[\/tex], embora n\u00e3o necessariamente em lugares consecutivos.
\nQuantas sequ\u00eancias obteremos?<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\n[tex]\\dfrac{10!}{3!}=604800[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 8<\/strong><\/span>
\n Um dos desenhos mais famosos e engra\u00e7ados de competi\u00e7\u00e3o \u00e9 o "CORRIDA MALUCA<\/strong>". Nele os carros dos onze competidores s\u00e3o numerados de 00 <\/strong> a 10<\/strong>.<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/F005.jpg\")
<\/p>\nNa pr\u00f3xima corrida, os competidores ser\u00e3o colocados em fila, de maneira que os n\u00fameros pares fiquem em ordem decrescente e os \u00edmpares em ordem crescente.
\nDe quantas maneiras diferentes isso pode ser feito? <\/p>\n\n
\n <\/p>\n\n[tex]\\dfrac{11!}{6!5!}=462[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nProblema 9<\/strong><\/span>
\n Um dos competidores da "CORRIDA MALUCA<\/strong>" \u00e9 o Dick Vigarista<\/strong><\/em> (carro 00).<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/F006.jpg\")
<\/p>\nComo o pr\u00f3prio nome indica, ele sempre tenta trapacear durante as corridas. Por esse motivo, na pr\u00f3xima corrida, ele dever\u00e1 largar na \u00faltima posi\u00e7\u00e3o.
\nDe quantas maneiras poder\u00e1 ser montada a largada, respeitando a ordem estabelecida no problema anterior?<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\n[tex]\\dfrac{10!}{5!5!}=252[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
\n
- Podemos ent\u00e3o obter a quantidade dessas filas nas quais os meninos aparecem ordenados de acordo com suas respectivas alturas, dividindo o total resultante da ordena\u00e7\u00e3o das meninas segundo as suas alturas por [tex]7![\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n
- Para colocar as meninas em ordem crescente basta dividirmos esse total por [tex]5![\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
- O total de anagramas em que o [tex]A[\/tex] e o [tex]E[\/tex] est\u00e3o em ordem alfab\u00e9tica \u00e9 [tex]\\dfrac{6!}{2!}[\/tex].