\n
Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n
\n
Vamos imaginar os n\u00fameros [tex]1\\, ,\\,2\\, , \\, 3\\,, \\, \\dots\\, , \\, 2n[\/tex] enfileirados ordenadamente. Retiraremos da fila [tex]n[\/tex] n\u00fameros consecutivos.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob383.png\")
<\/p>\n
►<\/span> Observe inicialmente que:<\/p>\n\n- quanto mais \u00e0 esquerda da fila estiverem os n\u00fameros que retiraremos, maior ser\u00e1 a soma dos remanescentes (v\u00e3o sobrar os maiores);<\/li>\n
- quanto mais \u00e0 direita da fila estiverem os n\u00fameros que retiraremos, menor ser\u00e1 a soma dos remanescentes (v\u00e3o sobrar os menores).<\/li>\n<\/ul>\n
Dessa forma, <\/p>\n
\n- a menor soma poss\u00edvel para os n\u00fameros remanescentes acontecer\u00e1 quando eliminarmos os [tex]n[\/tex] \u00faltimos n\u00fameros; <\/li>\n
- a maior soma poss\u00edvel para os n\u00fameros remanescentes acontecer\u00e1 quando eliminarmos os [tex]n[\/tex] primeiros n\u00fameros. <\/li>\n<\/ul>\n
Vamos calcular essas duas somas e analis\u00e1-las usando a hip\u00f3tese de que a soma dos n\u00fameros remanescentes deve ser [tex]1615[\/tex] e, assim, a soma [tex]1615[\/tex] n\u00e3o pode ser "menor do que a menor soma poss\u00edvel" e nem "maior do que a maior soma poss\u00edvel".<\/p>\n
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] A soma m\u00ednima \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad 1+2+3+\\dots+n=\\dfrac{(n+1)\\cdot n}{2}=\\dfrac{n^2+n}{2}.[\/tex]<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob383_1.png\")
<\/p>\n
Assim, como a soma dos n\u00fameros remanescentes deve ser [tex]1615[\/tex], particularmente [tex]\\dfrac{n^2+n}{2} \\leqslant 1615[\/tex], ou seja, [tex] \\boxed{n^2+n \\leqslant 3230}.[\/tex]
\nPara resolvermos a desigualdade [tex] \\boxed{n^2+n \\leqslant 3230}[\/tex], poder\u00edamos fazer o estudo da varia\u00e7\u00e3o de sinal da express\u00e3o [tex] n^2+n -3230[\/tex]; mas vamos tomar um caminho mais curto, observando que [tex] \\sqrt{3230} \\approx 56,8.[\/tex]
\nComo [tex]56^2+56=3192\\leqslant 3230\\,[\/tex], [tex]\\,57^2+57=3606 \\geqslant 3230\\,[\/tex] e [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, podemos concluir que [tex]~\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$n \\leqslant 56$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n
[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] A soma m\u00e1xima \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}(n+1)+(n+2)+\\dots +(2n)&=(n+1)+(n+2)+\\dots +(n+n)\\\\
\n&=(\\underbrace {n+\\dots+ n}_{n\\text{ vezes}})+(1+2+\\dots+n)\\\\
\n&=n^2+\\dfrac{n^2+n}{2}=\\dfrac{3n^2+n}{2}
\n\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
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<\/p>\n
Como a soma dos n\u00fameros remanescentes deve ser [tex]1615[\/tex], particularmente [tex]\\dfrac{3n^2+n}{2} \\geqslant 1615[\/tex], ou seja, [tex] \\boxed{3n^2+n \\geqslant 3230}.[\/tex]
\nAqui, para resolvermos a desigualdade [tex] \\boxed{3n^2+n \\geqslant 3230}[\/tex], faremos o estudo da varia\u00e7\u00e3o de sinal da express\u00e3o [tex] \\boxed{3n^2+n -3230}.[\/tex] Para isso, vamos observar o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x)=3x^2+x -3230[\/tex], que sabemos ser uma par\u00e1bola, e responder a seguinte pergunta:<\/p>\n
\n- Para que valores de [tex]x[\/tex] temos [tex]f(x)\\geqslant 0[\/tex]?<\/li>\n<\/ul>\n
Para tra\u00e7ar o gr\u00e1fico de [tex]\\, f[\/tex] e analisar a varia\u00e7\u00e3o de sinal, vamos precisar das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o de segundo grau [tex]3x^2+x -3230=0.[\/tex] S\u00e3o elas:
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{1^2-4\\cdot 3\\cdot (-3230)}}{6}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{38761}}{6} \\\\
\n \\qquad x_1\\dfrac{-1-\\sqrt{38761}}{6} \\approx -32,98 \\qquad \\text{e}\\qquad x_2=\\dfrac{-1+\\sqrt{38761}}{6}\\approx 32,65 [\/tex]<\/p>\n
Na imagem a seguir, \u00e0 esquerda, vemos parte do gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex]. \u00c0 direita, vemos o mesmo gr\u00e1fico com uma amplia\u00e7\u00e3o do eixo [tex]Ox[\/tex], destacando os valores de [tex]x[\/tex] para os quais [tex]f(x)\\geqslant 0.[\/tex] <\/p>\n
![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob383_3.png\")
<\/p>\n
Lembre-se de que [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; assim, os valores de [tex]x[\/tex] que nos interessam s\u00e3o os n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos do intervalo [tex][x_2,+\\infty[.[\/tex] Assim, [tex]~\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$n \\geqslant 33$}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
Portanto, utilizando o fato de a soma [tex]1615[\/tex] n\u00e3o pode ser "menor do que a menor soma poss\u00edvel" e nem "maior do que a maior soma poss\u00edvel", conclu\u00edmos que:<\/p>\n
[tex]\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$33 \\leqslant n \\leqslant 56$}\\,.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]\n<\/p>\n
►<\/span> Agora, vamos voltar \u00e0 situa\u00e7\u00e3o geral do problema e supor que, dos [tex]n[\/tex] n\u00fameros removidos, [tex]k+1[\/tex] seja o primeiro.<\/p>\n<\/p>\n
Assim, segue que:
\n[tex]\\qquad 1615=\\left(1+2+\\cdots+2n\\right)-\\left[(k+1)+(k+2)+\\cdots+(k+n)\\right]\\\\
\n\\qquad 1615=\\dfrac{(2n+1)\\cdot 2n}{2}-\\left[k \\cdot n+(1+2+\\cdots +n)\\right]\\\\
\n\\qquad 1615=\\dfrac{(2n+1)\\cdot 2n}{2}-\\left[k \\cdot n+\\dfrac{(n+1)\\cdot n}{2}\\right]\\\\
\n\\qquad 1615=\\dfrac{(2n+1)\\cdot 2n}{2}-\\left[\\dfrac{2k \\cdot n+(n+1)\\cdot n}{2}\\right]\\\\
\n\\qquad 3230=\\left[(2n+1)\\cdot 2n\\right]-\\left[2k \\cdot n+(n+1)\\cdot n \\right]\\\\
\n\\qquad 3230=(2n+1)\\cdot 2n- n \\cdot \\left[2k +(n+1)\\right]\\\\
\n\\qquad \\dfrac{3230}{n}=(2n+1)\\cdot 2- \\left(2k +n+1\\right)\\\\
\n\\qquad \\dfrac{3230}{n}=4n+2-2k-n-1\\\\
\n\\qquad \\dfrac{3230}{n}=3n-2k+1.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nNote que [tex]3n-2k+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro, assim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], podemos concluir que [tex] \\dfrac{3230}{n}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero inteiro (mais especificamente, um n\u00famero natural). Dessa forma, [tex]n[\/tex] \u00e9 um divisor positivo de [tex]3230[\/tex]; vamos, ent\u00e3o, determinar quais s\u00e3o esses divisores e, para isso, faremos a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]3230[\/tex] em fatores primos e, a partir dela, determinaremos todos os divisores positivos de [tex]3230[\/tex].<\/p>\n
\n\n| \n \n[tex]\\begin{array}{r|l} 3230& 2 \\\\1615 & 5 \\\\323& 17 \\\\19 & 19 \\\\1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/td>\n | \n [tex]\\begin{array}{c} \\hspace{1.4 cm} \\end{array} \\begin{array}{l} \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \\, \\\\ \\hline \\end{array}[\/tex]
\n[tex] \\begin{array}{r|l} 3230 & 2 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\\\
\n1615& 5 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{5} \\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{10}\\\\
\n323& 17 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{17}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{34} \\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{85}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{170}\\\\
\n19 & 19 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{19} \\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{38}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{95}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{190}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{323}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{646}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1615}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3230}\\\\
\n1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Perceba que, dentre os divisores positivos de [tex]3230[\/tex], destacados em azul, os que satisfazem as desigualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] s\u00e3o o [tex]34[\/tex] e o [tex]38.[\/tex]
\nFinalmente, veja que, de [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]:<\/p>\n |
![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob383_5.png\")
\n<\/td>\n<\/tr>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob383_6.png\")
\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n