{"id":142184,"date":"2019-12-06T02:38:45","date_gmt":"2019-12-06T04:38:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=142184"},"modified":"2023-06-10T07:24:30","modified_gmt":"2023-06-10T10:24:30","slug":"problemao-percursos-para-a-casa-de-joao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-percursos-para-a-casa-de-joao\/","title":{"rendered":".Problema: Percursos para a casa de Jo\u00e3o"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Na figura abaixo, temos a planta de uma regi\u00e3o de um bairro, sendo que os pontos assinalados com as letras [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex], [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{C} [\/tex] s\u00e3o, respectivamente,  a academia, o supermercado e a casa de Jo\u00e3o. Ele quer percorrer o caminho  do ponto [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] ao ponto [tex]\\textcolor{red}{C}[\/tex] passando por [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] com as seguintes restri\u00e7\u00f5es:  ele pode ir da esquerda para a direita e de baixo para cima. Quantos caminhos diferentes Jo\u00e3o poderia percorrer de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] at\u00e9 [tex]\\textcolor{red}{C}[\/tex]?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/mapa-do-bairro1.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"365\" height=\"282\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137271\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/mapa-do-bairro1.png 365w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/mapa-do-bairro1-300x232.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 365px) 100vw, 365px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\"style=\"margin:40px\">\n<p class=\"c3 tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> <strong>Lembretes:<\/strong> <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"99\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma <strong><em>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex].<br \/>\nE o legal \u00e9 que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.<\/p>\n<ul>\n<li>O n\u00famero de Combina\u00e7\u00f5es simples de [tex]n[\/tex] elementos, tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex], \u00e9 denotado por [tex]C_{n\\, ,\\, r}[\/tex] ou [tex]C_n^r[\/tex] e assim definido:<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N}   \\text{ e  }\\, r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<p>O quociente [tex]\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!}[\/tex] tamb\u00e9m pode ser denotado por  [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex]  e nesse caso \u00e9 denominado <strong><em>coeficiente binomial<\/em><\/strong> ou <strong><em>n\u00famero binomial<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para duas decis\u00f5es<\/strong>:<br \/>\nSe uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> pode ser tomada de [tex] m [\/tex] maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o <strong>D1<\/strong>, uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] n [\/tex] maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es <strong>D1<\/strong> e <strong>D2<\/strong> \u00e9 igual a [tex]~\\boxed{ m \\times n}\\, . [\/tex]\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:33px;\">\n<p class=\"tit\"style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos analisar isoladamente as quadras a serem percorridas de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] at\u00e9 [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] e de [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] at\u00e9 [tex]\\textcolor{red}{C}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li> Qualquer que seja o percurso escolhido de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex]  at\u00e9 [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex], Jo\u00e3o dever\u00e1 caminhar [tex]2[\/tex] quadras da esquerda para a direita e [tex]3[\/tex] quadras para cima. Al\u00e9m disso, em cada esquina, Jo\u00e3o deve escolher: vou &#8220;para cima&#8221; ou &#8220;para a direita&#8221;?<br \/>\n\tPara ir de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] at\u00e9 [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex], com as restri\u00e7\u00f5es impostas,  temos um total de [tex]2+ 3=5[\/tex] quadras  a serem percorridas. Em exatamente [tex] 3 [\/tex] delas, Jo\u00e3o ir\u00e1 para cima, sendo que a decis\u00e3o de ir para cima pode ser tomada de qualquer esquina saindo de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] at\u00e9 chegar em [tex]\\textcolor{red}{B}.[\/tex] Perceba que, escolhidas as [tex]3[\/tex] quadras nas quais Jo\u00e3o ir\u00e1 para cima, as outras [tex]2[\/tex] ficam previamente determinadas; assim, do conjunto de percursos que envolvem [tex]5[\/tex] quadras, Jo\u00e3o pode  selecionar [tex]3[\/tex] desses para serem percursos para cima. Logo, h\u00e1  <\/li>\n<p>[tex] \\qquad \\qquad  {\\left( \\begin{array}{c}  5 \\\\ 3  \\end{array} \\right)}  = \\dfrac{5!}{ 3!\\cdot 2!} = \\dfrac{ 5 \\cdot 4 \\cdot 3!}{ 3!\\cdot 2!} = \\dfrac{ 5  \\cdot 4}{ 2} =10   [\/tex] percursos distintos saindo de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] e chegando em [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex].<\/p>\n<li> De maneira an\u00e1loga, chegando em [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex], Jo\u00e3o dever\u00e1 caminhar [tex]5[\/tex] quadras da direita para a esquerda e  [tex]2[\/tex] quadras para cima para chegar no ponto [tex]\\textcolor{red}{C}.[\/tex] Aqui tamb\u00e9m, escolhendo-se duas quadras, as outras cinco ficam previamente determinadas. Portanto, h\u00e1 <\/li>\n<p>[tex]  \\qquad \\qquad   {\\left( \\begin{array}{c}  7 \\\\  2  \\end{array} \\right)}  = \\dfrac{7!}{ 5!\\cdot 2!} = \\dfrac{ 7 \\cdot 6 \\cdot 5!}{ 5!\\cdot 2!} = \\dfrac{ 7 \\cdot 6}{ 2} =21   [\/tex] percursos distintos saindo de [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex]  e chegando em [tex]\\textcolor{red}{C}.[\/tex]\n<\/ul>\n<p>Finalmente, segue do Princ\u00edpio Multiplicativo que Jo\u00e3o pode fazer [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10 \\cdot 21=210$} [\/tex] percursos diferentes saindo de [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] e indo at\u00e9  [tex]\\textcolor{red}{C}[\/tex], passando por [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Na figura abaixo, temos a planta de uma regi\u00e3o de um bairro, sendo que os pontos assinalados com as letras [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex], [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{C} [\/tex] s\u00e3o, respectivamente, a academia, o supermercado e a casa de Jo\u00e3o. Ele quer percorrer o caminho do ponto [tex]\\textcolor{red}{A}[\/tex] ao &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-percursos-para-a-casa-de-joao\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":732,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-142184","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/142184","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/732"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=142184"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/142184\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194106,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/142184\/revisions\/194106"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=142184"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}