{"id":14204,"date":"2014-02-09T21:37:08","date_gmt":"2014-02-09T23:37:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=14204"},"modified":"2023-01-22T01:53:45","modified_gmt":"2023-01-22T04:53:45","slug":"problema-olimpico-nivel-b-soma-de-numeros-consecutivos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-b-soma-de-numeros-consecutivos\/","title":{"rendered":".Problema Ol\u00edmpico – N\u00edvel B: Soma de n\u00fameros consecutivos"},"content":{"rendered":"
\n

Problema<\/strong><\/p>\n

\n

Paulo escreve ordenadamente 40 inteiros consecutivos.
\nSabendo-se que a soma dos vinte primeiros n\u00fameros escritos \u00e9 110, calcular a soma de todos os quarenta n\u00fameros escritos.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

\n

Observe que, a partir do vig\u00e9simo n\u00famero dentre os 40 consecutivos, temos que os pr\u00f3ximos vinte s\u00e3o os anteriores somados um a um com [tex]20[\/tex].
\nEnt\u00e3o, se os vinte primeiros s\u00e3o [tex]x,\\; x+1,\\; x+2,\\; …\\; ,\\; x+19[\/tex], os pr\u00f3ximos vinte ser\u00e3o:
\n[tex]\\quad (x)+20, \\;(x+1)+20, \\;(x+2)+20,\\; …\\;, \\;(x+19)+20[\/tex].
\nAssim, como a soma dos vinte primeiros \u00e9 [tex]110[\/tex], a soma dos \u00faltimos vinte ser\u00e1 [tex]110+(20\\cdot 20)=510[\/tex] e, dessa forma, a soma [tex]S[\/tex] de todos os quarenta n\u00fameros escritos por Paulo \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad \\boxed{S=110+510=620}[\/tex].
\nMas vamos explicitar os c\u00e1lculos:
\n[tex]
\n\\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)+\\\\
\n\\qquad \\quad +\\textcolor{red}{\\left[(x+20)+(x+21)+\\cdots+(x+39)\\right]}\\\\
\n\\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)+\\\\
\n\\qquad \\quad +\\textcolor{red}{[(x+0+20)+(x+1+20)+\\cdots+(x+19+20)]}\\\\
\n\\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)+\\\\
\n\\qquad \\quad +\\textcolor{red}{\\left[x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)+ \\overbrace{20+20+\\cdots+20+20}^{20}\\right]}\\\\
\n\\qquad S= \\left[x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)\\right]+\\\\
\n\\qquad \\quad +\\textcolor{red}{\\left[x+(x+1)+ (x+2)+\\cdots+(x+19)\\right]+20\\cdot20}\\\\
\n\\qquad S= 110+\\textcolor{red}{110+400}\\\\
\n\\qquad S=620.[\/tex]
\nPortanto, a soma dos quarenta n\u00fameros em quest\u00e3o \u00e9 [tex]620[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Matheus Cesar Vieira Barros<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema Paulo escreve ordenadamente 40 inteiros consecutivos. Sabendo-se que a soma dos vinte primeiros n\u00fameros escritos \u00e9 110, calcular a soma de todos os quarenta n\u00fameros escritos.   Solu\u00e7\u00e3o Observe que, a partir do vig\u00e9simo n\u00famero dentre os 40 consecutivos, temos que os pr\u00f3ximos vinte s\u00e3o os anteriores somados um a um com [tex]20[\/tex]. Ent\u00e3o, … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-14204","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14204","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14204"}],"version-history":[{"count":51,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14204\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":183335,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14204\/revisions\/183335"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14204"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}