{"id":141811,"date":"2019-11-18T18:28:53","date_gmt":"2019-11-18T20:28:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=141811"},"modified":"2024-06-23T06:31:57","modified_gmt":"2024-06-23T09:31:57","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-versateis","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-versateis\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros vers\u00e1teis"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 1\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(VIII ONEM<\/strong>, 2011 – Adaptado) Vejam que propriedade interessante o n\u00famero [tex]1037[\/tex] tem:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Perceberam?<\/p>\n

A soma de [tex]1037[\/tex] com [tex]7301[\/tex] \u00e9 um pal\u00edndromo<\/em> (ou capicua), isto \u00e9, um n\u00famero que permanece o mesmo quando lemos os seus d\u00edgitos de \u201cfrente para tr\u00e1s\u201d ou de \u201ctr\u00e1s para frente\u201d.
\nPor esse motivo, [tex]1037[\/tex] \u00e9 dito um n\u00famero vers\u00e1til<\/em><\/strong>, de acordo com a seguinte defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

Um n\u00famero natural de quatro d\u00edgitos \u00e9 dito vers\u00e1til<\/em><\/strong> se n\u00e3o for um m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex] e, ao ser somado com o n\u00famero que se obt\u00e9m da invers\u00e3o da ordem de seus algarismos, obt\u00e9m-se um pal\u00edndromo de quatro d\u00edgitos.<\/div>\n

\n

Quantos n\u00fameros vers\u00e1teis de quatro d\u00edgitos existem?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Lembrete:<\/strong> <\/p>\n

\"explicador_p\" ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo (para duas decis\u00f5es) <\/strong>:
\nSe uma decis\u00e3o A<\/strong> pode ser tomada de [tex] m [\/tex] maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o A<\/strong>, uma decis\u00e3o B<\/strong> puder ser tomada de [tex] n [\/tex] maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es A<\/strong> e B<\/strong> \u00e9 igual a [tex]~\\boxed{ m \\times n}\\, . [\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Seja [tex]abcd[\/tex] um n\u00famero vers\u00e1til. (Antes de prosseguir, observe que aqui a nota\u00e7\u00e3o [tex]abcd[\/tex] n\u00e3o indica um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de quatro algarismos no sistema decimal.)<\/span>
\nAssim, segundo a defini\u00e7\u00e3o dada no problema, [tex]P=abcd+dcba[\/tex] \u00e9 um pal\u00edndromo com quatro algarismos.
\nVamos observar os algarismos de milhar, centena, dezena e unidade da soma [tex]P=abcd+dcba[\/tex] utilizando o esqueminha da adi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{c c c c}
\n\\textcolor{red}{Mi}&\\textcolor{red}{Ce}&\\textcolor{red}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
\n\\,a&b&c&d\\,\\\\
\n\\,d&c&b&a\\,\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}\\,+[\/tex]<\/p>\n

\n