{"id":141808,"date":"2019-11-30T18:20:20","date_gmt":"2019-11-30T20:20:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=141808"},"modified":"2024-06-23T06:36:06","modified_gmt":"2024-06-23T09:36:06","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-do-trapezio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-do-trapezio\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: \u00c1rea do trap\u00e9zio"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Calcule a medida aproximada, em cent\u00edmetros quadrados, da \u00e1rea do trap\u00e9zio is\u00f3sceles [tex]ABCD[\/tex] mostrado na figura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Lembretes:<\/strong> <\/p>\n

\"explicador_p\"
\n ✐ <\/span>Para solucionar este problema, vamos precisar de uma das rela\u00e7\u00f5es entre as medidas dos lados e dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Vale a pena recordar essas rela\u00e7\u00f5es!
\nSeja, ent\u00e3o, um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], cujos lados t\u00eam comprimentos [tex]a,\\, b,\\, c\\, [\/tex] e os \u00e2ngulos agudos t\u00eam medidas [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex], conforme indicado na figura.
\nEnt\u00e3o:
\n\"\"<\/p>\n

\n

[tex]\\bullet \\, sen\\, \\hat{A}=sen\\, \\alpha=\\dfrac{a}{c}=cos\\, \\beta=cos\\, \\hat{B}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\bullet \\, cos\\, \\hat{A}=cos\\, \\alpha=\\dfrac{b}{c}=sen\\, \\beta=sen\\, \\hat{B}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\bullet \\, tan\\, \\hat{A}=tan\\, \\alpha=\\dfrac{a}{b}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\bullet \\, tan\\, \\hat{B}=tan\\, \\beta=\\dfrac{b}{a}[\/tex]<\/p>\n

\n

✐ <\/span>Congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos:<\/strong>
\nSe dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.
\n ✐ <\/span>Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

\n

A medida da \u00e1rea de um trap\u00e9zio pode ser calculada utilizando-se a seguinte express\u00e3o: <\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{\\left(\\text{base maior+base menor}\\right)\\times \\text{altura}}{2}\\,\\,.[\/tex]<\/p>\n

Das tr\u00eas medidas que aparecem nessa f\u00f3rmula, j\u00e1 temos o comprimento da chamada base menor, [tex]20\\,\\text{cm}[\/tex], e comprimento da altura, [tex]15\\,\\text{cm}.[\/tex]
\nVamos, ent\u00e3o, obter a medida que falta: o comprimento da base maior, ou seja, o comprimento de [tex]\\overline{AB}.[\/tex]
\nPara isso, sejam [tex]E[\/tex] e [tex]F[\/tex] pontos de [tex]\\overline{AB}[\/tex] tais que [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{DE}[\/tex] sejam perpendiculares, assim como [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{CF}.[\/tex] Ent\u00e3o, [tex]DE=CF=15\\,\\text{cm}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como o trap\u00e9zio \u00e9 is\u00f3sceles, ent\u00e3o [tex]AD=BC[\/tex]. Com isso, os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]BFC[\/tex] s\u00e3o congruentes e, portanto a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{B}F\\,[\/tex] \u00e9 [tex]\\,30^\\circ[\/tex] e [tex]\\,AE=FB.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Utilizando a defini\u00e7\u00e3o de tangente dada nos Lembretes, temos que [tex]tan\\,30^\\circ=\\dfrac{DE}{AE}\\,[\/tex] e, consultando uma tabela trigonom\u00e9trica, temos que [tex] tan\\,30^\\circ=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}[\/tex]; logo, segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\quad tan\\,30^\\circ=\\dfrac{DE}{AE}\\\\
\n\\quad \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=\\dfrac{15}{AE}\\\\
\n\\quad AE=\\dfrac{15}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\\\
\n\\quad AE=\\dfrac{45}{\\sqrt{3}}=\\dfrac{45 \\times \\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\times \\sqrt{3}}=\\dfrac{45 \\times \\sqrt{3}}{3}=15\\,\\sqrt{3}\\,\\,\\text{cm}.\\\\[\/tex]
\nJ\u00e1 podemos obter a medida da base maior do trap\u00e9zio:
\n[tex]\\quad AB=AE+EF+FB\\\\
\n\\quad AB=15\\,\\sqrt{3}+20+15\\,\\sqrt{3}\\\\
\n\\quad AB=30\\,\\sqrt{3}+20\\,\\,\\text{cm}.\\\\[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

Finalmente, a medida [tex]S[\/tex] da \u00e1rea do trap\u00e9zio \u00e9: <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad S= \\dfrac{\\left(\\text{base maior+base menor}\\right)\\times \\text{altura}}{2}\\\\
\n\\qquad S= \\dfrac{\\left(\\left(30\\,\\sqrt{3}+20\\right)+20\\right)\\times 15}{2}\\\\
\n\\qquad S= \\left(15\\,\\sqrt{3}+20\\right)\\times 15\\\\
\n\\qquad S=225\\,\\sqrt{3}+300\\,\\,\\text{cm}^2[\/tex]
\nou seja, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S\\approx 689,71\\,\\text{cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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