{"id":141610,"date":"2019-11-16T21:44:24","date_gmt":"2019-11-16T23:44:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=141610"},"modified":"2024-06-22T01:23:59","modified_gmt":"2024-06-22T04:23:59","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-parafusos-e-pregos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-parafusos-e-pregos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Parafusos e pregos"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Uma loja de ferragens est\u00e1 promovendo uma grande liquida\u00e7\u00e3o. Seu Bira, um ex\u00edmio marceneiro, se lembrou de que precisava de parafusos e pregos e entrou na loja para aproveitar a liquida\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

O quilo de parafusos do tipo de que ele precisava est\u00e1 sendo vendido por R$ 20,00 e o quilo de pregos por R$ 15,00. Cada prego pesa 2,5 gramas e cada parafuso pesa 4 gramas.
\nSeu Bira gastou R$120,00 com a compra e observou que o n\u00famero de pregos que ele estava levando excedia o n\u00famero de parafusos em 850 unidades.
\nQuanto o seu Bira gastou com os parafusos que comprou?<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n

Sejam [tex]PA[\/tex] e [tex]PR[\/tex] as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
\nAssim, pelos dados do problema, [tex]\\boxed{PA+PR=120}\\,.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nVamos denotar por [tex]a[\/tex] a quantidade de parafusos que seu Bira comprou e, por [tex]r[\/tex], a de pregos.
\nAgora, pelos dados do problema, [tex]\\boxed{r=a+850}.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nPara resolvermos o problema, vamos, inicialmente, utilizar duas regrinhas de tr\u00eas simples para determinarmos o pre\u00e7o de cada prego e cada parafuso.
\nVamos l\u00e1, e lembre-se de que em [tex]1[\/tex] quilo temos [tex]1000[\/tex] gramas!<\/p>\n\n\n
\n
\n

Pre\u00e7o de cada prego <\/strong><\/p>\n

\n

Vamos denotar por [tex]x[\/tex] o pre\u00e7o de cada prego.
\nComo cada prego pesa [tex]2,5\\,g[\/tex], temos a seguinte regra de tr\u00eas:<\/p>\n

\n [tex]\\begin{array}{c c c}
\n 1\\,kg=1000\\,g & \\text{——–} & R$\\,15,00 \\\\
\n 2,5\\,g & \\text{——–} & x \\quad \\end{array}[\/tex]\n<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\qquad 1000\\,x= 2,5 \\times 15[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\qquad x =\\dfrac{ 2,5 \\times 15}{1000}=0,0375\\,\\text{ reais} [\/tex].<\/p><\/div>\n<\/td>\n

\n
\nPre\u00e7o de cada parafuso<\/strong><\/p>\n

\n

Vamos denotar por [tex]y[\/tex] o pre\u00e7o de cada parafuso.
\nComo cada parafuso pesa [tex]4\\,g[\/tex], temos a seguinte regra de tr\u00eas:<\/p>\n

\n [tex]\\begin{array}{c c c}
\n 1\\,kg=1000\\,g & \\text{——–} & R$\\,20,00 \\\\
\n 4\\,g & \\text{——–} & y \\end{array}[\/tex]\n<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\qquad 1000\\,y= 4 \\times 20[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\qquad y =\\dfrac{ 4 \\times 20}{1000}=0,08\\, \\text{ reais} [\/tex].<\/p><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Como seu Bira comprou [tex]r[\/tex] pregos e [tex]a[\/tex] parafusos, ent\u00e3o <\/p>\n

[tex]\\,\\boxed{PR=0,0375\\,r}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\boxed{PA=0,08\\,a}\\,.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] <\/p>\n

Dessa forma, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que <\/p>\n

[tex]0,0375\\,r+0,08\\,a=120.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]<\/p>\n

Mas, de [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], sabemos que [tex]r=a+850[\/tex]; assim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 0,0375\\,(a+850)+0,08\\,a=120[\/tex]
\n[tex]\\qquad 0,0375\\,a+31,875+0,08\\,a=120[\/tex]
\n[tex]\\qquad 0,0375\\,a+0,08\\,a=120-31,875[\/tex]
\n[tex]\\qquad 0,1175\\,a=88,125[\/tex]
\n[tex]\\qquad a=\\dfrac{88,125}{0,1175}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a=750.[\/tex]
\nPelo exposto, seu Bira comprou [tex]750[\/tex] parafusos ao pre\u00e7o de [tex]0,08\\, reais[\/tex] cada; logo, de [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], conclu\u00edmos que:
\n[tex]\\qquad PA=0,08\\,a[\/tex]
\n[tex]\\qquad PA=0,08 \\times 750=60.[\/tex]
\nPortanto, seu Bira gastou [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\\$\\,60,00$}[\/tex] com os parafusos que comprou.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\n

Embora matematicamente correta, a Solu\u00e7\u00e3o 1 n\u00e3o seria usual no dia a dia das pessoas, uma vez que n\u00e3o \u00e9 pr\u00e1tico se vender ou comprar parafusos utilizando o valor unit\u00e1rio de cada um!
\nVamos, ent\u00e3o, resolver o problema de uma maneira diferente e, para isso, vamos supor mais uma vez que [tex]PA[\/tex] e [tex]PR[\/tex] sejam as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
\nAssim, utilizaremos novamente a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{PA+PR=120}\\,.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nVamos fazer duas observa\u00e7\u00f5es importantes, a partir dos dados do problema:<\/p>\n