{"id":141469,"date":"2019-11-16T02:12:26","date_gmt":"2019-11-16T04:12:26","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=141469"},"modified":"2024-06-22T01:06:11","modified_gmt":"2024-06-22T04:06:11","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-algarismo-de-uma-diferenca","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-algarismo-de-uma-diferenca\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um algarismo de uma diferen\u00e7a"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220605\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEmbora  os n\u00fameros naturais [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00e3o sejam m\u00faltiplos de [tex]10 [\/tex], o produto entre eles \u00e9 uma pot\u00eancia de [tex]10. [\/tex]<br \/>\nSe [tex]x \\gt y [\/tex], que algarismo \u00edmpar <strong>N\u00c3O<\/strong> pode ser o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]x-y \\,[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSejam  [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]10 [\/tex] tais que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x\\cdot y=10^n[\/tex], com [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural n\u00e3o nulo.<br \/>\nDessa forma, os \u00fanicos n\u00fameros primos que entram na decomposi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] s\u00e3o o [tex]2[\/tex] e o  [tex]5.[\/tex] Mas perceba que tanto [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00e3o podem ter simultaneamente fatores [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] em suas decomposi\u00e7\u00f5es, pois, se assim o fosse, eles seriam m\u00faltiplos de [tex]10.[\/tex]<br \/>\nCom isso [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] s\u00e3o da forma [tex]2^n[\/tex] e [tex]5^n[\/tex] e como [tex]x \\gt y [\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{y=2^n}[\/tex] e [tex]\\boxed{x=5^n}.[\/tex]<br \/>\nParticularmente, veja que:<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]n=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=2^1=2[\/tex], [tex]x=5^1=5[\/tex] e, portanto, [tex]x-y=\\textcolor{red}{3}.[\/tex]<\/li>\n<li>Se [tex]n=2[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=2^2=4[\/tex], [tex]x=5^2=25[\/tex] e, portanto, [tex]x-y=2\\textcolor{red}{1}.[\/tex]<\/li>\n<li>Se [tex]n=3[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=2^3=8[\/tex], [tex]x=5^3=125[\/tex] e, portanto, [tex]x-y=11\\textcolor{red}{7}.[\/tex]<\/li>\n<li>Se [tex]n=4[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=2^4=16[\/tex], [tex]x=5^4=625[\/tex] e, portanto, [tex]x-y=60\\textcolor{red}{9}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>A partir desses exemplos j\u00e1 vemos que o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]x-y[\/tex] pode ser [tex]1,3,7[\/tex] ou [tex]9.[\/tex] Assim, o \u00fanico candidato a N\u00c3O ser o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]x-y[\/tex] \u00e9 o [tex]5[\/tex].<br \/>\n<strong>Vamos mostrar que isso realmente ocorre!<\/strong><br \/>\nCom efeito, observe que se o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]x-y[\/tex] fosse [tex]5[\/tex], [tex]x-y[\/tex] seria um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]. Nesse caso, como [tex]x=5^n[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], ent\u00e3o  [tex]y[\/tex] necessariamente seria um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], o que \u00e9 imposs\u00edvel, visto que [tex]y=2^n[\/tex] \u00e9 uma pot\u00eancia de [tex]2.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob378.png\" alt=\"\" width=\"584\" height=\"126\" class=\"aligncenter size-full wp-image-141413\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob378.png 584w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/prob378-300x65.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 584px) 100vw, 584px\" \/><\/p>\n<p>Pelo exposto, o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]x-y\\,\\,[\/tex] <strong>N\u00c3O <\/strong> pode ser [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sejam  [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]10 [\/tex] tais que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x\\cdot y=10^n[\/tex], com [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural n\u00e3o nulo.<br \/>\nDessa forma, os \u00fanicos n\u00fameros primos que entram na decomposi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] s\u00e3o o [tex]2[\/tex] e o  [tex]5.[\/tex] Mas perceba que [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00e3o podem ter simultaneamente fatores [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] em suas decomposi\u00e7\u00f5es, pois, se assim o fosse, eles seriam m\u00faltiplos de [tex]10.[\/tex]<br \/>\nCom isso, [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] s\u00e3o da forma [tex]2^n[\/tex] e [tex]5^n[\/tex] e como [tex]x \\gt y [\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{y=2^n}[\/tex] e [tex]\\boxed{x=5^n}.[\/tex]<br \/>\nAgora, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>Como qualquer pot\u00eancia de [tex]5[\/tex] termina em [tex]5[\/tex], ent\u00e3o o \u00faltimo d\u00edgito do [tex]x[\/tex] \u00e9 [tex]5.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<li>Vamos observar o \u00faltimo d\u00edgito das pot\u00eancias de [tex]2[\/tex]:<\/li>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]\\begin{array}{l l l l}<br \/>\n2^1=\\textcolor{red}{2} \\quad\\quad &#038; 2^5=3\\textcolor{red}{2} \\quad\\quad&#038; 2^9=51\\textcolor{red}{2} \\quad\\quad &#038; 2^{13}=819\\textcolor{red}{2}\\,\\,\\dots\\\\<br \/>\n2^2=\\textcolor{red}{4} &#038; 2^6=6\\textcolor{red}{4} &#038;2^{10}=102\\textcolor{red}{4}&#038;2^{14}=1638\\textcolor{red}{4}\\,\\,\\dots\\\\<br \/>\n2^3=\\textcolor{red}{8} &#038;  2^7=12\\textcolor{red}{8} &#038; 2^{11}=204\\textcolor{red}{8} &#038; 2^{15}=3276\\textcolor{red}{8}\\,\\,\\dots\\\\<br \/>\n2^4=1\\textcolor{red}{6} &#038; 2^8=25\\textcolor{red}{6} &#038; 2^{12}=409\\textcolor{red}{6} &#038; 2^{16}=6553\\textcolor{red}{6} \\,\\, \\dots\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p>Perceba que ciclicamente as pot\u00eancias de [tex]2[\/tex] terminam em [tex]\\textcolor{red}{2},\\textcolor{red}{4},\\textcolor{red}{8}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{6}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]\n<\/ul>\n<p>Com base nas conclus\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], vamos esquematizar as quatro situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis para a diferen\u00e7a  [tex]x-y:[\/tex]<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n[tex]\\begin{array}{l l}<br \/>\na\\,\\cdots\\, b &#038; 5\\\\<br \/>\nc\\,\\cdots \\, d &#038; 2\\\\<br \/>\n\\hline \\<br \/>\ne\\,\\cdots \\, f &#038; \\textcolor{red}{3} \\end{array}-[\/tex] [tex]\\quad \\begin{array}{l l}<br \/>\na\\,\\cdots\\, b &#038; 5\\\\<br \/>\nc\\,\\cdots \\, d &#038; 4\\\\<br \/>\n\\hline \\<br \/>\ne\\,\\cdots \\, f &#038; \\textcolor{red}{1} \\end{array}-[\/tex] [tex]\\quad \\begin{array}{l l}<br \/>\na\\,\\cdots\\, b &#038; ^15\\\\<br \/>\nc\\,\\cdots \\, d &#038; 8\\\\<br \/>\n\\hline \\<br \/>\ne\\,\\cdots \\, f &#038; \\textcolor{red}{7} \\end{array}-[\/tex] [tex]\\quad \\begin{array}{l l}<br \/>\na\\,\\cdots\\, b &#038; ^15\\\\<br \/>\nc\\,\\cdots \\, d &#038; 6\\\\<br \/>\n\\hline \\<br \/>\ne\\,\\cdots \\, f &#038; \\textcolor{red}{9} \\end{array}-[\/tex]<\/p>\n<p>Observando os esqueminhas, vemos que o \u00fanico  algarismo \u00edmpar que <strong>N\u00c3O <\/strong> pode ser o d\u00edgito das unidades da diferen\u00e7a [tex]\\, x\u2212y[\/tex] \u00e9 o [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Um-algarismo-de-uma-diferen\u00e7a.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um algarismo de uma diferen\u00e7a.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Embora os n\u00fameros naturais [tex]x [\/tex] e [tex]y [\/tex] n\u00e3o sejam m\u00faltiplos de [tex]10 [\/tex], o produto entre eles \u00e9 uma pot\u00eancia de [tex]10. [\/tex] Se [tex]x \\gt y [\/tex], que algarismo \u00edmpar &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-algarismo-de-uma-diferenca\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-141469","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/141469","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=141469"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/141469\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220607,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/141469\/revisions\/220607"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=141469"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}