{"id":14130,"date":"2014-02-09T19:42:00","date_gmt":"2014-02-09T21:42:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=14130"},"modified":"2023-01-22T01:52:49","modified_gmt":"2023-01-22T04:52:49","slug":"problema-olimpico-nivel-a-uma-multiplicacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-a-uma-multiplicacao\/","title":{"rendered":".Problema Ol\u00edmpico &#8211; N\u00edvel A: Uma multiplica\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;padding-left: 12px;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 25px;\">Na multiplica\u00e7\u00e3o indicada abaixo, as letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] representam algarismos diferentes.<br \/>\nDetermine [tex]A+B+C+D[\/tex].<br \/>\n<strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Letras iguais representam algarismos iguais.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig5.png\" alt=\"fig5\" width=\"392\" height=\"151\" class=\"aligncenter size-full wp-image-14133\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig5.png 392w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig5-300x115.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 392px) 100vw, 392px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: left; padding-left: 12px;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 25px;\">Observando a primeira linha da multiplica\u00e7\u00e3o, podemos perceber que o algarismo das unidades de [tex]D^2[\/tex] \u00e9 [tex]A[\/tex].<br \/>\nObservando a quarta linha da multiplica\u00e7\u00e3o, notamos que o algarismo das unidades de [tex]D \\cdot A[\/tex] \u00e9 [tex]D[\/tex].<br \/>\nAssim, vamos analisar os poss\u00edveis casos :<span style=\"line-height: 30px;\"><br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =0 \\Rightarrow A=0[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex]A \\ne D[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =1 \\Rightarrow A=1[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex]A \\ne D[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =2 \\Rightarrow A=4 \\Rightarrow A \\cdot D = 8[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex] D \\ne 8[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =3 \\Rightarrow A=9 \\Rightarrow A \\cdot D = 27[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex]D \\ne 7[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =4 \\Rightarrow A=6 \\Rightarrow A \\cdot D = 24[\/tex]; (Satisfaz, pois [tex] 4 = D[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =5 \\Rightarrow A=5[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois  [tex]A \\ne D[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =6 \\Rightarrow A=6[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois  [tex]A \\ne D[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =7 \\Rightarrow A=9 \\Rightarrow A \\cdot D = 63[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex] D \\ne 3[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =8 \\Rightarrow A=4 \\Rightarrow A \\cdot D = 32[\/tex]; (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex] D \\ne 2[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, D =9 \\Rightarrow A=1 [\/tex]. (Este caso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois se [tex]A=1, (ABCD)^2[\/tex] teria menos de [tex]8[\/tex] algarismos.)<br \/>\nLogo, [tex]A=6[\/tex] e [tex]D=4[\/tex].<br \/>\nComo  [tex]D=4[\/tex], da segunda e da terceira multiplica\u00e7\u00f5es temos as seguintes rela\u00e7\u00f5es:<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\,  4C[\/tex] possui algarismo das unidades [tex]B[\/tex].<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\,  4B[\/tex] possui algarismo das unidades [tex]C[\/tex].<br \/>\nVamos analisar os casos:<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=0 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 0 = 0 \\Rightarrow C=0 \\Rightarrow 4C = 0[\/tex]; (N\u00e3o satisfaz, pois ter\u00edamos [tex]B=C[\/tex])<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=1 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 1 = 4\\Rightarrow C=4 \\Rightarrow 4C = 16[\/tex]; (N\u00e3o satisfaz, pois [tex]B\\ne 6[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=2 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 2 = 8\\Rightarrow C=8 \\Rightarrow 4C = 32[\/tex]; (Satisfaz!)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=3 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 3 = 12\\Rightarrow C=2 \\Rightarrow 4C = 8[\/tex]; (N\u00e3o satisfaz, pois [tex]B\\ne 8[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=5 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 5 = 20\\Rightarrow C=0 \\Rightarrow 4C = 0[\/tex]; (N\u00e3o satisfaz, pois [tex]B\\ne 0[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=7 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 7 = 28\\Rightarrow C=8 \\Rightarrow 4C = 32[\/tex]; (N\u00e3o satisfaz, pois [tex]B\\ne 2[\/tex].)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=8 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 8 = 32\\Rightarrow C=2 \\Rightarrow 4C = 8[\/tex]; (Satisfaz!)<br \/>\n[tex]\\bullet \\,  \\, B=9 \\Rightarrow D \\cdot B = 4 \\cdot 9 = 36\\Rightarrow C=6 \\Rightarrow 4C = 24[\/tex]. (N\u00e3o satisfaz, pois [tex]B\\ne 4[\/tex].)<br \/>\nLogo, os poss\u00edveis casos s\u00e3o [tex]B=2,C=8[\/tex] ou [tex]B=8,C=2[\/tex], e portanto [tex]A+B+C+D = 6+2+8+4=6+8+2+4 = 20[\/tex].<br \/>\n<\/span><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP <strong>Angelo Donizeti Lorenconi Junior<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 2<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;padding-left: 12px;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\">Uma resolu\u00e7\u00e3o para este problema vem da an\u00e1lise cuidadosa de um processo que fazemos quase que inconscientemente que \u00e9 o algoritmo da multiplica\u00e7\u00e3o. Vamos tentar expor de maneira bem clara. Vejamos.<\/span><\/p>\n<ul><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\"><span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span> Observe que, da indica\u00e7\u00e3o [tex]D \\cdot D \\rightarrow A[\/tex], na primeira linha da multiplica\u00e7\u00e3o, e da indica\u00e7\u00e3o [tex] \\, A \\cdot D \\rightarrow D[\/tex], na quarta linha da multiplica\u00e7\u00e3o, podemos concluir, respectivamente, que:<br \/>\n[tex]\\quad \\rhd[\/tex] o \u00faltimo algarismo de [tex]D \\cdot D[\/tex] \u00e9 [tex]A[\/tex], j\u00e1 que [tex]D \\cdot D =\\square A[\/tex];[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (1)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad\\rhd[\/tex]  o \u00faltimo algarismo de [tex]A \\cdot D[\/tex] \u00e9 [tex]D[\/tex], j\u00e1 que [tex]A \\cdot D =\\square D[\/tex];[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (2)[\/tex]<br \/>\nonde, em cada caso, [tex]\\square[\/tex] representa um algarismo.<br \/>\nAssim, o \u00faltimo algarismo de [tex]D^3[\/tex] \u00e9 [tex]D[\/tex] e com isso eliminamos quatro possibilidades para [tex]D \\, [\/tex]: [tex] \\,  \\, 2 \\,  \\,  \\,  ;  \\,  \\,  \\, 3 \\,  \\,  \\, ;  \\,  \\,  \\, 7 \\,  \\,  \\, ;  \\,  \\,  \\, 8[\/tex].<br \/>\n<span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span> Por outro lado, se [tex]D=0[\/tex] ou [tex]D=1[\/tex] ou [tex]D=5[\/tex] ou [tex]D=6[\/tex], de [tex](1)[\/tex], concluir\u00edamos que [tex]A=D[\/tex], o que contraria a hip\u00f3tese de que [tex]A, B, C, D[\/tex] s\u00e3o algarismos distintos.<br \/>\n<span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span> Se [tex]D=9[\/tex], ter\u00edamos [tex]A=1[\/tex], j\u00e1 que o \u00faltimo algarismo de [tex]D \\cdot D[\/tex] \u00e9 [tex]A[\/tex].<br \/>\nMas se [tex]A=1[\/tex], na quarta linha da multiplica\u00e7\u00e3o ter\u00edamos [tex]A\\cdot D=D[\/tex]; [tex]A\\cdot C=C[\/tex]; [tex]A\\cdot B=B[\/tex] e [tex]A\\cdot A=A[\/tex], ou seja, nessa linha deveriam aparecer apenas quatro algarismos e n\u00e3o cinco como est\u00e1 indicado.<\/span><\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;padding-left: 12px;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\">Pelo exposto, temos uma \u00fanica possibilidade para [tex]D[\/tex], qual seja, [tex]\\fcolorbox{black}{yellow}{D=4} \\, [\/tex].<br \/>\nComo, por <strong>(1)<\/strong> o \u00faltimo algarismo de [tex]D \\cdot D[\/tex] \u00e9 [tex]A[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{LightSteelBlue}{A=6} \\, [\/tex].<br \/>\nMas o que nos revelam a segunda e a terceira linhas da multiplica\u00e7\u00e3o?<\/p>\n<ul><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\"><span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span> Observe que, da indica\u00e7\u00e3o [tex]C \\cdot D \\rightarrow B[\/tex] (segunda linha) e da indica\u00e7\u00e3o [tex] \\, B \\cdot D \\rightarrow C[\/tex] (terceira linha), podemos concluir que:<br \/>\n[tex]\\quad\\rhd[\/tex] [tex]B[\/tex] \u00e9 o \u00faltimo algarismo de [tex]C \\cdot D[\/tex], j\u00e1 que [tex]C \\cdot D =\\square B[\/tex][tex][\/tex];<br \/>\n[tex]\\quad\\rhd[\/tex]  [tex]C[\/tex] \u00e9 o \u00faltimo algarismo de [tex]B \\cdot D[\/tex], j\u00e1 que [tex]B \\cdot D =\\square C[\/tex][tex][\/tex].<\/span><\/ul>\n<p><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\">Sendo [tex]D[\/tex] par, ent\u00e3o [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o pares tamb\u00e9m, assim, analisemos  os pares [tex]0, 2, 8[\/tex] que, ainda, temos a nossa disposi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<ul><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\"><span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span>Se [tex]C=0[\/tex], na segunda linha da multiplica\u00e7\u00e3o ter\u00edamos [tex]0\\cdot D=0[\/tex]; [tex]0\\cdot C=0[\/tex]; [tex]0\\cdot B=0[\/tex] e [tex]0\\cdot A=0[\/tex], ou seja, nessa linha deveriam aparecer apenas quatro algarismos (todos iguais a zero) e n\u00e3o cinco como est\u00e1 indicado.<br \/>\n<span style=\" font-size: 16px;\">&#9679;<\/span>De maneira an\u00e1loga, se  [tex]B=0[\/tex], na terceira linha da multiplica\u00e7\u00e3o ter\u00edamos [tex]0\\cdot D=0[\/tex]; [tex]0\\cdot C=0[\/tex]; [tex]0\\cdot B=0[\/tex] e [tex]0\\cdot A=0[\/tex], ou seja, nessa linha tamb\u00e9m deveriam aparecer apenas quatro algarismos (todos iguais a zero) e n\u00e3o cinco como est\u00e1 indicado.<\/span><\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;padding-left: 12px;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; font-size: 14px; line-height: 30px;\">Assim s\u00f3 ser\u00e3o poss\u00edveis duas situa\u00e7\u00f5es: [tex]\\fcolorbox{black}{Lavender}{B=2} \\, [\/tex] e [tex]\\fcolorbox{black}{DarkKhaki}{C=8} \\, [\/tex] ou [tex]\\fcolorbox{black}{Lavender}{B=8} \\, [\/tex] e [tex]\\fcolorbox{black}{DarkKhaki}{C=2} \\, [\/tex].<br \/>\nDessa forma, se entendermos que estamos fazendo a multiplica\u00e7\u00e3o do n\u00famero [tex]n[\/tex] de quatro algarismos, [tex]n=ABCD[\/tex] por ele pr\u00f3prio temos duas possibilidades para o n\u00famero [tex]n[\/tex]: [tex]n=6284 \\,  \\, [\/tex] ou [tex] \\,  \\, n=6824[\/tex].<br \/>\nPara qualquer uma delas, a resposta do problema \u00e9 [tex]A+B+C+D=6+2+8+4=6+8+2+4=20[\/tex], ou seja, [tex]\\fbox{A+B+C+D=20}.[\/tex]<br \/>\n<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 2px  dotted  #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>V\u00eddeos de apoio<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 14px; color: #6516161;\"> <span style=\"color: #999999;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignleft\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"55\" height=\"82\" \/><\/span><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #999999;\">Este problema envolve a representa\u00e7\u00e3o decimal de um n\u00famero natural.<br \/>\nRelembre as caracter\u00edsticas do sistema decimal <strong>posicional<\/strong> assistindo a estes dois v\u00eddeos: <\/p>\n<ul>\n<li> <a title=\"V\u00eddeo\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/video-p1\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff9900;\"><b>V\u00eddeo1 <\/b><\/span><\/a> <\/li>\n<li> <a title=\"V\u00eddeo\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/video-p11\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff9900;\"><b> V\u00eddeo 2<\/b><\/span><\/a>.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"color: #ff9900;text-align:center\"><strong>Bons estudos!<\/strong><\/p>\n<p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Na multiplica\u00e7\u00e3o indicada abaixo, as letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] representam algarismos diferentes. Determine [tex]A+B+C+D[\/tex]. Observa\u00e7\u00e3o: Letras iguais representam algarismos iguais. &nbsp; Solu\u00e7\u00e3o 1 Observando a primeira linha da multiplica\u00e7\u00e3o, podemos perceber que o algarismo das unidades de [tex]D^2[\/tex] \u00e9 [tex]A[\/tex]. Observando a quarta linha da multiplica\u00e7\u00e3o, notamos que o algarismo das unidades &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-a-uma-multiplicacao\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-14130","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14130","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14130"}],"version-history":[{"count":83,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14130\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15216,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/14130\/revisions\/15216"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14130"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}