\n
Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n\n
(XXVII Olimp\u00edada de Mayo<\/strong> – Nivel 2, 2016)<\/span> No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] foram marcados os pontos [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex] sobre os lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{ AC}[\/tex], respectivamente, tais que [tex]CD=DE=EB=BA[\/tex].
\nSabendo que o \u00e2ngulo [tex]A\\widehat{C}B[\/tex] mede [tex]20^{\\circ}[\/tex], encontre a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\widehat{D}E[\/tex]<\/strong>.<\/p>\n\n<\/div>\n
\n
\n
![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
Lembretes <\/p>\n
\n
(i)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(ii)<\/strong><\/span> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os \u00e2ngulos da base com a mesma medida.<\/p>\nNota\u00e7\u00f5es:<\/strong> <\/span>
\n– Denotaremos a medida do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y. [\/tex]
\n– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n\n<\/div>\n
\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nDe acordo com os dados do problema, podemos ter o tri\u00e2ngulo da figura abaixo. <\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Tri\u00e2nguloa.png\")
<\/p>\n
\n- Sendo o tri\u00e2ngulo [tex]CDE[\/tex] is\u00f3sceles, pois [tex]CD=DE[\/tex], pelo [tex]\\textbf{Lembrete (ii)}[\/tex] temos [tex]D\\widehat{E}C=20^{\\circ}[\/tex]. Pelo [tex]\\textbf{Lembrete (i)}[\/tex], resulta que [tex]C\\widehat{D}E=140^{\\circ}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Tri\u00e2nguloa1.png\")
<\/p>\n
\n- Como [tex]B\\widehat{D}C=180^{\\circ}[\/tex] e o tri\u00e2ngulo [tex]BED[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, pois [tex]DE=EB[\/tex], pelo [tex]\\textbf{Lembrete (ii)}[\/tex] obtemos que [tex]B\\widehat{D}E=D\\widehat{B}E=40^{\\circ}[\/tex]. Novamente, pelo [tex]\\textbf{Lembrete (i)}[\/tex] temos [tex]B\\widehat{E}D=100^{\\circ}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Tri\u00e2nguloa2s.png\")
<\/p>\n
\n- Sendo [tex]C\\widehat{E}A=180^{\\circ}[\/tex], temos que [tex]B\\widehat{E}A=60^{\\circ}[\/tex]. Como o tri\u00e2ngulo [tex]ABE[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, pois [tex]EB=BA[\/tex], pelo [tex]\\textbf{Lembrete (ii)}[\/tex] obtemos que [tex]B\\widehat{A}E=60^{\\circ}[\/tex]. Pelo [tex]\\textbf{Lembrete (i)}[\/tex] temos [tex]A\\widehat{B}E=60^{\\circ}[\/tex]. Notemos que o tri\u00e2ngulo [tex]ABE[\/tex] que \u00e9 is\u00f3sceles \u00e9 tamb\u00e9m equil\u00e1tero. <\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Tri\u00e2nguloa3.png\")
<\/p>\n
\n- Agora, vamos considerar o tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex] e encontrarmos a medida de [tex]A\\widehat{D}E[\/tex].<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Tri\u00e2nguloa4.png\")
<\/p>\n
Vemos que o tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles. Sendo [tex]A\\widehat{E}D=160^{\\circ}[\/tex] e os \u00e2ngulos [tex]E\\widehat{A}D[\/tex] e [tex]A\\widehat{D}E[\/tex] congruentes, ent\u00e3o pelo [tex]\\textbf{Lembrete (i)}[\/tex] temos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A\\widehat{D}E=10^{\\circ}$}[\/tex].<\/ul>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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