{"id":138562,"date":"2019-10-18T19:43:06","date_gmt":"2019-10-18T22:43:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=138562"},"modified":"2023-06-09T03:57:57","modified_gmt":"2023-06-09T06:57:57","slug":"desafio-razao-entre-segmentos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-razao-entre-segmentos\/","title":{"rendered":".Desafio: Raz\u00e3o entre segmentos"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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No quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] a seguir t\u00eam-se [tex]AB=42\\;[\/tex]cm, [tex]BC=48\\;[\/tex]cm, [tex]CD=64\\;[\/tex]cm e [tex]DA=49\\;[\/tex]cm, sendo [tex]P[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o das diagonais [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Qual a raz\u00e3o entre os comprimentos dos segmentos [tex]\\overline{AP}[\/tex] e [tex]\\overline{PC}[\/tex]<\/strong>, sabendo-se que o comprimento da diagonal [tex]\\overline{BD}[\/tex] \u00e9 [tex]56\\;[\/tex]cm?<\/p>\n

\n<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

(1)<\/strong> <\/span> Caso de semelhan\u00e7a L.L.L. (lado – lado – lado):<\/strong> Se os tr\u00eas lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais aos tr\u00eas lados de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o os dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes. (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span>
\n(2)<\/strong><\/span> Teorema da Bissetriz Interna:<\/strong> A bissetriz interna de um tri\u00e2ngulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na figura abaixo, se [tex]\\overline{AD}[\/tex] \u00e9 bissetriz, ent\u00e3o [tex]\\dfrac{BA}{AC}=\\dfrac{BD}{DC}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]\\overline{AB}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]AB[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Vamos desenhar e analisar separadamente os tri\u00e2ngulos [tex]ADB[\/tex] e [tex]BDC[\/tex].
\nNote que podemos reescrever os comprimentos dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ADB[\/tex] como: [tex]AB=6\\cdot7[\/tex], [tex]BD=8\\cdot7[\/tex] e [tex]DA=7\\cdot7[\/tex].
\nDe modo an\u00e1logo, no tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] temos: [tex]BC=6\\cdot8[\/tex], [tex]CD=8\\cdot8[\/tex] e [tex]DB=7\\cdot8[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Repare que os dois tri\u00e2ngulos possuem os comprimentos de seus lados proporcionais \u00e0s medidas [tex]6[\/tex], [tex]7[\/tex] e [tex]8[\/tex]. Assim, pelo Lembrete 1<\/strong><\/span>, conclu\u00edmos que os tri\u00e2ngulos [tex]ADB[\/tex] e [tex]BDC[\/tex] s\u00e3o semelhantes.
\nEm ambos os tri\u00e2ngulos, o lado proporcional \u00e0 medida [tex]6[\/tex] est\u00e1 oposto ao v\u00e9rtice [tex]D[\/tex]. Assim, podemos afirmar que [tex]A\\hat{D}B=B\\hat{D}C[\/tex]. Portanto, no quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex], a diagonal [tex]\\overline{DB}[\/tex] \u00e9 bissetriz do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice em [tex]D[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Por fim, analisando o tri\u00e2ngulo [tex]ADC[\/tex], temos que [tex]\\overline{DP}[\/tex] \u00e9 uma bissetriz interna.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Assim, pelo Lembrete 2<\/strong><\/span>, segue que [tex]\\dfrac{AD}{DC}=\\dfrac{AP}{PC}[\/tex] e, portanto, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{AP}{PC}=\\dfrac{49}{64}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) No quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] a seguir t\u00eam-se [tex]AB=42\\;[\/tex]cm, [tex]BC=48\\;[\/tex]cm, [tex]CD=64\\;[\/tex]cm e [tex]DA=49\\;[\/tex]cm, sendo [tex]P[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o das diagonais [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex]. Qual a raz\u00e3o entre os comprimentos dos segmentos [tex]\\overline{AP}[\/tex] e [tex]\\overline{PC}[\/tex], sabendo-se que o comprimento da diagonal [tex]\\overline{BD}[\/tex] \u00e9 [tex]56\\;[\/tex]cm? Lembretes (1) Caso … <\/p>\n

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