{"id":138550,"date":"2019-11-16T02:47:41","date_gmt":"2019-11-16T04:47:41","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=138550"},"modified":"2024-06-22T01:21:43","modified_gmt":"2024-06-22T04:21:43","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-solido-de-revolucao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-solido-de-revolucao\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um s\u00f3lido de revolu\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

A Figura 1<\/strong> mostra um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] e um ret\u00e2ngulo [tex]BDEF[\/tex], sendo [tex]C[\/tex] um ponto do segmento [tex]BF.[\/tex] As medidas que aparecem na figura est\u00e3o expressas em cent\u00edmetros.
\nAo girarmos a Figura 1<\/strong> em torno do segmento [tex]AD[\/tex], girando [tex]360^\\circ[\/tex], obtemos o s\u00f3lido que aparece na Figura 2<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Considerando o cone e o cilindro que comp\u00f5em o s\u00f3lido mostrado na Figura 2<\/strong>, pergunta-se:
\n(a)<\/strong> Para que valores de [tex]x[\/tex] o volume do cone ser\u00e1 menor que o volume do cilindro?
\n(b)<\/strong> O que podemos concluir a partir da resposta do item anterior?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"\"<\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

\n

✐ <\/span> Volume de um cilindro circular reto cujo comprimento da altura \u00e9 [tex]h[\/tex] e o comprimento do raio da base \u00e9 [tex]r[\/tex]:
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{Volume=\\pi\\,r^2 h}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

✐ <\/span> Volume de um cone circular reto cujo comprimento da altura \u00e9 [tex]h[\/tex] e o comprimento do raio da base \u00e9 [tex]r[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{Volume= \\dfrac{\\pi r^2h}{3}}. [\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Observemos separadamente o cilindro e o cone que comp\u00f5em o s\u00f3lido de revolu\u00e7\u00e3o ilustrado na Figura 2<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

De acordo com as f\u00f3rmulas indicadas nos Lembretes<\/strong><\/span>, podemos calcular os volumes [tex]V_{c\\, i}[\/tex] do cilindro e [tex]V_{c\\, o}[\/tex] do cone como se segue:<\/p>\n\n\n
[tex]\\qquad \\qquad V_{c\\, i}=\\pi\\, r^2 h[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad V_{c\\, i}=\\pi\\cdot (x+1)^2 \\cdot 2\\\\
\n\\qquad \\qquad V_{c\\, i}=2\\pi\\cdot \\left(x^2+2x+1\\right)\\\\
\n\\qquad \\qquad V_{c\\, i}=2\\pi x^2+4\\pi x+2\\pi[\/tex] <\/td>\n		[tex]\\qquad \\quad V_{c\\, o}=\\dfrac{\\pi r^2h}{3}\\\\
\n\\qquad \\quad V_{c\\, o}=\\dfrac{\\pi \\cdot x^2 \\cdot 6}{3}\\\\
\n\\qquad \\quad V_{c\\, o}=\\pi \\cdot x^2 \\cdot 2\\\\
\n\\qquad \\quad V_{c\\, o}=2\\pi x^2 [\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

(a)<\/strong> Para determinarmos para quais valores de [tex]x[\/tex] o volume do cone ser\u00e1 menor que o volume do cilindro, vamos impor a condi\u00e7\u00e3o [tex]V_{c\\, o} \\lt V_{c\\, i}[\/tex]. Vejamos:
\n[tex]\\qquad V_{c\\, o} \\lt V_{c\\, i}\\\\
\n\\qquad \\cancel{2\\pi x^2} \\lt \\cancel{2\\pi x^2}+4\\pi x+2\\pi\\\\
\n\\qquad 0 \\lt 4\\pi x+2\\pi\\\\
\n\\qquad -2\\cancel{\\pi} \\lt 4\\cancel{\\pi}x\\\\
\n\\qquad \\dfrac{-2}{4} \\lt x\\\\
\n\\qquad x \\gt \\dfrac{-1}{2}.[\/tex]
\nMas observe que [tex]x[\/tex] denota uma medida de comprimento, logo representa um valor positivo. Assim, o volume do cone ser\u00e1 menor que o volume do cilindro para todos os valores reais de [tex]x[\/tex] tais que [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x \\gt\\, 0$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

(b)<\/strong> Como no contexto do problema [tex]x[\/tex] \u00e9 uma medida de comprimento, e portanto sempre positiva, para os s\u00f3lidos definidos no problema o volume do cone ser\u00e1 SEMPRE<\/strong> menor que o volume do cilindro.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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