{"id":138346,"date":"2019-10-16T16:18:48","date_gmt":"2019-10-16T19:18:48","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=138346"},"modified":"2024-06-22T01:04:07","modified_gmt":"2024-06-22T04:04:07","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-primo-desafiador","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-primo-desafiador\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um primo desafiador!"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220602\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>Olimp\u00edada Espanhola de Matem\u00e1tica<\/strong>, 2018) Para quais n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] o n\u00famero<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2}[\/tex]<br \/>\n\u00e9 primo?\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Observe, inicialmente, que podemos reescrever assim o n\u00famero [tex]X:[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2+(mn-mn)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=n^2+2019mn+2019m+n-2019m^2-mn[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=\\left(n^2+n-mn\\right)+\\left(2019mn+2019m-2019m^2\\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=n\\left(n+1-m\\right)+2019m\\left(n+1-m\\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad X=\\left(n+2019m\\right)\\left(n+1-m\\right).[\/tex]<br \/>\nComo por hip\u00f3tese [tex]n,m\\geqslant 1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\left(n+2019m\\right)\\gt 1[\/tex]. Assim, para que [tex]X[\/tex] seja um n\u00famero primo, necessariamente<br \/>\n[tex]\\left(n+2019m\\right)[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo <span style=\"color:#FF0000\"> <strong>e<\/strong> <\/span>  [tex]\\left(n+1-m\\right)=\\pm 1.[\/tex] <span style=\"font-size:12px;\">(Se voc\u00ea estranhou a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]\\left(n+1-m\\right)=-1[\/tex], observe que [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o positivos, mas [tex]X[\/tex] pode ser negativo.)<\/span><br \/>\nVamos analisar a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\left(n+1-m\\right)=\\pm 1[\/tex]<\/p>\n<ul>[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Se [tex]\\left(n+1-m\\right)=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n=m[\/tex] e, neste caso, ter\u00edamos<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad n+2019m=n+2019n=2020n=2\\times (1010n).[\/tex]<br \/>\nComo [tex](1010n) \\gt 1[\/tex], <strong>o fator [tex]\\left(n+2019m\\right)[\/tex] n\u00e3o seria um n\u00famero primo<\/strong>.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Se [tex]\\left(n+1-m\\right)=-1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n=m-2[\/tex] e, agora, ter\u00edamos<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad n+2019m=(m-2)+2019m=2020m-2=2\\times (1010m-1)[\/tex]<br \/>\nComo [tex](1010m-1) \\gt 1[\/tex], <strong>o fator [tex]\\left(n+2019m\\right)[\/tex] tamb\u00e9m n\u00e3o seria um n\u00famero primo<\/strong>.\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, n\u00e3o existem n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] tais que [tex]\\boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2}[\/tex] seja primo.<br \/>\nNo entanto, se abrirmos m\u00e3o da condi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] serem n\u00e3o nulos, obtemos o primo [tex]X=2[\/tex] fazendo [tex]m=0[\/tex] e [tex]n=1.[\/tex] E esse ser\u00e1 o \u00fanico [tex]X[\/tex] primo, mesmo sendo [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] naturais n\u00e3o necessariamente nulos:<\/p>\n<ul>\n<li>para [tex]n=0[\/tex], [tex]X[\/tex] ser\u00e1 um m\u00faltiplo de [tex]2019[\/tex] para qualquer n\u00famero natural [tex]m[\/tex];<\/li>\n<li>para [tex]m=0[\/tex] e [tex]n=1[\/tex], teremos [tex]X=2[\/tex], que \u00e9 um n\u00famero primo;<\/li>\n<li>para [tex]m=0[\/tex] e [tex]n \\gt 1[\/tex], teremos [tex]X=n(n+1)[\/tex], ou seja, [tex]X[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par maior do que [tex]2[\/tex] e, portanto, n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo.<\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/PAE_Um-primo-desafiador.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ PAE_Um primo desafiador.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) (Olimp\u00edada Espanhola de Matem\u00e1tica, 2018) Para quais n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] o n\u00famero [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2}[\/tex] \u00e9 primo? Solu\u00e7\u00e3o Observe, inicialmente, que podemos reescrever assim o n\u00famero [tex]X:[\/tex] [tex]\\qquad &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-primo-desafiador\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-138346","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138346","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=138346"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138346\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220604,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138346\/revisions\/220604"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=138346"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}