{"id":138278,"date":"2019-10-15T23:09:38","date_gmt":"2019-10-16T02:09:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=138278"},"modified":"2024-06-22T00:42:57","modified_gmt":"2024-06-22T03:42:57","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-diferenca-desafiadora","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-diferenca-desafiadora\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma diferen\u00e7a desafiadora!"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220578\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span> <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>LV Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola<\/strong>, 2019 &#8211; Adaptado) Para cada n\u00famero natural [tex]n= abcd[\/tex] de quatro d\u00edgitos, denotaremos por [tex]D[\/tex] o valor absoluto da diferen\u00e7a [tex]abcd \u2013 dcba[\/tex], ou seja, [tex]D = |abcd\u2013dcba|.[\/tex]<br \/>\nPor exemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>se [tex]n=2632[\/tex], o n\u00famero [tex]D[\/tex] correspondente seria [tex]D=|2632-2362|=270[\/tex];<\/li>\n<li>se [tex]n=1784[\/tex], o n\u00famero [tex]D[\/tex] correspondente seria [tex]D=|1784-4871|=3087[\/tex];<\/li>\n<li>se [tex]n=5336[\/tex], o n\u00famero [tex]D[\/tex] correspondente seria [tex]D=|5336-6335|=999.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Observe nesses exemplos que [tex]270[\/tex] e [tex]3087[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]37[\/tex], mas [tex]999[\/tex] o \u00e9:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad 37 \\times 27=999[\/tex].<br \/>\n<strong>(a)<\/strong> Se para um n\u00famero natural [tex] n= abcd [\/tex] temos que  [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex], o que podemos afirmar sobre os algarismos [tex]a,\\, b,\\, c\\, [\/tex] e [tex]\\, d[\/tex]?<br \/>\n<strong>(b)<\/strong> Verifique que a condi\u00e7\u00e3o que voc\u00ea determinou \u00e9 tamb\u00e9m suficiente para que, com as hip\u00f3teses do problema, [tex] D[\/tex] seja m\u00faltiplo de [tex] 37[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size:12px;\"> (Aqui, as nota\u00e7\u00f5es [tex]abcd[\/tex] e [tex]dcba[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim representa\u00e7\u00f5es de n\u00fameros de quatro algarismos no sistema decimal.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:26px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(a)<\/strong> Seja [tex]n= abcd[\/tex] um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] seja um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>O problema solicita que determinemos condi\u00e7\u00f5es sobre os d\u00edgitos do n\u00famero [tex]n[\/tex]. Para isso, vamos considerar inicialmente que [tex]a \\geqslant d [\/tex]; neste caso, [tex]abcd \u2013 dcba \\geqslant 0[\/tex] e, portanto,  [tex]D = abcd \u2013 dcba.[\/tex] <\/li>\n<p>Observe que podemos escrever<br \/>\n[tex]\\quad abcd=1000\\cdot a+100\\cdot b+10\\cdot c+d[\/tex]<br \/>\ne<br \/>\n[tex]\\quad dcba=1000\\cdot d+100\\cdot c+10\\cdot b+a[\/tex],<br \/>\ncomo podemos ver nos esquemas mostrados a seguir.<br \/>\n[tex]\\quad \\qquad \\begin{array}{r  l }<br \/>\na000&#038; \\\\<br \/>\n\\,\\, b00&#038; +\\\\<br \/>\n\\,\\,\\,\\,c0&#038; \\\\<br \/>\n d&#038; \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nabcd<br \/>\n\\end{array}\\qquad \\qquad [\/tex][tex]\\begin{array}{r  l}<br \/>\nd000&#038;\\\\<br \/>\n c00&#038;+\\\\<br \/>\n b0&#038;\\\\<br \/>\n a&#038;\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\ndcba &#038;<br \/>\n\\end{array}\\qquad [\/tex].<br \/>\nCom isso:<br \/>\n [tex]\\qquad D=abcd\u2013dcba[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left(1000\\cdot a+100\\cdot b+10\\cdot c+d\\right)-\\left(1000\\cdot d+100\\cdot c+10\\cdot b+a\\right)[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left(1000\\cdot a+100\\cdot b+10\\cdot c+d\\right)-\\left(1000\\cdot d+100\\cdot c+10\\cdot b+a\\right)[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=1000\\cdot a+100\\cdot b+10\\cdot c+d-1000\\cdot d-100\\cdot c-10\\cdot b-a[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=999\\cdot a+90\\cdot b-90\\cdot c-999\\cdot d[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=999\\cdot (a-d)+90\\cdot (b-c)[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=3^3 \\cdot 37\\cdot (a-d)+2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c). \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nComo [tex]D[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex], ent\u00e3o existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]D=37\\cdot k[\/tex]. Logo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], que<br \/>\n[tex]\\qquad 37\\cdot k=3^3 \\cdot 37\\cdot (a-d)+2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)= 37\\cdot k-3^3 \\cdot 37\\cdot (a-d)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)= 37\\cdot \\left( k-3^3\\cdot (a-d)\\right). \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<br \/>\nDa igualdade  [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] podemos concluir que o produto [tex]\\boxed{2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)}[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]37.[\/tex]<br \/>\nMas [tex]37[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo; logo, para que o produto [tex]\\boxed{2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)}[\/tex] seja m\u00faltiplo de  [tex]37[\/tex],  ou &quot;o [tex]37[\/tex] deve aparecer explicitamente como fator desse produto&quot; ou &quot;esse produto \u00e9 [tex]0[\/tex]&quot;.<br \/>\n&#8211; No entanto, como  [tex]b[\/tex] e  [tex]c[\/tex] s\u00e3o algarismos, a diferen\u00e7a  [tex]b-c[\/tex] \u00e9 tal que  [tex]-9 \\leqslant b-c \\leqslant 9[\/tex] e, com isso, n\u00e3o temos um fator  [tex]37[\/tex] no produto [tex]\\boxed{2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)}[\/tex].<\/li>\n<p>&#8211; Consequentemente  [tex]2\\cdot 3^2 \\cdot 5\\cdot (b-c)=0[\/tex], donde conclu\u00edmos que [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=c$} .[\/tex]  <\/p>\n<li>Para fecharmos a solu\u00e7\u00e3o deste item, precisamos considerar o caso em que [tex]a \\lt d [\/tex]. Aqui, [tex]abcd \u2013 dcba \\lt 0[\/tex] e, portanto,  [tex]D = dcba-abcd.[\/tex] <\/li>\n<p>A demonstra\u00e7\u00e3o neste caso segue exatamente os mesmos passos da demonstra\u00e7\u00e3o anterior, bastando apenas substituir [tex]D = abcd-dcba[\/tex] por  [tex]D = dcba-abcd[\/tex] nos c\u00e1lculos efetuados.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Finalizando, pelo exposto, conclu\u00edmos que:<\/p>\n<ul>\n<li> <span class=\"c3\"><strong>Se [tex] n= abcd [\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] seja um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex], ent\u00e3o necessariamente [tex]b=c[\/tex], ou seja, os d\u00edgitos centrais de [tex]n[\/tex] (algarismos das centena e dezena) s\u00e3o iguais.<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(b)<\/strong> Ao provarmos no item anterior que a igualdade dos d\u00edgitos centrais de [tex]n[\/tex] \u00e9 uma consequ\u00eancia de a diferen\u00e7a [tex]D[\/tex] ser m\u00faltipla de [tex]37[\/tex], estamos logicamente afirmando que, nas condi\u00e7\u00f5es do problema, a afirma\u00e7\u00e3o [tex]b=c[\/tex] \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o <strong><em>necess\u00e1ria <\/em><\/strong>para que [tex]D[\/tex] seja um m\u00faltiplo de [tex]37.[\/tex]<br \/>\nO que vamos fazer neste item \u00e9 provar que  [tex]b=c[\/tex] \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o <strong><em>suficiente <\/em><\/strong> para que [tex]D[\/tex] seja um m\u00faltiplo de [tex]37[\/tex], ou seja, basta que<br \/>\na igualdade dos d\u00edgitos centrais de [tex]n[\/tex] aconte\u00e7a para que  [tex]D[\/tex] seja um m\u00faltiplo de [tex]37.[\/tex]<br \/>\nVamos l\u00e1!<br \/>\n Seja [tex]n=abcd [\/tex] um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que [tex]b=c.[\/tex]<br \/>\nDessa forma, se [tex]D=|abcd\u2013dcba|[\/tex], ent\u00e3o segue que:<br \/>\n [tex]\\qquad D=|abbd\u2013dbba|[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left| \\left(1000\\cdot a+100\\cdot b+10\\cdot b+d\\right)-\\left(1000\\cdot d+100\\cdot b+10\\cdot b+a\\right)\\right|[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left|\\left(1000\\cdot a+110\\cdot b+d\\right)-\\left(1000\\cdot d+110\\cdot b+a\\right)\\right|[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left|1000\\cdot a+110\\cdot b+d-1000\\cdot d-110\\cdot b-a\\right|[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=\\left|999\\cdot a-999\\cdot d\\right|[\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=999\\cdot \\left|a-d\\right| [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad D=3^3 \\cdot 37\\cdot \\left|a-d\\right|. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<br \/>\nComo [tex] \\left|a-d\\right|[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, podemos concluir de  [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] que [tex]D[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]37.[\/tex]<br \/>\nPortanto, <\/p>\n<ul>\n<li> <span class=\"c3\"><strong>Se [tex]n= abcd[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que  [tex]b=c[\/tex], ent\u00e3o [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37.[\/tex]<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPassando a limpo os dois itens do problema, provamos que:<\/p>\n<ul>\n<li> Se [tex]n= abcd[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] seja um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex], ent\u00e3o [tex]b=c[\/tex].<\/li>\n<li> Se [tex]n= abcd[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos tal que  [tex]b=c[\/tex], ent\u00e3o [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>De outra forma, sendo [tex]n= abcd[\/tex]  um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos e [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex], provamos que:<\/p>\n<ul>\n<li> Se  [tex]D[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex], ent\u00e3o [tex]b=c[\/tex].<\/li>\n<li> Se  [tex]b=c[\/tex], ent\u00e3o [tex]D[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Podemos juntar essas duas condi\u00e7\u00f5es em uma \u00fanica frase escrevendo que acabamos de provar a seguinte afirma\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li>Sejam [tex]n= abcd[\/tex] um n\u00famero natural com quatro d\u00edgitos e [tex]D = |abcd \u2013 dcba|[\/tex]. Ent\u00e3o,  [tex]D[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo [tex]37[\/tex] se, e somente se,  [tex]b=c[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:600px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:490px;background-color: #FFF5EE; padding:15px; font-family: calibri;font-size: 14px;;color: #1C1C1C; line-height: 22px; \">Para saber um pouco mais sobre o significado l\u00f3gico das express\u00f5es &quot;condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria&quot; e &quot;condi\u00e7\u00e3o suficiente&quot;, visite <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_026-linguagem-matematica-implicacoes-e-equivalencias\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong> esta Sala para Leitura<\/strong><\/a> do nosso Blog.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/PAE_Uma-diferen\u00e7a-desafiadora.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ PAE_Uma diferen\u00e7a desafiadora.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) (LV Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, 2019 &#8211; Adaptado) Para cada n\u00famero natural [tex]n= abcd[\/tex] de quatro d\u00edgitos, denotaremos por [tex]D[\/tex] o valor absoluto da diferen\u00e7a [tex]abcd \u2013 dcba[\/tex], ou seja, [tex]D = |abcd\u2013dcba|.[\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-diferenca-desafiadora\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-138278","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138278","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=138278"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138278\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220580,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/138278\/revisions\/220580"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=138278"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}