{"id":138039,"date":"2019-10-15T22:45:51","date_gmt":"2019-10-16T01:45:51","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=138039"},"modified":"2024-06-22T00:35:41","modified_gmt":"2024-06-22T03:35:41","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-losangos-amarelos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-losangos-amarelos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Losangos amarelos"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(XII Concurso de Primavera de Matem\u00e1ticas<\/strong>, 2008 – Adaptado)<\/span> Todos os hex\u00e1gonos que aparecem na figura abaixo s\u00e3o regulares.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se a \u00e1rea do hex\u00e1gono maior mede [tex]810\\,\\text{cm}^2[\/tex], quanto mede a \u00e1rea colorida de amarelo?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes <\/p>\n

(1)<\/strong><\/span> A soma dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de [tex]n[\/tex] lados [tex](n\\gt 2)[\/tex] \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{S_{i_n}=\\left(n-2\\right)\\times 180^\\circ}.[\/tex]
\n(2)<\/strong><\/span> Todo quadril\u00e1tero convexo que tenha \u00e2ngulos opostos com a mesma medida \u00e9 um paralelogramo.
\n(3)<\/strong><\/span> A \u00e1rea [tex] A_{teq}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lados com comprimento [tex]l[\/tex] pode ser assim calculada:
\n[tex]\\qquad A_{teq}=\\dfrac{l^2\\times \\sqrt{3}}{4}.[\/tex]
\n(4)<\/strong><\/span> A \u00e1rea [tex] A_{h}[\/tex] de um hex\u00e1gono regular de lados com comprimento [tex]l[\/tex] pode ser assim calculada:
\n[tex]\\qquad A_{h}=\\dfrac{l^2\\times 3\\times \\sqrt{3}}{2}.[\/tex]
\n(5)<\/strong><\/span> Se um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui um \u00e2ngulo de [tex]60^\\circ[\/tex], ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\n

Observe que todos os hex\u00e1gonos s\u00e3o convexos; assim, a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de cada hex\u00e1gono da figura pode ser assim calculada:
\n[tex]\\qquad \\qquad S_{i_6}=\\left(6-2\\right)\\times 180^\\circ= 720^\\circ[\/tex] .
\nComo os hex\u00e1gonos da figura s\u00e3o regulares, seus \u00e2ngulos internos t\u00eam a mesma medida:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{720^\\circ}{6}=120^\\circ[\/tex] .
\nAssim, cada quadril\u00e1tero amarelo tem dois \u00e2ngulos opostos de [tex]60^\\circ[\/tex] (cada um \u00e9 suplemento de um \u00e2ngulo interno de um hex\u00e1gono pequeno) e um terceiro \u00e2ngulo que \u00e9 \u00e2ngulo do hex\u00e1gono maior e portanto mede [tex]120^\\circ[\/tex] .<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, como a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um quadril\u00e1tero \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad \\qquad S_{i_4}=\\left(4-2\\right)\\times 180^\\circ= 360^\\circ[\/tex],
\nsegue que a medida do quarto \u00e2ngulo interno de cada quadril\u00e1tero amarelo \u00e9 igual a
\n[tex]\\qquad \\qquad 360^\\circ-2 \\times 60^\\circ-120^\\circ=120^\\circ[\/tex] .
\nCom isso, conclu\u00edmos que cada quadril\u00e1tero amarelo tem \u00e2ngulos opostos com a mesma medida, o que nos garante que cada um \u00e9 um paralelogramo. Mas como todos os hex\u00e1gonos que aparecem na figura s\u00e3o regulares e o hex\u00e1gono central tem lados em comum com os seis outros hex\u00e1gonos pequenos, ent\u00e3o todos os lados dos hex\u00e1gonos pequenos t\u00eam o mesmo comprimento. Dessa forma, <\/p>\n