Problema (OPRM<\/strong>, 2016 Adaptado) Desenvolvendo a express\u00e3o alg\u00e9brica [tex]\\boxed{E(x)=\\left(ax^2-2bx+c+1\\right)^5}~[\/tex], obt\u00e9m-se um polin\u00f4mio [tex]p(x)[\/tex] cuja soma dos coeficientes \u00e9 [tex]32[\/tex]. \n<\/div>\n \n AJUDA<\/p>\n Dado um polin\u00f4mio [tex]p(x)[\/tex], para sabermos a soma de todos os seus coeficientes basta calcularmos [tex]p(1).[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Como [tex]0[\/tex] \u00e9 raiz do polin\u00f4mio [tex]p(x)[\/tex], ent\u00e3o tamb\u00e9m ser\u00e1 raiz de [tex]E(x)[\/tex]. Assim, [tex]E(0)=0[\/tex], donde: Agora, como as somas dos coeficientes de [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 igual a [tex]32[\/tex], temos pelo Lembrete <\/strong><\/span> que [tex]p(1)=32[\/tex] e ent\u00e3o: Substituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] temos Portanto, [tex]a+b+c=1-\\dfrac{1}{2}-1=~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-\\dfrac{1}{2}$}~.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) (OPRM, 2016 Adaptado) Desenvolvendo a express\u00e3o alg\u00e9brica [tex]\\boxed{E(x)=\\left(ax^2-2bx+c+1\\right)^5}~[\/tex], obt\u00e9m-se um polin\u00f4mio [tex]p(x)[\/tex] cuja soma dos coeficientes \u00e9 [tex]32[\/tex]. Sabendo que [tex]0[\/tex] e [tex]-1[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes de [tex]p(x)[\/tex], calcule [tex]a+b+c[\/tex]. AJUDA Dado um polin\u00f4mio [tex]p(x)[\/tex], para sabermos a soma de todos os seus coeficientes basta calcularmos … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nSabendo que [tex]0[\/tex] e [tex]-1[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes de [tex]p(x)[\/tex], calcule [tex]a+b+c[\/tex]. <\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad (a\\cdot 0^2-2\\cdot b\\cdot 0+c+1)^5=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad c+1=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{c=-1}~.[\/tex]
\nCom isso, [tex]E(x)=(ax^2-2bx)^5[\/tex].
\nMas [tex]-1[\/tex] \u00e9 raiz de [tex]p(x)[\/tex] e consequentemente tamb\u00e9m de [tex]E(x)[\/tex]; logo, [tex]E(-1)=0[\/tex] e segue que:
\n[tex]\\qquad (a\\cdot (-1)^2-2\\cdot b\\cdot (-1))^5=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad a+2b=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad a=-2b.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad (a\\cdot 1^2-2\\cdot b\\cdot 1)^5=32[\/tex]
\n[tex]\\qquad a-2b=\\sqrt[5]{32}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a-2b=2.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad -2b-2b=2[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\boxed{ b=-\\dfrac{1}{2}}~.[\/tex]
\nLogo,
\n[tex]\\qquad a=-2b[\/tex]
\n[tex]\\qquad a=-2\\bigg(-\\dfrac{1}{2}\\bigg)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{a=1}~.[\/tex]<\/p>\n
\n